2013年安徽高考理科数学试题及答案.doc

发布时间：2022-10-02 发布人：admin 分类：说明书资料大小：1.23M 资料格式：doc 举报版权申诉

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（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

【答案】

（16）（本小题满分12分）

（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为

所以动点P过定直线.

（19）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：平面与平面

（Ⅰ）对每个，存在唯一的

（21）（本小题满分13分）

（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

2013 年安徽高考理科数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。参考公式：如果事件 A 与 B 互斥，那么 ( P A B  )  ( ) P A  ( P B ) 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 ( P AB )  ( ( P A P B ) ) 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项第Ⅰ卷（选择题共 50 分）是符合题目要求的。（1）设i 是虚数单位，（A）1+i （C） 1+i 【答案】A 【解析】设 _ z 是复数 z 的共轭复数，若 |  （B）1 i （D） 1-i I x f x ( )>0 zi +2=2z ，则 z = .bi,+a=z 则 -a=z bi.z z i  2 2 z bi)+a(  -a( bi)i  2 (a 2  2 )ib  2 2a  2bi  a   2  2 2 b  2 a   2b  a   b    1 1 1  z i 所以选 A （2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）（C） 1 6 3 4 （B）（D） 25 24 11 12 【答案】D 【解析】 s  0 1 2 1 4 1 6  236  12  s , 11 12 11 12 . ,所以选 D （3）在下列命题中，不是公理．．的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。

所以选 A （4）" a  “是函数 ( )= ( f x 0" ax （A）充分不必要条件（C）充分必要条件【答案】C 【解析】当 a=0 时， -1) x 在区间(0,+ ) 内单调递增”的（B）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件 )( xf |  y x | )( xf ，在 0(  ) 上单调递增；当 a  0 且 x  0 时， )( xf (  ax  )1 x ， y  )( xf ，在 0(  ) 所以a . 上单调递增  0 是 y  )( xf ，在 0(  ) 上单调递增的充分条件 . y 相反，当   a 0 是 y  )( xf ，在 0(  ) 上单调递增  a 0 , )( xf ，在 0(  ) 上单调递增的必要条件 . 故前者是后者的充分必要条件。所以选 C （5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C 【解析】对 A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以 A 选项错。对 B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以 B 选项错。对 C 选项，男生方差为 40，女生方差为 30。所以 C 选项正确。对 D 选项，男生平均成绩为 90，女生平均成绩为 91。所以 D 选项错。所以选 C （6）已知一元二次不等式 ( )<0 f x 的解集为 | <-1 x x x或 > 1 2 （A） | <-1 x x x或 >lg2  （B） x |-1< -lg2 x x  （D） | <-lg2 x x  ，则 (10 )>0 f x 的解集为【答案】D 【解析】由题知，一元二次不等式 )( x  0 的解集为 (-1, 1 2 ), 即 1-  x e 所以选 D。  x 1 2 2ln （7）在极坐标系中，圆 =2cos p 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A） =0(    和 R )  cos=2  （B） = ( 2    和 R )  cos=2

 （C） = ( 2    和 R )  cos=1 （D） =0(    和 R )  cos=1 【答案】B 【解析】在极坐标系中，圆心坐标   1 ，   0 ，半径 r  .1 故左切线为   3  2 2 或右切线满足 cos   2  所以选 B  cos  .2 即切线方程为 :    2 和  cos  .2 （8）函数 = ( ) y f x 的图像如图所示，在区间 ,a b 上可找到 ( n n  2) 个不同的数 1 2, x x ..., ( f x ,n x 使得 1 x 1 ) = ) 2 ( f x x 2 = ) n ( f x x n , 则 n 的取值范围是（A） 3,4 （B）  2,3,4 （C）   3,4,5 （D） 2,3 【答案】B 【解析】由题知，过原点的直线 y = x 与曲线 = ( ) y f x 相交的个数即 n 的取值.用尺规作图，交点可取 2,3,4. 所以选 B （9）在平面直角坐标系中， o 是坐标原点，两定点 ,A B 满足    OA OB OA OB      2, 则点集  P OP    OA        OB 1,    , , R | 所表示的区域的面积是（A） 2 2 （B） 2 3 （C） 4 2 （D） 4 3 【答案】D 【解析】考察三点共线向量知识: 若 , CBA , 三点共线 , P 是线外一点则 PA   PB   PC , 其中    1 . 在本题中， OA  OB |  OA |  | OB |  cos   4 cos  建立直角坐标系，设   2  3 . A(2,0), B ).31( 则当    ,0 0 ，    1 时， P 在三角形 OAB ( 内含边界 ). 根据对称性，所求区域的面积 S  4 三角形 OAB 的面积  34 所以选 D （10）若函数 ( )= +b + f x ( x c 有极值点 1x ， 2x ，且 1 f x x 3 )= x ，则关于 x 的方程 1

3( ( f x 1 2 )) +2 ( )+ =0 f x b 的不同实根个数是（B）4 （D）6 （A）3 （C） 5 【答案】 A 【解析】使用代值法。设 f )(' x  (3 x  )(1 x  )2  2 3 x  3 x  6 )( xf  令 f )(' x  0 x 1 ,1 x 2  2 ( xf 1 )  c x 1 2 x  6 x  c .  3 2 ， 3 x 9 2 )(  xf ( 在  )2, 上单调递增，在 )12(  ，上单调递减，在 1(  ， ) 1 上单调递增，极小值为 . 由 f (' ( xf ))  0 )( xf  x 1 解得有二个根， )( xf  x 2 解得有一个根，共 3 . 个根所以选A 考生注意事项： 2013 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。二.填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。（11）若 8  x   a x 3    的展开式中 4x 的系数为 7，则实数 a  ___ 1 2 ___。【答案】 1 2 【解析】通项所以 1 2 8  r r xC 8 ( 3 a x r )  r xaC r 8 8 r  r 3  8 4 3 r  4 r ,3 3 aC 8 3  a 7 1 2 （12）设 ABC 的内角 , ,A B C 所对边的长分别为 , ,a b c 。若 b c   ，则3sin a 2 A  5sin , B 则 ___. 2 角C  __  3 2 3 【答案】  【解析】 3sin A  5sin , B  3 a 所以  2 3 ,5 cbb  2 a 2 aC  cos 2 c 2 b   2 ab  C 1 2  2 3

（13）已知直线 y a 交抛物线 y 2 x 于 ,A B 两点。若该抛物线上存在点C ，使得 ABC 为直角，则 a 的取值范围为___ ,1[  _____。 ) 【答案】 ,1[  ) 【解析】根据题意不妨 ( ,( xxCmmBmmA ), ),  ( , , 2 2 2 ), 则 AC  BC ( , xmx  2  2 m ()  , xmx  2  2 m )  2 x  2 m  2 ( x  m 22 )  m 0 4 2 2( x  )1 m 2  2 ( x  4 x )  0 （ 2 2 ( mxm ） - 2  2 x  )1  m 0 2 2 x  ,1[1  ) .所以 a ,1[  ) （14）如图，互不-相同的点 1 A A 2 , X  和 1 B B 2 ,n , , B  分别在角O的两条边上，所有 n nA B ,n , 相互平行，且所有梯形 A B B A 1 n n n n  的面积均相等。设 1 OA n a 若 1 a . n 21, a  则数列 na 的 2, 通项公式是_____ an  3 n  ,2 Nn  * ____。【答案】 an  3 n  ,2 Nn  * 【解析】设  OBA 1 1 的面积为 S ，梯形 0  S (,3 S 0 a 1 a 2 2 )  1 4 ABBA n n  的面积为 1 1  n n S  S 0  0 S S  ( a 1 a 2 2 ) . S 0   ( n nS )1  S S 0  ( a a n  2 n 1  2 )  31 n  34 n   ( a a n  2 n 1  2 .) 由上面 2 种情况得 3 n 3 n   2 1  ( a a n n 2 .) 1   ( a 1 a 2 2 () a a 2 3 2 () a a 3 4 2 )  ( a a n 1  n 2 )  (   1 n a  3 n  ,1 且 a 1  a 1 n a 1 a n 1  2 ) 1  4 4 7  7 10  3 n 3 n   2 1  1 3 n  1  ( 3 n  ,2 Nn  * a 1 a n 1  2 )  1 3 n  1 （15）如图，正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 1CC 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是__①②③⑤___（写出所有正确命题的编号）。 1 2  时，S 为四边形 ①当 0 CQ 1 2 ②当 CQ  时，S 为等腰梯形

【解析】设截面与相交于 T ，则 AT // PQ 且 AT 2 PQ  DT  2 CQ . 0  DT  .1 所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真. , DT 与 1 重合，截面S为四边形 APQD 1 , 所以 AP  . QD 1 截面S为等 ③当 ④当 3 4 CQ CQ  时，S 与 1 3 4 1  时，S 为六边形 1C D 的交点 R 满足 1 1 C R  1 3 ⑤当 CQ  时，S 的面积为 1 6 2 【答案】 ①②③⑤ 1 DD 1 2 1 = DT , 时 ,则时  对②, 0. 当对①， . 当 CQ  CQ 1 2 腰梯形. 所以为真. 3 4 CQ 对③, . 当时  QC 1  1 4 , DT  3 2 , TD 1  1 2 . 利用三角形相似解得 RC 1 1  1 3 . 所以为真. 对④, . 当 CQ  3 4  3,1 时 2  2 DT  .截面S与线段 CD,DA 1 1 1 相交，所以四边形S为五边形.所 1 以为假. 对⑤, . 当  CQ 1 与时， Q C 重合 , 截面 S 1 与线段 DA 1 1 相交于中点 G 即为菱形 1 APC 1 AG 1 .对角线长度分别为 2 ，和 S 3 的面积为 6 2 . 所以为真. 综上，选①②③⑤ 三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16）（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  4cos x   sin  x        4  (   0) 的最小正周期为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论 ( ) f x 在区间 【答案】（Ⅰ） 1 0,2 上的单调性。（Ⅱ） y  )( xf 在 ,0[   ] ] [ . 上单调递增；在，上单调递减 28 8 【解析】（Ⅰ）  22 cos x  (sin x  cos x  )  2 (sin 2 x   cos 2 x   )1  2 sin( 2 x    ) 4  2

  2  2  （Ⅱ）当 x  ,0[ 所以 y  )( xf 在   2 1 2 x ,2 .所以   sin( )( xf  ) 4    ] ] 2( ，令时， 4 4 2 2   ] ] ,0[ [ . 上单调递增；在，上单调递减 28 8  4 4 ,   2 x 1 x  ) [     解得 x   8 ；（17）（本小题满分 12 分）设函数 ( ) f x  ax (1   2 ) a x 2 ，其中 0 a  ，区间 |  I x f x ( )>0 （Ⅰ）求的长度（注：区间 ( ) 的长度定义为  ）； , （Ⅱ）给定常数 (0,1) k  ，当时，求l 长度的最小值。【答案】（Ⅰ） a 1 a  . 2 （Ⅱ） 1 k  1(1 k  2) 【解析】（Ⅰ） )( xf  [ ax 1(  2 ]) xa  0 x ,0( a a  1 ) 2 .所以区间长度为 a 1 a  2 . k   -1 k 恒成立。 1 k  1(1 k  2 ) （Ⅱ）由（Ⅰ）知， l  a a  2 1  1  a 已知 k  -10),1,0(  k 1  a k . 令 1 1 a 1  k  -1 k  0 k 2 1  1  )( ag  a 1 a 在 a 1  k 时取最大值  这时 l  1 k  1(1 k  2 ) 所以当 a 1  k 时， l 取最小值 1 k  1(1 k  2) . （18）（本小题满分 12 分）设椭圆 E : 2 2 x a  y  1 2 2 a  1 的焦点在 x 轴上（Ⅰ）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设 1 ,F F 分别是椭圆的左、右焦点， P 为椭圆 E 上的第一象限内的点，直线 2F P 交 y 轴与 2

点Q ，并且 1 F P FQ 1 ，证明：当 a 变化时，点 p 在某定直线上。【答案】（Ⅰ） 8 2 x 5 2 8  x 3  1 . （Ⅱ） x 01  y 【解析】（Ⅰ） 2  a 1  a 2 2, c  ,1 a 2 1  a 2 2  a c 2 5 8 8 ，椭圆方程为： 2 x 5  8 2 x 3  1 . （Ⅱ）设 F 1 (  c ),0, cF 2 ),0,( ,( mQyxP ,0( ), ), 则 PF 2  （ x  , yc ), QF 2  ,( mc  ) . 由 1  a 2  a 0 )1,0(  x ),1,0( y  )1,0( . PF 1  ( x  1 , PFmcQFyc ). 由 ,( ),  // PFQF , 2 2 1  QF 1 ( ) cm x yc    得：  ) ( my c xc     0  x ( )( xc  c ) 2  x y 2 2 y  c 2 . 联立 2 2 2 2 x a x a          y 1  2 y  1  2 a  a 2 c 2  1 2 解得  2 c 2  2  2 x x y 2  1  1  2 y 2 x 2  2 y  1 x 2 ( y  2 .)1  x  ),1,0( y  )1,0( 1  x y 所以动点 P 过定直线 x 01  y . （19）（本小题满分 13 分）如图，圆锥顶点为 p 。底面圆心为 o ，其母线与底面所成的角为 22.5°。 AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面 PCD 所成的角为 60°，（Ⅰ）证明：平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面；（Ⅱ）求 cos COD 。【答案】（Ⅰ）见下. （Ⅱ） 12-17 2

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