2002河北考研数学一真题及答案.doc-资料库

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2002 河北考研数学一真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)  e dx 2 ln x x = . (2)已知函数 y  ( ) y x 由方程 e y  6 xy  2 x 01  确定,则 (0) y = . (3)微分方程 yy 2  y 0 满足初始条件 y  1, y '  x  0 x  0 1 2 的特解是 . (4)已知实二次型 ( , xxf 1 2 , x 3 )  2 ( xa 1  x 2 2  x 2 3 4)  xx 21  4 xx 31  4 xx 2 3 经正交变换 x Py 可化成标准型 f  2 16y ,则 a = . (5) 设随机变量 X 服从正态分布 N   )( 2 ( , 2 y  4 Xy   0 无实根的概率为 1 2 ,则＝ , 且二次方程 0) . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数 ,( yxf ) 的下面 4 条性质: ,( yxf ) ① 在点 ( x , 0 y 0 ) 处连续; ② ,( yxf ) 在点 ( x , 0 y 0 ) 处的两个偏导数连续; ,( yxf ) ③ 在点 ( x , 0 y 0 ) 处可微; ④ ,( yxf ) 在点 ( x , 0 y 0 ) 处的两个偏导数存在．

若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质Q ,则有 (A) ②  ③  ①. (C) ③  ④  ①. (B) ③  ②  ①. (D) ③  ①  ④. nu 0( n  1,2,3, L ) ,且 (2)设 n lim u n n  1 ,则级数   n 1  n 1  ( 1)  ( 1 u n  1 u n 1  ) (A) 发散. (C) 条件收敛. (B) 绝对收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. (3)设函数 y  ( ) f x 在 (0, ) 内有界且可导,则 lim x  lim x  (A) 当 (B) 当 f  )( x lim ( ) f x  (C) 当 0 x  lim ( ) f x  (D) 当 0 x  lim ( ) f x  存在时,必有 0 x  )( xf  0 lim x  f  )( x  0 时,必有 lim x  f  )( x  存在时,必有 0   lim ( ) f x  时,必有 0 x  0 . 0 . . 0 . a x a y a z (4)设有三张不同平面的方程 1 3 i   2 i i b  , i 3,2,1i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 1X 和 2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度

分别为 1( ) f x 和 2( ) f x ,分布函数分别为 1( )F x 和 2( )F x ,则 1( ) f x ＋ 2( ) f x 必为某一随机变量的概率密度. 1( ) f x 2( ) f x 必为某一随机变量的概率密度. (A) (B) 1( )F x ＋ 2( )F x 必为某一随机变量的分布函数. (C) 1( )F x 2( )F x 必为某一随机变量的分布函数. (D) 三、(本题满分 6 分) 设函数 )(xf 0x  的某邻域内具有一阶连续导数 , 且在 f (0)  0, f  (0)  ,若 ( ) af h 0  bf (2 ) h  f (0) 0h 时是比 h 高阶的在无穷小,试确定 ba, 的值. 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y  )(xf 与 y  此切线方程,并求极限 lim n  nf 五、(本题满分 7 分) arctan x e  2 t dt 在点 (0,0) 处的切线相同,写出 0  )2( n . 计算二重积分 max{ x 2 , y 2 } dxdy e  D , 其中 D  {( , yx 0|)  x  0,1  y  }1 . 六、(本题满分 8 分) , )(xf 在 ( 设函数   内具有一阶连续导数, L 是上半平面( y ＞0)内 )

的有向分段光滑曲线,其起点为( ba, ),终点为( dc, ).记 I   L 1[1 y  2 y f xy dx )] (  x 2 y [ 2 y f xy ( ) 1]  dy , (1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关; (2)当 ab  时,求 I 的值. cd 七、(本题满分 7 分) ( ) 1 y x   3 x 3!  3 6 6!  3 9 9!  L  3 n x (3 )! n  L (     x ) 满 (1) 验证函数足微分方程 y  y y xe ; (2)利用(1)的结果求幂级数 3 n x   0 (3 )! n  n 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 D  {( , x y ) | 2 x 2  y  xy  75} ,小山的高度函数为 ,( yxh )  75  2 x  2 y  xy . ( xM , 0 y 0 ) (1)设为区域 D 上一点,问 ,( yxh ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 ( xg , 0 y 0 ) ,试写出 ( xg , 0 y 0 ) 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大  上找的点作为攀登的起点.也就是说,要在 D 的边界线 75 xy   2 x 2 y 出使(1)中 ,( yxg ) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分 6 分) ( 已知四阶方阵 A 4 3 2 1 , , , ) ,  4 3 2 1 , , , 均为 4 维列向量,其中 ,  4 , 3 2 线性无关, 2  3   2 1 ,如果  4     3 2 1 ,求线性方程组 Ax 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 ,A B 为同阶方阵, (1)若 ,A B 相似,证明 ,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 ,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为 ( ) f x x 2 , 1 2     cos 0, 0 x ,    其他.  对 X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于 3 的次数,求 2Y 的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为 X P 0 2 1 1(2 )   2 2 3 21

   (0 其中 1 2 ) 是未知参数,利用总体 X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3, 求的矩估计值和最大似然估计值. 参考答案一、填空题 (1)【分析】原式    e ln d 2 ln x x   1 ln x  e  1. (2)【分析】方程两边对 x 两次求导得 ye y ' 6  xy ' 6  y  2 x  0, ① y e y ''  y e y 2 '  6 xy ② '' 12 ' 2 0.    y x  代入原方程得 0 以 y  , 以 0 x x   y y ' 0  代入②得 ''(0) y   2. y  代入 ① 得 ' 0, y  0 , 再以 (3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程. 令 ' y  ( ) P y (以 y 为自变量),则 y ''  ' dy dx  dP dx  P dP dy . yP dP dy  2 P  0 dPy dy ,即   P 0 代入方程得 0P  ,但其不满足初 (或 ' xy   0 1 2 ). 始条件

dP dy P y   0, 分离变量得积分得 ln P  ln y C  ', 1CP  y 即 0P  对应 1 0C  ); ( y  1, P y  '  由 0 x  时 1 2 , 得 C  1 1 . 2 于是 y '  P  1 2 y ,2 ydy  dx , 积分得 2 y   x C 2 . 0 1 xy   又由 C  所求特解为 1, 得 2 y x  1. (4)【分析】因为二次型 Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值,所以 6,0,0 是 A 的特征值.   ,故 a ii i 又因 a a a        6 0 0, a 2. (5)【分析】设事件 A 表示“ 二次方程 2 y  4 Xy   0 无实根 ”,则 A  {16 4  X  0} {  X  4}. 依题意,有 ) ( P A  { P X  4}  1 2 . { P X  4} 1   { P X  4} 1   (  4  ),   1 (   4  )    1 2 , (  4  )    1 4 , 2        0. 4. 而即二、选择题

(1)【分析】这是讨论函数 ( , f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数 ) 的连续性之间的关系.我们知道, ( , f x y 的两个偏导数连续是可微的充分 ) 条件,若 ( , f x y 可微则必连续,故选(A). ) lim n  1 u n 1 n 1 0    n (2)【分析】由充分大时即 ,N n N  时  1 nu  0 ,且 1 lim nu n  0, 不妨认为 , nn u 0,  因而所考虑级数是交错级数,但不能保 1 nu 的单调性. 证按定义考察部分和 S n  n  k 1  k 1  ( 1)  ( 1 u k  1 u k 1  )  n  k 1  k 1  ( 1)  k  ( 1)  u n 1   1  l ( 1)  1 u l  1 u 1  n 1   ( 1)  u n 1    n  k k 1  l  原级数收敛.  n  k 1  k 1  ( 1)  1 u k 1  ( n   ), 1 u k 1 u 1 再考察取绝对值后的级数 1  n   ( 1 u n 1 u n 1  ) . 注意 1 u n  n 1 u 1 n 1   n u n  n u  1  n 1  n  1 n  2,

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