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2004吉林考研数学三真题及答案.doc
2004 吉林考研数学三真题及答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若
lim
0
x
sin
x
x
a
e
(cos
bx
5)
，则 a =______，b =______.
(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且
g(y) ? 0，则
2 f
u v
.
(3) 设
)(
xf
2
x
xe
,
,1
x
1
2
(4) 二次型
(
,
xxf
1
2
,
x
3
)
x
1
2
(
x
1
1
2
，则
2
1
2
(
f x
1)
dx
.
x
2
2
)
(
x
2
2
x
3
)
(
x
3
2
x
1
)
的秩为.
(5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则
{
XP
DX
}
_______.
(6) 设总体 X 服从正态分布
,
1 σμN
(
2
)
, 总体Y 服从正态分布
,
2 σμN
(
2
)
,
XX
,
1
,
nX
1
2
和
E
YY 分别是来自总体 X 和Y 的简单随机样本, 则
1
nY
2
,
,
2
n
1
i
1
2
(
X
i
X
)
n
1
n
2
(
Y
n
2
1
j
2
2
Y
)
j
.
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(7)函数
)(
xf
|
x
(
xx
sin(
|
)(1
x
x
)2
2)2
在下列哪个区间内有界.
(A) (?1 , 0).
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D)
(2
,
3).
[
]
(8) 设 f (x)在(?? , +?)内有定义，且
)(
xf
a
，
)(
xg
lim
x
f
,)1(
x
,0
x
x
0
0
，则
(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.
(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.
(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a的取值有关.
(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.
(9) 设 f (x) = |x(1 ?x)|，则
(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点.[
(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.
]
[
]
(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.
(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.
(10) 设有下列命题：
(1) 若
1
n
(
u
1
u
2
n
)
2
n
收敛，则
1n
nu 收敛.
(2) 若
1n
nu 收敛，则
1
n
nu
1000
收敛.
(3) 若
lim
n
u
1
n
u
n
1
，则
1n
nu 发散.
(4) 若
(
u
1
n
v
n
)
n
则以上命题中正确的是
收敛，则
1n
nu ，
1n
nv 都收敛.
(A) (1) (2).
(B) (2) (3).
(C) (3) (4).
(D)
(1)
(4).
[
]
(11) 设
)(xf 在[a , b]上连续，且
)(
af
,0
)(
bf
0
，则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点
x
0
),(
ba
，使得
( 0xf
)
>f (a).
(B) 至少存在一点
x
0
),(
ba
，使得
( 0xf
)
>f (b).
(C) 至少存在一点
x
0
),(
ba
，使得
xf
( 0
)
0
.
(D) 至少存在一点
x
0
),(
ba
，使得
( 0xf
)
= 0.
[
D
]
(12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必有
aB |
(
aaA
(A) 当
时,
)0
|
|
|
.
(B) 当
|
(
aaA
|
)0
时,
|
B
|
a
.
(C) 当
|
A
0|
时,
|
B
0|
.
(D) 当
|
A
0|
时,
|
B
0|
.
[
]
(13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵
* A
,0
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组
(A) 不存在.
(C) 含有两个线性无关的解向量.
[
]
是非齐次线性方程组
若
,
ξξ
1
,
,
ξξ
3
4
2
0Ax 的基础解系
(B) 仅含一个非零解向量.
(D) 含有三个线性无关的解向量.
Ax 的
b
(14) 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布
)1,0(N
, 对 给 定 的
)1,0(α
, 数 αu 满 足
{
uXP
}
α
α
,
若
{|
XP
}
|
x
α
, 则 x 等于
(A)
αu .
2
(B)
1 αu
2
.
(C)
.
1 αu
2
(D)
αu 1
.
]
[
三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 8 分)
求
(
lim
0
x
1
2
sin
x
2
cos
2
x
x
)
.
(16) (本题满分 8 分)
2
x
2
y
)
dy
，其中 D是由圆
2
x
2
y
4
和
(
x
)1
2
2
y
1
所围成的
(
求
D
平面区域(如图).
(17) (本题满分 8 分)
设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
x
a
f
)(
t
dt
dt
，x? [a , b)，
b
a
f
)(
t
dt
b
a
)(
tg
dt
.
x
)(
tg
a
b
dx
a
证明：
b
a
xf
)(
x
xg
)(
x
dx
.
(18) (本题满分 9 分)
设某商品的需求函数为 Q = 100 ? 5P，其中价格 P ? (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性 dE ( dE > 0)；
(II) 推导
dR
dP
Q
1(
dE
)
(其中 R为收益)，并用弹性 dE 说明价格在何范围内变化时，
降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分 9 分)
设级数
的和函数为 S(x). 求：
(I) S(x)所满足的一阶微分方程；
(II) S(x)的表达式.
(20)(本题满分 13 分)
设
α
1
)0,2,1(
T
,
α
2
,1(
α
Tα
)3,2
,
α
3
试讨论当 ba, 为何值时,
,1(
b
,2
α
Tb
)2
,
β
)3,3,1(
T
,
(Ⅰ) β 不能由
,
ααα
1
,
2
线性表示;
3
(Ⅱ) β 可由
(Ⅲ) β 可由
,
ααα
1
,
2
,
ααα
1
,
2
唯一地线性表示, 并求出表示式;
线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.
3
3
(21) (本题满分 13 分)
设 n 阶矩阵
A
1
b
1
b
bb
(Ⅰ) 求 A 的特征值和特征向量;
b
b
1
.
(Ⅱ) 求可逆矩阵 P , 使得 AP
P 1
为对角矩阵.
(22) (本题满分 13 分)
设 A ， B 为两个随机事件,且
(
AP
)
1
4
,
(
ABP
)
|
1
3
,
(
BAP
)
|
1
2
, 令
求
(Ⅰ) 二维随机变量
(
YX 的概率分布;
)
,
(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XYρ
;
(Ⅲ)
Z
X
2 Y
2
的概率分布.
(23) (本题满分 13 分)
设随机变量 X 的分布函数为
其中参数
α
,0
β
1
. 设
XX
,
1
,
2
为来自总体 X 的简单随机样本,
nX
,
(Ⅰ) 当 1α 时, 求未知参数 β 的矩估计量;
(Ⅱ) 当 1α 时, 求未知参数 β 的最大似然估计量;
(Ⅲ) 当
2β
时, 求未知参数 α 的最大似然估计量.
参考答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若
lim
0
x
sin
x
x
a
e
(cos
bx
5)
，则 a =
1 ，b =
4
.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为
lim
0
x
sin
x
x
a
e
(cos
bx
5)
，且
lim
0
x
sin
x
(cos
bx
)
0
，所以
ex
(
a
)
0
lim
0
x
，得 a = 1. 极限化为
lim
0
x
sin
x
x
e
a
(cos
bx
)
lim
0
x
x
x
因此，a = 1，b = ?4.
(cos
bx
1)
b
5
，得 b = ?4.
【评注】一般地，已知
lim
)(
xf ＝ A，
)(
xg
(1) 若 g(x) ? 0，则 f (x) ? 0；
(2) 若 f (x) ? 0，且 A? 0，则 g(x) ? 0.
(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且
g(y) ? 0，
2
f
vu
)(
vg
2
)(
vg
则
.
【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.
【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) =
u
)(
vg
)(
vg
，
所以，
f
u
1
)(
vg
，
2
f
vu
)(
vg
2
)(
vg
.
(3) 设
)(
xf
2
x
xe
,
,1
x
1
2
1
2
x
1
2
，则
2
1
2
(
xf
)1
dx
1
2
.
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令 x? 1 = t，
2
1
2
(
xf
)1
dx
1
1
2
f
)(
t
dt
)(
dtxf
1
1
2
＝
1
2
1
2
2
xex
dx
)1(1
1
2
dx
1(0
2
)
1
2
.
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.
(4) 二次型
,
(
xxf
1
2
,
x
3
)
(
x
1
x
2
2
)
(
x
2
2
x
3
)
(
x
3
2
x
1
)
的秩为 2
.
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为
(
,
xxxf
,
2
1
)
(
x
1
3
x
2
2
)
(
x
2
2
x
3
)
(
x
3
2
x
1
)
于是二次型的矩阵为
A
由初等变换得
A
2
1
1
1
0
0
1
2
1
1
3
3
1
1
2
2
3
3
,
1
0
0
1
3
0
2
3
0
,
从而
(
Ar
)
2
, 即二次型的秩为 2.
【详解二】因为
(
,
xxxf
,
2
1
)
(
x
1
3
x
2
2
)
(
x
2
2
x
3
)
(
x
3
2
x
1
)
2
2
y
1
3
2
2
y
2
,
其中
y
1
x
1
所以二次型的秩为 2.
1
2
x
2
1
2
x
3
,
y
2
x
2
x
3
.
(5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则
{
XP
DX
}
1 .
e
【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】 由于
DX
1
2
λ
, X 的分布函数为
故
{
XP
DX
}
1
{
XP
DX
}
1
{
XP
}1
λ
1
F
)1(
λ
1 .
e
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.
(6) 设总体 X 服从正态分布
,
1 σμN
(
2
)
, 总体Y 服从正态分布
,
2 σμN
(
2
)
,
XX
,
1
,
2
和
nX
1
YY 分别是来自总体 X 和Y 的简单随机样本, 则
1
nY
2
,
,
2
n
1
i
1
2
(
X
i
X
)
n
1
n
2
E
(
Y
n
2
1
j
2
2
Y
)
j
2
σ
.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为
E
n
1
1[
n
1
1
1
i
(
X
i
X
2
])
σ
2
,
E
1[
n
2
n
2
1
1
j
(
Y
j
Y
2
])
σ
2
,
故应填 2σ .
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(7)函数
)(
xf
|
x
(
xx
sin(
|
)(1
x
x
)2
2)2
在下列哪个区间内有界.
(A) (?1 , 0).
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D)
(2
,
3).
[
A
]
【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限
lim
x
a
)(
xf
与
)(
xf
lim
b
x
存在，则函数 f (x)
在(a , b)内有界.
【详解】当 x? 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而
lim
1
x
)(
xf
3sin
18
，
lim
0
x
)(
xf
2sin
4
，
)(
xf
lim
0
x
2sin
4
，
lim
1
x
)(
xf
，
lim
2
x
)(
xf
，
所以，函数 f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则 f (x)在闭区间[a , b]上有界；
如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限
lim
a
x
)(
xf
与
)(
xf
lim
b
x
存在，则函数 f (x)
在开区间(a , b)内有界.
(8) 设 f (x)在(?? , +?)内有定义，且
)(
xf
a
，
lim
x
)(
xg
f
,)1(
x
,0
x
x
0
0
，则
(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.
(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.
(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.
(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a的取值有关.
[
D
]
u
1 ，
x
【分析】考查极限
)(
xg
lim
0
x
是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元
可将极限
)(
xg
转化为
lim
0
x
【详解】因为
lim
0
x
当 a = 0 时，
lim
0
x
)(
xg
f
)(
lim xf
x
)1(
x
)0(
lim
0
x
)(
xg
g
.
lim
u
)(
uf
= a(令
u
1 )，又 g(0) = 0，所以，
x
，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a? 0 时，
)(
xg
g
)0(
lim
0
x
，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性
与 a的取值有关，故选(D).
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.
(9) 设 f (x) = |x(1 ?x)|，则
(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点.
(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.
(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.
(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.
[
C
]
【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0
是 f (x)
的极小值点.
显然，x= 0 是 f(x)的不可导点. 当 x? (?? , 0)时，f(x) = ?x(1 ?x)，
f
x
)(
2
0
，
当 x? (0 , ?)时，f (x) = x(1 ?x)，
f
x
)(
02
，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)
的拐点.
故选(C).
【评注】对于极值情况，也可考查 f(x)在 x= 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.
(10) 设有下列命题：
(1) 若
1
n
(
u
1
u
2
n
)
2
n
收敛，则
1n
nu 收敛.
(2) 若
1n
nu 收敛，则
1
n
nu
1000
收敛.
(3) 若
lim
n
u
1
n
u
n
1
，则
1n
nu 发散.
(4) 若
(
u
1
n
v
n
)
n
收敛，则
1n
nu ，
1n
nv 都收敛.
则以上命题中正确的是
(A) (1) (2).
[
B
]
(B) (2) (3).
(C) (3) (4).
(D)
(1)
(4).
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.
【详解】(1)是错误的，如令
nu
)1(
n
，显然，
1n
nu 分散，而
1
n
(
u
1
u
2
n
)
2
n
收敛.
(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.
(3)是正确的，因为由
lim
n
u
1
n
u
n
1
可得到 nu 不趋向于零(n??)，所以
1n
nu 发散.
(4)是错误的，如令
u
n
,1
n
v
n
1
n
，显然，
1n
nu ，
1n
nv 都发散，而
(
u
1
n
v
n
)
n
收敛. 故选(B).
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