2018年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2018 年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则 A B= （A）{0，1} （B）{–1，0，1} （C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2} （2）在复平面内，复数 1 1 i 的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（C）第三象限（B）第二象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（A）（C） 1 2 7 6 （B）（D） 5 6 7 12 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都

等于 12 2 ．若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（A） 3 2 f （C） 12 52 f （B） 3 22 f （D） 12 72 f （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （C）3 （B）2 （D）4 （6）设 a，b均为单位向量，则“ 3 b  a  3 a b ”是“a⊥b”的  （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记 d为点 P（cosθ，sinθ）到直线 x my   的距离，当 2 0 θ，m变化时，d的最大值为（A）1 （C）3 （B）2 （D）4 （8）设集合 {( , x y A  ) | x   y 1, ax   y 4, x ay   则 2}, （A）对任意实数 a， (2,1) A （B）对任意实数 a，（2，1） A （C）当且仅当 a<0 时，（2，1） A （D）当且仅当 a  时，（2，1） A 3 2 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）设 na 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 na 的通项公式为__________．（10）在极坐标系中，直线 cos     sin   ( a a  与圆 =2cos  0) 相切，则 a=__________．

（11）设函数 f（x）= cos( x 最小值为__________．  )(  ，若 0) π 6 ( ) f x f ( π 4 ) 对任意的实数 x都成立，则ω的（12）若 x，y满足 x+1≤y≤2x，则 2y−x的最小值是__________．（13）能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．（14）已知椭圆 M 2 2 x ： a  2 2 y b  1( a   b 0) ，双曲线 N x ： m 2 2  2 2 y n  1 ．若双曲线 N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为__________；双曲线 N的离心率为__________．三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=– 1 7 ．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求 AC边上的高．（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC− 1 1 A B C 中， 1CC  平面 ABC，D，E，F，G分别为 1AA ，AC， 1 1AC ， 1 1BB 的中点，AB=BC= 5 ，AC= 1AA =2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BEF；（Ⅱ）求二面角 B−CD−C1 的余弦值；（Ⅲ）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

（17）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数好评率 140 0.4 50 0.2 300 200 0.15 0.25 800 0.2 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用 “ 1 k  ”表示第 k类电影得到人们喜欢，“ k  ”表示第 k类电影没有得到人们喜 0 欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 1D ， 2D ， 3D ， 4D ， 5D ， 6D 的大小关系．（18）（本小题13分）设函数 ( ) f x =[ 2 ax  (4 a  1) x  4 a  ] ex ． 3 （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1， (1) f ）处的切线与 x 轴平行，求a；（Ⅱ）若 ( ) f x 在x=2处取得极小值，求a的取值范围．（19）（本小题 14 分）已知抛物线 C： 2y =2px经过点 P （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA交 y轴于 M，直线 PB交 y轴于 N．（Ⅰ）求直线 l的斜率的取值范围；  （Ⅱ）设 O为原点， QM  QO  ， QN  QO ，求证： 1 1    为定值．（20）（本小题14分）

设 n为正整数，集合 A= { |   ( , t 1 t 2 ,  , t n ), t k  {0,1}, k  1,2,  ．对于集合 A中的 , } n 任意元素  ( , x x 1 2 ,  和 )n x ,  ( , y y 1 2 ,  ，记 )n , y M（ ，）=．（Ⅰ）当 n=3 时，若 (1,1,0)  ， (0,1,1)  ，求 M（ ,）和 M（ ,）的值；（Ⅱ）当 n=4 时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 ,，当 ,相同时，M（ ，）是奇数；当 ,不同时，M（ ，）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于 2 的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 ,， M（ ，）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

绝密★启用前一、选择题 2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案（1）A （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （ 7 ） C （8）D 二、填空题（9） na 6 n  3 （10）1 2 （11） 2 3 （12）3 （13） ( ) f x =sinx（答案不唯一）（14） 3 1 2  三、解答题（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=– 1 7 ，∴B∈（ π 2 ，π），∴sinB= 1 cos  2 B  4 3 7 ．由正弦定理得 a sin A  b sin B  7 sin A = 8 4 3 7 ，∴sinA= 3 2 ． ∵B∈（ π 2 ，π），∴A∈（0， π 2 ），∴∠A= π 3 ．（ Ⅱ ）在 △ ABC 中， ∵ sinC=sin （ A+B ） =sinAcosB+sinBcosA= 3 2 = 3 3 14 4 3 7 1 7 (   )   ． 1 2 h BC 如图所示，在△ABC中，∵sinC= ∴AC边上的高为 3 3 2 ．，∴h= BC  sin C = 7  3 3 14  3 3 2 ，（16）（共 14 分）解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∵CC1⊥平面 ABC， ∴四边形 A1ACC1 为矩形．

又 E，F分别为 AC，A1C1 的中点， ∴AC⊥EF． ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面 BEF．（Ⅱ）由（I）知 AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又 CC1⊥平面 ABC，∴EF⊥平面 ABC． ∵BE 平面 ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐标系 E-xyz．由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． uuur CD uur CB ∴ =(2 0 1) ，，， =(1 2 0) ，，，设平面 BCD的法向量为 ( ) a b c  ，， n ， ∴ uuur CD uur CB   0 0   n   n   ，∴ 2    a  a c   2 b  0 0 ，令 a=2，则 b=-1，c=-4， ∴平面 BCD的法向量 (2 n  ，，  1 4) ，又∵平面 CDC1 的法向量为 =(0 2 0) ，，， uur EB ∴ cos n   uur EB  uur EB uur EB | n n  || | =  21 21 ．由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 21 21  ．（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面 BCD的法向量为 (2 n   ，， 1 4) ，∵G（0，2，1），F（0，0， 2）， uuur GF ∴ =(0  ，，，∴ 2 1) n uuur GF   2 uuur ，∴ n 与 GF 不垂直，

∴GF与平面 BCD不平行且不在平面 BCD内，∴GF与平面 BCD相交．（17）（共 12 分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50．故所求概率为 50 2000 0.025  （Ⅱ）设事件 A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为 P（ AB AB ）=P（ AB ）+P（ AB ） =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2．故所求概率估计为 0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ） 1D > 4D > 2D = 5D > 3D > 6D ．（18）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为 ( ) f x =[ 2 ax  (4 a  1) x  4 a  ] ex ， 3 所以 f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f′(1)=(1–a)e．由题设知 f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得 a=1．此时 f (1)=3e≠0．所以 a的值为 1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若 a> 1 2 ，则当 x∈( 1 a ，2)时，f ′(x)<0；当 x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．所以 f (x)在 x=2 处取得极小值．若 a≤ 1 2 ，则当 x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤ 1 2 x–1<0，所以 f ′(x)>0．所以 2 不是 f (x)的极小值点．

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