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概率与数理统计学习资料.pdf
第一章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章数理统计的基本概念
第七章参数估计
第八章假设检验
第九章方差分析和回归分析
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《概率论与数理统计》
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1
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目目目
录录录
第一章 随机事件及其概率.................................... 3
第二章 随机变量及其分布................................. 13
第三章 多维随机变量及其分布............................ 24
第四章 随机变量的数字特征...............................34
第五章 大数定律和中心极限定理......................... 41
第六章 数理统计的基本概念...............................55
第七章 参数估计............................................. 50
第八章 假设检验............................................. 55
第九章 方差分析和回归分析...............................60
2
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第一章第一章第一章
随机事件及其概率
随机事件及其概率
随机事件及其概率
内 容 提 要
111
、随机试验、样本空间与随机事件
、随机试验、样本空间与随机事件
、随机试验、样本空间与随机事件
（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为 E.
1） 试验可在相同的条件下重复进行；
2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；
3） 每次试验前不能确定哪一个结果会出现.
（2）样本空间：随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，记为Ω；试验
的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为 e.
（3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件，常
用 A、B、C等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合事件和简单事件，
还有必然事件（记为 ）和不可能事件（记为 ）.
222
、事件的关系与运算
、事件的关系与运算
、事件的关系与运算
（1）包含关系与相等：“事件 A 发生必导致 B 发生”，记为
BA
或
AB
；
BABA
且
AB
.
（2） 和 事 件 （ 并 ）：“事件 A 与 B 至少有一个发生”，记为
.BA
（3） 积 事 件 （ 交 ）：“ 事件 A 与 B 同时发生”，记为
BA
AB
或 .
（4）差事件、对立事件(余事件)：“事件 A 发生而 B 不发生”，记为 A－B称为 A与 B的差
事件；
BB
B
称为 的对立事件；易知：
BABA
.
（5）互不相容性：
AB
；
BA、
互为对立事件
BA
且
AB
.
（6）事件的运算法则：1) 交换律：
ABBA
，
AB
BA
；
2) 结合律：
CBACBA
)
(
)
(
，
(
BCACAB
)
(
)
；
3) 分配律：
(
ACCBA
)
BC
，
(
CBCACAB
)
)(
(
)
；
4) 对 偶 (De Morgan) 律 ：
BABA
，
BAAB
， 可 推 广
3
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k
A
k
k
A
k
,
k
A
k
.
A
k
k
333
、频率与概率
、频率与概率
、频率与概率
（1）频率的定义：事件 在 次重复试验中出现 次，则比值 称为事件 在 次重复
A n
A n
试验中出现的频率，记为
(Afn
)
，即
An
nA
n
.
nAf
(
A
n
n
)
)
nAf
(
A
n
n
（2）统计概率：当
n
时，频率
AP
)
(
.当 很大时，
n
AfPAP
)
(
n
)
(
称为事件 的统计概率.
A
（3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试验对应
古典概型（等可能概型），事件 发生的概率为：
A
AAP
中所含样本点数
(
中样本点总数
)
＝＝
k
n
Ak
(
)
n
.
（4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域 g的概率与区域 g的测度(长度、
面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域 中随机地取一
点落在区域 g 中”这一事件 发生的概率为：
gA
gAP g)
(
＝
的测度
的测度
.
（5）概率的公理化定义：设(
F,
)为可测空间，在事件域 上定义一个实值函数
F
(AP
),
FA
，满足：1) 非负性：
AP
)
(
0
，对任意
FA
；2) 规范性：
P
1)
(
；3) 可
列可加性：若有一列
iFA i
,
i
,2,1
,
iAA
j
，使得
(AP
),
FA
为 域 上的概率测度，简称“概率”．
F
444
、概率的基本性质
、概率的基本性质
、概率的基本性质
（1）不可能事件概率零：
(P
)
＝0.
AP
(
j
j
1
)
j
1
AP
j
(
)
，则称
（2）有限可加性：设
1
AA
,
2
,
,
nA
是 n个两两互不相容的事件，即
iAA
j
＝ ，（
ji
）
ji
,,
,2,1
n
，则有
AAP
2
(
1
nA
)
＝
( 1AP
)
＋
AP
2
(
)
nAP
(
)
.
（3）单调不减性：若事件 B A，则 P(B) P(A)，且
P(B－A)＝P(B)－P(A).（4）互补性：P(
A
)＝1－P(A)，且 P(A) 1.（5）加法公式：对任意两事
件
BA、
， 有
BAP
)
(
BPAP
)
(
)
(
－
(ABP
)
； 此 性 质 可 推 广 到 任 意 n 个 事 件
4
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1
AA
,
2
,
,
nA
的情形.
（6）可分性：对任意两事件
BA、
，有
555
、条件概率与乘法公式
、条件概率与乘法公式
、条件概率与乘法公式
BAPABPAP
)
(
)
(
)
(
.
（1）条件概率：设
BA、
是 中的两个事件，即
FBA 、
，则
件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率．
ABPABP
(
)
(
AP
)
(
)
|
称为事
（2）乘法公式：设
FBA 、
，则
B 的概率乘法公式.
BAPBPABPAPABP
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
|
|
称为事件 A、
666
、、、
全概率公式与贝叶斯
全概率公式与贝叶斯
全概率公式与贝叶斯
公式公式公式
(Bayes)
(Bayes)
(Bayes)
1
AA
,
2
,
,
（1）全概率公式：设
nA
是 的一个划分，且
iAP
(
)
0
，
i
(
,2,1
n
),
，则对
任何事件
FB
，有
BP
)
( ＝
n
i
1
ABPAP
i
)
(
(
i
|
)
，称为全概率公式.
（2）贝叶斯(Bayes)公式：设
1
AA
,
2
,
,
nA
是 的一个划分，且
iAP
(
)
0
i
(
,2,1
n
),
，
则对任何事件
FB
，有
BAP
)
(
|
j
|
j
(
)
(
)
ABPAP
j
n
ABPAP
i
(
)
(
i
|
i
1
(,
j
,1
n
),
，称为贝叶斯公式或逆概
)
率公式.
777
、、、
事件的独立性
事件的独立性
事件的独立性
（1）两事件的独立 ：设
(
PF
)
,
,
为一概率空间，事件
FBA 、
，且
AP
)
(
0
，若
ABPBP
)
(
)
(
|
，则称事件 A 与 B 相互独立；等价于：
ABP
)
(
BPAP
)
(
)
(
.
（2）多个事件的独立：设
1
AA
,
2
,
,
nA
是 n个事件，如果对任意的
k
1(
nk
)
，任意的
1
ii
1
2
ni
k
，具有等式
1
AA
,
2
,
,
nA
相互独立．
(
APAPAPAAAP
i
k
i
k
(
)
(
)
(
)
i
2
i
2
i
1
i
1
)
，称 n个事件
888
、、、
贝努里贝努里贝努里
(Bernoulli)
(Bernoulli)
(Bernoulli)
概型概型概型
（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为 ． 也叫做“成功—失败”试
E E
验,“成功”的概率常用
(APp
)
表示，其中 ＝“成功”.
A
（2）把 重复独立地进行 n次，所得的试验称为 n重贝努里试验，记为 ．
E
nE
5
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（3）把 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为 ．以上三
E
E
种贝努里试验统称为贝努里概型．
（4） 中成功 次的概率是：
nE
k
pC
kk
n
1(
p
)
kn
qpC
knkk
n
0(,
nk
)
其中
1 qp
.
1、必然事件与不可能事件
疑 难 分 析
必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事
件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.
2、互逆事件与互斥事件
如果两个事件 与 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则 、 为互逆事件；
A B
如果两个事件 与 不能同时发生，则 、 为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.
A B
A B
A B
区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的
情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.
3、两事件独立与两事件互斥
两事件 、 独立，则 与 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时
A B
；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这
A B
BPAPABP
(
(
)
)
(
)
两事件的发生是有影响的，
AB
这时
AB
,
ABP
)
(
0
.可以用图形作一直观
A
B
解释.在图 1.1 左边的正方形中，
B
A
图 1.1
ABP
)
(
ABP
)
(
1
4
0
,
AP
)
(
1
2
BP
)
(
，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，
，表示样本空间中两事件的互斥关系.
4、条件概率
( BAP
)
|
与积事件概率
(ABP
)
(ABP
)
是在样本空间 内，事件 的概率，而
是在试验 增加了新条件 发生
( BAP
)
|
E
AB
B
后的缩减的样本空间 中计算事件 的概率.虽然 、 都发生，但两者是不同的，一般说来，
A
A B
B
当 、 同时发生时，常用
A B
(ABP
)
，而在有包含关系或明确的主从关系时，用
( BAP
)
|
.如袋中
有 9 个白球 1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次 ，求 ：（1）第二次才取到白球的概
6
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率 ；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件
概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.
5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和
时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯
公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.
【例 1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点：
例 题 解 析
（1）掷一棵骰子，出现奇数点.
（2）投掷一枚均匀硬币两次：
1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.
（3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍.
（4）将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球.
分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样本点是元素，事
件则是包含在全集中的子集.
解:(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现 1 点”这个样本点，其余类
似.则样本空间为： ={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件为：{1，3，5}.
（2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第一次出现正面，
第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为： ={（正,正）,（正,反）,（反,正 ）,
（反,反）}，用
CBA 、、
分别表示上述事件 1）、2）、3），则事件 ={（正,正）,（正,反 ）}；
A
事件 ={（正,正），（反,反）}；事件 ={（正,正）,（正,反）,（反,正）}.
B
C
（3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，共有
42
种可16
能，若用
,( ji
)
表示“第一次取数 ，第二次取数 ”这一样本点，则样本空间为：
i
j
={
),( ji
ji
,(
)4,3,2,1
}
；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）,（2,1）,（2,4）,
（4,2）}.
(4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去共有九种结果.若
用（ 甲 、乙 ）表 示 “a 球放入甲盒，b 球放入乙盒”这一样本点，其余类似.则样本空间为： ={（ 甲 ，
7
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甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，
乙），（丙，丙）}；第一个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，
丙），（乙，甲），（丙，甲）}.
【例 2】设
为三个事件，用
的运算关系表示下列各事件：
CBA 、、
A
（1）仅 发生；
CBA 、、
A C
（2） 与 都发生，而 不发生；
B
（3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生；
（5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生；
（7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生.
分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件.
解：（1）
CBA
；（2）
CBA
；（3）
CBA
或
CBA
；（4）
CBA
或
BCACBACABCBACBACBA
ABC
；（5）
CBA
或
；CBABCACBACABCBACBACBA
（6）
AB
AC
BC
或
ABC
BCACBACAB
；
（7）
BCACBACAB
；（8）
CBACBACBA
.
【例 3】把 个不同的球随机地放入
n
nNN
)
(
个盒子中，求下列事件的概率：
（1）某指定的 个盒子中各有一个球；
n
（2）任意 个盒子中各有一个球；
n
（3）指定的某个盒子中恰有
nmm
)
(
个球.
分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球
都有 种 放法 ， 个球共有 种不同的放法.“某指定的 个盒子中各有一个球”相当于 个球
n
nN
n
在 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在 个盒子中选 个盒子，再放球；（3）
n
N
n
n
N
相当于先从 个球中取 个放入某指定的盒中，再把剩下的
n
m
mn
个球放入
1N
个盒中.
解：样本空间中所含的样本点数为 .nN
（1）该事件所含的样本点数是 ，故：
!n
np !
；
nN
8
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