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ADS1292-呼吸、心率之卡尔曼滤波.pdf

发布时间：2022-06-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.72M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    卡尔曼滤波简介及其算法实现代码 卡尔曼滤波算法实现代码 （ C， C＋＋分别实现） 卡尔曼滤波器简介 近来发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所 能及的算法。 现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算 法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式， 所以也只能形象的描述。 卡尔曼滤波器 – Kalman Filter 1 、什么是卡尔曼滤波 器（What is the Kalman Filter? ） 在学习卡尔曼滤波器之前， 首先看看为什么叫“卡尔曼”。 跟其他著名的理论 （例如傅立叶变换， 泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名 Rudolf Emil Kalman ，匈牙利数学家， 1930 年出生于匈牙利首都布达佩斯。 1954 年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。 1953 ， 1957 年于哥伦比亚大学获得博士学 1960 年发表的论文《 A New 位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和 Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 》（线性滤波与预测问题的新方法）。 如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf 。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“ optimal recursive data processing algorithm （最优化自 回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的 广泛应用已经超过 30 年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别， 图像分割， 图像边缘检 测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter ） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器， 考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。 这里会应用形象的描述方法来讲解， 而不是像大多数参 但是， 他的 5 条公式是其核心内容。 结合现代的计 算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那 5 条公式。 在介绍他的 5 条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。 根据你的经验判断， 这个房间的温度是恒定的， 也就
    （假设我们用一分钟来做时间单位） 是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度 经验不是 100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（ 。假设你对你的 White Gaussian Noise ），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（ Distribution ）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比 实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 Gaussian 好了， 现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值： 你根据经验的预测值 （系统的预测 值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际 温度值。 假如我们要估算 k 时刻的是实际温度值。 首先你要根据 k-1 时刻的温度值， 来预测 k 时刻的温度。 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 因为你相信温度是恒定的，所以你会得到 度，同时该值的高斯噪声的偏差是 偏差是 3，你对自己预测的不确定度是 计那里得到了 k 时刻的温度值，假设是 25 度，同时该值的偏差是 4 度。 5 度（ 5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的 5）。然后，你从温度 4 度，他们平方相加再开方，就是 由于我们用于估算 k 时刻的实际温度有两个温度值， 分别是 23 度和 25 度。究竟实际温度是多少 covariance 来判断。 呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的 因为 Kg^2=5^2/(5^2+4^2) ，所以 Kg=0.78 ，我们可以估算出 k 时刻的实际温度值是： 23+0.78* (25-23)=24.56 度。可以看出，因为温度计的 covariance 比较小（比较相信温度计），所以估 算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到 k 时刻的最优温度值了， 下一步就是要进入 k+1 时刻， 进行新的最优估算。 到 对了， 在进入 k+1 时刻之前， 我们还要算出 k 现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。 时刻那个最优值（ 24.56 度）的偏差。算法如下： ((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35 。这里的 5 就是上面 的 k 时刻你预测的那个 23 度温度值的偏差， 得出的 2.35 就是进入 k+1 时刻以后 k 时刻估算出的 最优温度值的偏差（对应于上面的 3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把 covariance 递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很 快，而且它只保留了上一时刻的 covariance 。上面的 Kg，就是卡尔曼增益（ Kalman Gain ）。他 可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！ 下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。 3． （The Kalman Filter Algorithm 卡尔曼滤波器算法 ） 在这一部分，我们就来描述源于 概念知识， 包括概率 （ Probability ），随即变量 （ Random Variable ），高斯或正态分配 （ Gaussian Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的 Distribution ）还有 State-space Model 等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一 描述。 首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（ Stochastic Difference equation ）来描述： Linear
    X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中， X(k) 是 k 时刻的系统状态， U(k) 是 k 时刻对系统的控制量。 A 和 B 是系统参数，对 于多模型系统，他们为矩阵。 Z(k) 是 k 时刻的测量值， H 是测量系统的参数，对于多测量系统， H 为矩阵。 W(k) 和 V(k) 分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声 Noise) ，他们的 covariance 分别是 Q， R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。 (White Gaussian 对于满足上面的条件 ( 线性随机微分系统， 过程和测量都是高斯白噪声 ) ，卡尔曼滤波器是最优的 信息处理器。下面我们来用他们结合他们的 covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一 节那个温度的例子）。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是 k，根据系统 的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k- 1)+B U(k) ……… .. (1) 式(1) 中， X(k|k-1) 是利用上一状态预测的结果， X(k-1|k-1) 是上一状态最优的结果， U(k) 为现 在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为 0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于 们用 P 表示 covariance ： X(k|k-1) 的 covariance 还没更新。我 P(k|k-1)=A P(k-1|k- 式 (2) 中， P(k|k-1) 是 X(k|k-1) 对应的 covariance ， P(k-1|k-1) 是 X(k-1|k-1) 对应的 1) A ’+Q ……… (2) covariance ，A’表示 A 的转置矩阵， Q 是系统过程的 covariance 。式子 1，2 就是卡尔曼滤波器 5 个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值， 我们可以得到现在状态 (k) 的最优化估算值 X(k|k) ： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k- 其中 Kg 为卡尔曼增益 (Kalman Gain) ： Kg(k)= P(k|k- 1) H ’ / (H P(k|k 1)) ……… (3) - 1) H ’ + R) ……… (4) 到现在为止，我们已经得到了 k 状态下最优的估算值 X(k|k) 。但是为了要另卡尔曼滤波器不断 的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新 P(k|k)= （ I-Kg(k) H ） P(k|k- 1) ……… (5) 其中 I 为 1 的矩阵，对于单模型单测量， I=1 。当系统进入 k+1 状态时， P(k|k) 就是式子 (2) 的 P(k-1|k-1) 。这样，算法就可以自回归的运算下去。 k 状态下 X(k|k) 的 covariance ： 卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子 式，可以很容易的实现计算机的程序。 1，2，3，4 和 5 就是他的 5 个基本公式。根据这 5 个公 下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。 4． 简单例子 （A Simple Example ）
    这里我们结合第二第三节， 举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。 是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。 所举的例子 根据第二节的描述，把房间看成一个系统， 常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以 然后对这个系统建模。 当然， 我们见的模型不需要非 A=1。没有控制量， 所以 U(k)=0 。因此得出： X(k|k-1)=X(k-1|k- 1) ……… .. (6) 式子（ 2）可以改成： P(k|k-1)=P(k-1|k- 1) +Q ……… (7) 因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以 X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k- 1)) ……… (8) H=1。式子 3， 4， 5 可以改成以下： Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k- 1) + R) ……… (9) P(k|k)= （ 1-Kg(k) ） P(k|k- 1) ……… (10) 现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为 些测量值的平均值为 25 度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。 25 度，我模拟了 200 个测量值，这 为了令卡尔曼滤波器开始工作， 我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值， 是 X(0|0) 和 P(0|0) 。 他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作， X 会逐渐的收敛。但是对 于 P，一般不要取 0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的 算法不能收敛。我选了 X(0|0)=1 度， P(0|0)=10 。 X(0|0) 是系统最优的，从而使 该系统的真实温度为 25 度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该 结果在算法中设置了 Q=1e-6 ， R=1e-1 ）。 最佳线性滤波理论起源于 40 年代美国科学家 Wiener 和前苏联科学家Ｋ олмогоров等人的研 究工作， 后人统称为维纳滤波理论。 从理论上说， 维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数 据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点， 并导出了一套递推估计算法， 后人称之为卡尔曼滤波理论。 卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计 60 年代 Kalman 把状态空间模型引入滤波理论， 的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法， 其基本思想是： 采用信号与噪声的状态空间模型， 利 用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计， 于实时处理和计算机运算。 求出现时刻的估计值。 它适合 现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为： X(k) = F(k,k- 1) ·X(k-1)+T(k,k- 1) ·U(k-1) Y(k) = H(k) ·X(k)+N(k) 其中 X(k) 和 Y(k) 分别是 k 时刻的状态矢量和观测矢量 F(k,k-1) 为状态转移矩阵
    U(k) 为 k 时刻动态噪声 T(k,k-1) 为系统控制矩阵 H(k) 为 k 时刻观测矩阵 N(k) 为 k 时刻观测噪声 则卡尔曼滤波的算法流程为： 预估计 X(k)^= F(k,k- 1) ·X(k -1) 1. 计算预估计协方差矩阵 C(k)^=F(k,k- 1) ×C(k) ×F(k,k -1)'+T(k,k- Q(k) = U(k) ×U(k)' 2. 计算卡尔曼增益矩阵 1) ×Q(k) ×T(k,k -1)' K(k) = C(k)^ ×H(k)' ×[H(k) ×C(k)^ ×H(k)'+R(k)]^( R(k) = N(k) ×N(k)' -1) 3. 更新估计 X(k)~=X(k)^+K(k) ×[Y(k) - H(k) ×X(k)^] 4. 计算更新后估计协防差矩阵 C(k)~ = [I- K(k) ×H(k)] ×C(k)^ ×[I 5. X(k+1) = X(k)~ C(k+1) = C(k)~ 重复以上步骤 - K(k) ×H(k)]'+K(k) ×R(k) ×K(k)'
    Kalman Filter 科技 2010-05-29 21:13:49 阅读 90 评论 0 字号：大中小 订阅 Kalman Filter 是一个高效的递归滤波器，它可以实现从一系列的噪声测量中，估 统的状态。广泛应用于包含 Radar、计算机视觉在内的等工程应用领域，在控制理论和控制 系统工程中也是一个非常重要的课题。连同线性均方规划，卡尔曼滤波器可以用于解决 LQG(Linear-quadratic-Gaussian control) 问题。卡尔曼滤波器，线性均方归化及线性均方高斯 控制器，是大部分控制领域基础难题的主要解决途径。 目录 ■ 1 应用实例 ■ 2 命名和发展历史 ■ 3 基本动态系统模型 ■ 4 卡尔曼滤波器 计动态系 4.1 预测 4.2 更新 4.3 不变量 ■ 5 实例 ■ 6 推导 6.1 后验估计协方差矩阵推导 6.2 Kalman 增益推导 6.3 后验误差协方差矩阵简化 ■ 7 信息滤波 ■ 8 非线性滤波器 8.1 扩展 Kalman 滤波 简要描述如下： 假设我们可以获取一个物体的包 8.2 Unscented Kalman filter ■ 9 Kalman-Bucy 滤波 ■ 10 应用 ■ 11 参见 ■ 12 参考文献 ■ 13 外部链接 ■ 1 应用实例 一个简单的应用是估计物体的位置和速度； 含噪声的一系列位置观测数据，我们可以获得此物体的精确速度和位置连续更新信息。 例如，对于雷达来说，我们关心的是跟踪目标，而目标的位置，速度，加速度的测量值是时 刻含有误差的， 卡尔曼滤波器利用目标的动态信息， 去掉噪声影响， 获取目标此刻好的位置 估计 (滤波 )，将来位置估计 (预测 )，也可以是过去位置估计的 (插值或平滑 ) ■ 2 命名和发展历史 这个滤波器以它的发明者 Rudolf.E.Kalman 而命名， 但是在 Kanlman 之前， Thorvald Nicolai Thiele 和 Peter Swerling 已经提出了类似的算法。 Stanley Schmidt 首次实现了 Kalman 滤波 器。在一次对 NASA Ames Research Center 访问中，卡尔曼发现他的方法对于解决阿波罗计 划的轨迹预测很有用，后来阿波罗飞船导航 电脑就使用了这种滤波器。这个滤波器可以追 溯到 Swerling(1958),Kalman(1960),Kalman 和 Bucy(1961) 发表的论文。 这个滤波器有时叫做 Stratonovich-Kalman-Bucy 滤波器。因为更为一般的非线性滤波器最初 由 Ruslan L.Stratonovich 发明，而 Stratonovich-Kalman-Bucy 滤波器只是非线性滤波器的一个 特例。事实上， 1960 年夏季， Kalman 和 Stratonovich 在一个 Moscow 召开的会议中相遇，
    Stratonovich 在此以前发表了。 而作为非线性特例的线性滤波方程，早已经由 在控制领域， Kalman 滤波被称为线性二次型估计， 目前 ,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现， Bierman 和 Thornton 发明的平方根滤波器 有施密特扩展滤波器、信息滤波器以及一系列的 等，而卡尔曼最初提出的形式现在称为简单卡尔曼滤波器。 也许最常见的卡尔曼滤波器应用 是锁相环，它在收音机、计算机和几乎全部视频或通讯设备中广泛存在。 ■ 3 基本动态系统模型 Kalman 滤波基于时域描述的线性动态系统，它的模型是 立在一个被高斯噪声干扰的线性算子之上。系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。 随着离散时间的增加， 这个线性算子就会作用到当前状态之上， 带入一定的噪声， 同时一些已知的控制信息也会加入。 同时另外一个受噪声干扰的线性算子 将产生这些隐含状态的可见输出。 Kalman 滤波可以被看作为类似隐马尔科夫模型，它们的 显著不同点在于： 隐状态变量的取值空间是一个连续的空间， 隐马尔科夫模型可以描述下一个状态的一个任意分布，这也与应用于 斯噪声模型相反。 Kalman 滤波器方程和隐马尔科夫方程之间有很大的二重性， 滤波方程和隐马尔科夫方程之间二重性参看 为了从一系列的噪声观测中， 应用 Kalman 滤波估计观测过程的内部状态。 我们必须把这个 过程在 Kalman 滤波器的框架下建立模型， Roweis and Ghahramani(1999)[4] 。 这就意味着，对于 而离散状态空间则不是； 另为， Kalman 滤波器中的高 关于 Kalman Markov Chain ，而 Markov Chain 建 产生一个新的状态， 并且会 每一步 k 我们要定义矩阵 、 、 、 、 如下： Kalman Filter 假 设 k 时 刻 的 真 实 状 态 是 从 k-1 时 刻 演 化 而 来 ， 符 合 下 式 这里 ■ 是作用在前一状态的状态转移模型 (状态转移矩阵 ) ■ 是作用在控制向量 上的控制输入模型 (输入输出矩阵 ) ■ 是过程噪声，假设是均值为 0 的白噪声，协方差为 则： 在 k 时刻，假设真实状态 的观测， 满足如下公式： 其中 是观测模型 (观测矩阵 )，它把真实状态映射到观测空间， 是观测噪声，假设它 是均值是 0，方差是 的高斯白噪声： Kalman Filter 基本动态系统模型如图 (1)所示， 圆圈代表向量， 方块代表矩阵， 星号代表高斯 噪声，其协方差在右下方标出。 初始状态以及每一时刻的噪声向量 {x0, w1, ..., wk, v1 ... vk} 都为认为是互相独立的。实际 Kalman 模型是设计在噪声过程工 中，真实世界中动态系统并不是严格的符合此模型。但是 作的， 一个近似的符合已经可以使这个滤波器非常有用了， 模型的变种，将在下述中讨论： 更多复杂模型关于 Kalman Filter
    图 (1) ■ 4 卡尔曼滤波器 Kalman Filter 是一个递归的估计，即只要获知上一时刻的状态估计和当前状态的观测就可 以计算出当前状态的估计， 不同于其他的估计技术， Kalman 滤波器不需要观测或 /和估计的 历史记录， Kalman Filter 是一个纯粹的时域滤波器，而不像低通滤波器等频域滤波器那样， 需要在频域中设计，然后转换到时域中应用。 下面， 代表已知从 m 到 n-1 包括 m 时刻的观测在 n 时刻的估计值 卡尔曼滤波器的状态由以下两个变量表示： ■ 已知 k 时刻以前时刻观测值， k 时刻的状态估计值 ■ 误差协方差矩阵，度量状态估计的精度程度 Kalman 滤波包括两个阶段：预测和更新；在估计阶段，滤波器应用上一状态的估计做出对 当前状态的估计。 在更新阶段， 滤波器利用在当前状态的观测值优化预测阶段的预测值， 获的一个更精确的当前状态的估计。 以 4.1 预测 状态预测： ■ 估计协方差预测： ■ 4.2 更新 新息或测量余量 ■
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