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简明量子力学吴飙 2019 年 8 月

吴飙献给我的家人 ii

目录前言第一章什么是量子？第二章量子力学简史 2.1 量子的诞生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 艰难起步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 氢原子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 危机四伏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 绝对的相同 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 原来是矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 粒子是波，波是粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 回味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第三章经典力学和旧量子理论 3.1 自由落体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 相空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 速度和加速度的微分表达 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 简谐振子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 旧量子理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第四章复数和线性代数 4.1 复数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 线性代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 希尔伯特空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii vii 1 11 11 14 17 22 23 29 31 34 39 39 41 45 46 47 51 51 55 55 58

吴飙 4.2.3 矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 本征态和本征值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 直积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第五章迈入量子之门 5.1 施特恩-格拉赫实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 量子态和它的几率内涵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 可观测量和算符 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 任意方向的自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 量子力学的基本原则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 目录 62 71 72 75 75 77 80 85 86 91 第六章量子动力学 93 93 6.1 薛定谔方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.2 波函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 哈密顿算符和幺正演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.4 量子能级和本征波函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5 态叠加原理和不可克隆定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.6 双缝干涉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 第七章量子纠缠和贝尔不等式 115 7.1 双自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2 量子纠缠 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2.1 贝尔不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.2.2 自我的缺失 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 第八章量子测量 131 8.1 不确定性关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.2 波包塌缩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.3 多世界理论和薛定谔猫 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.4 费曼的疏忽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 iv

目录吴飙第九章量子计算 159 9.1 经典计算机 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.1.1 基本框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.1.2 不能承受之量子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.2 量子计算机 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.3 量子计算机的特例：可逆经典计算机 . . . . . . . . . . . . . . 172 9.4 量子计算机到底有多强大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 9.5 难于上青天 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 第十章量子通信 185 10.1 光子的偏振和量子信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.2 量子隐形传态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3 经典加密 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.4 量子加密 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.5 未来的量子技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 推荐阅读致谢 203 205 v

吴飙目录 vi

前言量子力学诞生于二十世纪之初，是科学史上最深刻的革命之一。它颠覆了经典物理中许多基本观念，为我们描绘了原子分子以及更小基本粒子的神奇行为，而且它带来的技术革命已经并正在深刻改变人类社会的方方面面。尽管它是如此的重要，但很长一段时间量子力学只被物理学家，少数哲学家和相关人士关心。最近随着量子信息技术的发展，量子力学越来越受到大众的关注。本书试图向大众严肃而又通俗地介绍量子力学。通俗是指向尽可能多的人讲述和展示量子力学的美妙和神奇；严肃则意味着用数学来描述量子力学中最深刻的结果，而不只是文字叙述。为了平衡这两点，我假定读者都熟悉高中的数学知识。对于任何超越高中水平的数学，比如矩阵，线性空间等，我将按照需要多少讲解多少的方式介绍，适可而止不过分深入。这些超越高中水平的数学也不难，只要读者有毅力和耐心去做些简单的练习，就很快会熟悉和掌握。没有练习就没有理解。 1900 年普朗克揭开了量子物理的第一层神秘面纱，量子力学的基本框架完成于 1926 年，那年薛定谔写下了他不朽的方程。在这大约四分之一世纪里，伟大的量子先驱们用他们卓越的智慧，非凡的想象和不懈的努力将人类带入了神奇的量子世界并酝酿了一场翻天覆地的技术革命。本书将先简短讲述量子力学的发展历史，介绍量子先驱们和他们传奇的事迹。然后我将介绍那个神奇的量子世界：生活在希尔伯特空间的量子态、量子全同性、线性叠加、海森堡不确定性关系、量子纠缠、贝尔不等式、量子能级、薛定谔猫和多世界理论等。为了和经典物理比较，我将在介绍量子力学之前介绍经典力学。在本书最后，我将简要介绍量子计算和量子通信。 vii

吴飙 0. 前言本书对于物理专业的学生也会有很多帮助。物理系的学生经常迷失于求解薛定谔方程之中：掌握了很多数学公式，却没有很好地领会量子力学的基本要义。另外，传统的量子力学教科书不讲授量子纠缠和量子信息，本书对它们的介绍正好弥补了这个缺陷。本书的第一、二、三章可以选读。不熟悉复数和线性代数的，一定要仔细阅读第四章；数学好的读者也最好快速过一遍第四章，主要是熟悉狄拉克符号。第五、六、七章是必读，是阅读后续章节的基础。第六章和第七章的阅读次序可以随意。第八、九、十章最好按次序阅读。本书没有特意安排习题，但书中时常出现的 “有兴趣的读者...” 是在建议读者重复类似的推导或进行简单的证明。本书所有手工插图由孙兆程绘制；韩子朔提供了部分插图 1。吴飙北京成府路 209 号 1它们包括图2.1、2.3、3.1、3.2、6.2、6.4、6.3、8.1 viii

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