2017年云南昆明理工大学量子力学考研真题A卷.doc

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2017 年云南昆明理工大学量子力学考研真题 A 卷一选择题（27 分，每题 3 分，共 9 题。每个题有 A、B、C 和 D 四个选项，其中只有一个符合题意，请将正确的选项写在答题纸上）。 1. 关于光的波粒二象性，下述说法正确的是 [ ] （A）光电效应说明光具有粒子性（B）个别光子产生的效果以显示粒子性（C）光的衍射说明光具有粒子性（D）频率高的光子易显示波动性 2. 康普顿散射中，当φ为 [ （A） 0 （B）  2 ]时，散射 X 光子的波长与入射光子相同。 3 2 （C） （D） 3. 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的：[ ] （A）动能相同（B）能量相同（C）速度相同（D）动量相同 4. 关于不确定关系  x   xp  有以下几种理解，正确的是：[ ] （1）粒子的动量不可能确定（2）粒子的坐标不可能确定（3）粒子的动量和坐标不可能同时确定（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它微观粒子（A）（1）、（2）（B）（2）、（4）（C）（3）、（4）（D）（1）、（4） 5. 如果电子被限制在边界 x 与分量的不确定度数量级为（以 kg/ms 为单位）：[ x  之间， x 为 0.5nm（ x ] 1nm  9 m10 ）。则电子动量 x （A） 10 10 （B） 14 10 （C） 19 10 （D） 24 10 6. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：   )( x 1 a cos 3 x  2 a （  a x a ），那么粒子在（A） 1 a x  处出现的几率密度为：[ 5a 6 （B） 1 a2 ] （C） 1 a2 （D） 1 a 7. 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的条数是：[ ] （A）1 （B）2 （C）3 （D）6

8. 下列哪个不是线性厄米算符：[ ] （A）  i h  t  （B）  i  x 2  （C） 2 x （D）  t 9. 已知哈密顿算符 Hˆ 的本征值为 nE ，对应的正交归一的本征态为 n ，若体系的状态为  = 3 5 2 + 4 5 9 ，则在  下体系能量的平均值为：[ ] （A） 2 E E  9 （B） 9 25 E  2 16 25 E 9 （C） 9 25 E 2  16 25 E 9 （D） 3 25 E 2  4 25 E 9 二、填空题（共 33 分）。 10（6 分）. 设描述微观粒子运动的波函数为  t,rΨ ，其归一化条件是， *ΨΨ 表示。 11（6 分）. 氢原子的部分能级跃迁如右图所示。在这些的能级跃迁到 n 能级跃迁中，从 n 能级时所发射的光子的频率最大；从 n 级跃迁到 n 的能级时所发射的光子的频率最小。的的能 4n 3n 2n 1n 12（3 分）. 已知氢原子的基态能量为 eV6.13 ，将基态电子电离需要的最小能量为 eV。 13（4 分）. 量子力学中表示力学量的厄米算符的所有本征函数构成；力学量的取值范围就是该算符的所有。 14（4 分）. 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的；若两个算符不对易，则两个算符之间存在。 15（6 分）. 泡利矩阵 xˆ = 16（4 分）. 若 Lˆ 表示角动量算符，其分量分别表示为 xLˆ ， yLˆ ， zLˆ ，则有 ； yˆ = ； zˆ = 。 x LL ˆ,ˆ y = ；而 yLL ˆ,ˆ2 = 。三、简答题（共 15 分） 17（5 分）举两个实验例子说明微观粒子的波粒二象性。

18（5 分）任选两个位与量子力学发展有关的科学家，介绍他们对量子力学建立做出的主要贡献。 19（5 分）解释简并度。四、证明题（共 30 分） 20（15 分）. xpˆ 是动量算符，   f x 是 x的可微函数，证明     ,ˆ xfpx  i   xf  x  。 21（15 分）. 设Uˆ 为幺正算符，若存在两个厄米算符 Aˆ 和 Bˆ 使 ˆi ˆ BAU   ˆ ，试证： (1) 2 ˆ A ˆ  B 2  1 ，且  0 ˆ,ˆ BA ；(2)进一步证明Uˆ 可表示成 ˆ U Hˆie ， Hˆ 为厄米算符。五、计算题（共 45 分） 22 (15 分). 氢原子的基态波函数为    r , ,  a 0 1 a  0 r a 0e 式中 a0 为玻尔半径。（1）试给出在 r到 r+dr之间的球壳内找到电子的几率；（2）求几率最大的 r值；（3）计算在 020 a，空间发现电子的概率。 23（15 分）设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E和 E，现在受到微扰 Hˆ 的作用，微扰矩阵元为 H  11 H  22 b ， H  12 H  21 a ，a，b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 24 (15 分). 考虑自旋为 1/2 的系统，试在 2ˆS ， zSˆ 表象中求算符 SA ˆ  y ˆ SB z 的本征值及归一化的本征态，其中 A和 B为实常数，而 ˆ,ˆ y S S z 是自旋角动量算符。

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