Wiener-Hopf 方程推导 设真实信号用 ( ) s n 表示，噪声用 ( )w n 表示，则输入信号： ( ) x n  ( ) ( ) s n w n  设 N 阶维纳滤波器的取样响应为 ( )h n ，则输出信号： ( ) y n  ( )* ( ) x n h n  N  k  0 滤波误差： 误差均方值： ( ) e n  ( ) s n  ( ) y n  ( ) s n  ( ) ( h k x n k  ) N  k  0 ( ) ( h k x n k  ) 2 [ E e n ( )]  [( ( ) E s n  N  k  0 ( ) ( h k x n k  2 )) ] (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) 方程 1.4 右端含 1N  个未知数，分别是 (0)h 、 (1)h 、 (2)h ...... ( h N ,代表 ) 着 N 阶维纳滤波器的取样响应。要使误差均方值要取得最小，问题转 化为 1N  元方程求最值问题，令方程对 (0)h 、 (1)h 、 (2)h 导都为 0 即可得解： ...... ( h N 的偏 ) 对方程 1.4 两边对 ( h m )(0 „ „ 求偏导： m N )  ( h m  )  2 [ E e n  ( )]   ( h m  ) 2  [ E s n   ( ) 2 ( ) s n  N  k  0 ( ) ( h k x n k  )  [ N  k  0 ( ) ( h k x n k  2 )] ]      ( h m  )    2 [ E s n ( )] 2 [ ( ) E s n  N  k  0 ( ) ( h k x n k  )]  E [[ N  k  0 ( ) ( h k x n k   2 )] ]    ( ( ) s n  [ E 2 ( ) s n  ( ) h m  ] 2 [ E    0 2 [ ( ) ( )] E s n x n m   ( ) ( h k x n k  N  0 ( ) h m   k ))  ([ ]  [ E N  k  0 ( ) ( h k x n k  2 )] ) ( ) h m  ]  ( ( ) ( h k x n k  )  N  k  0 ( ) ( h k x n k  )) ( ) h m  ] N  [2 E k  0 

  2 [ ( ) ( E s n x n m  )] 2 [ E  N  k  0 ( ) ( h k x n k  )  ( x n m  )] N   xx k  0 ( ) ( ) m k h k   2  sx ( m ) 2    2  sx ( m ) 2  令： 得： N   xx k  0 ( m k h k ) ( ) 0   N   xx k  0 ( ) ( ) m k h k    sx ( m ) (0 „ „ )m N 方程 1.5 就是著名的 Wiener-Hopf 方程，其矩阵表达式为： (0)  xx (1)  xx  (        xx N ) (1)  xx (0)  xx  N  (  xx    xx (  xx ) ( N 1) N   (0)       (0) h (1) h  ( h N )              (0)  xx (1)  xx  (        xx N )       1)   xx (1.5) (1.6) https://blog.csdn.net/lishan132