数学建模钢管切割（下料）.docx-资料库

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软件学院数学建模论文数学建模题目：钢管下料姓名 1：姓名 2：学号：学号：专班业：软件工程级：091112 指导教师：王兵贤 2011 年 06 月 08 日摘要

本文研究了原料钢管如何下料使得其总费用最少的问题，下料不一定是越多越好，也不是越少越好。下料过多，会浪费原料，是成本过高，下料过少，会使余料浪费，也会是成本过高，所以使用合理的方法去下料，使成本最低。如何根据顾客的不同需求对原料钢管下料使得其总费用及余料浪费最少。在一段时期内，每根原料钢管的购价稳定。根据题意，本文为关于钢管下料的优化问题，因此本文建立了整数非线性规划模型，运用 lingo 软件求解模型，获得对原材料钢管的最佳下料方案。通过求解获得了最优方案，使用三种切割模式切割原料钢管，共需原料钢管 19 根。模式一所需原料钢管为 14 根，模式二所需原料钢管为 4 根，模式三所需原料钢管为 1 根。关键词：钢管下料总费用最少整数非线形规划切割模式 LINGO 软件一、模型准备

提出问题：某钢管从钢管厂进货，然后根据顾客的要求进行切割出售。假设进货的原料钢管都是 1850mm，现有一顾客需要 15 根 290mm，28 根 315mm，21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管。为了简化切割过程，如果使用的切割模式不超过 4 种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多生产 5 根产品。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm。为了使得总费用最小，问应如何下料？二、模型假设 1. 在加工钢管时机器正常工作，垂直切割且按所要求的规格切割。 2. 所使用的切割机无损毁。 3. 所有钢管均合格。 4. 余料不进行循环加工使用。 5. 废屑忽略不计。 6. 每根原料钢管的价值稳定 7. 假设一切运作基本正常不会产生意外事件。。三、模型构成 1. xi：按照第 i 种模式，原料钢管被切割的根数。 2. ai：第 i 种模式下，每根原料钢管中切割为 290mm 规格的钢管根数。 3. bi：第 i 种模式下，每根原料钢管中切割为 315mm 规格的钢管根数。 4. ci：第 i 种模式下，每根原料钢管切割为 355mm 规格的钢管根数。 5. di：第 i 种模式下，每根原料钢管切割为 450mm 规格的钢管根数。 6. Li: 顾客所需钢管规格（L1=290mm, L2=315mm, L3=350mm，L4=455mm） 7. 8. min:表示取得的最小值，如钢管的根数或者是总的费用最小。 9. 其他:一些函数名称及一些临时变量的名称。 z: 表示生产钢管过程所需要增加的总费用问题分析：四、模型求解对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式，所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式是合理的，并从中选出不超过 4 种模式，但是这种方法比较复杂。所以我们选择建立整数非线性规划模型分析求解，同时确定切割模式和切割数量，。钢管进行切割后售出，为取得最大的经济效益要求总费用最少，而在进行切割时，一个合理的切割模模型应尽可能地减少余料浪费（题中给出要求为每根原料钢管浪费量不能超过 100mm）。

对要求的四种切割模式进行假设（为缩小可行解的搜索范围可直接假设 x1>=x2>=x3>=x4）,根据题目对模型中提出的各种要求将假设的数据进行约束，用 LINGO11 程序求出最优解，并将求出的最优解代入问题进行验证。模型建立：（1）为满足客户对不同规格的钢管根数的数量需求，应有： a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4≥15 b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4≥28 c1*x1+c2*x2+c3*x3+c4*x4≥21 d1*x1+d2*X2+d3*x3+d4*x4≥30 （2）每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过 1850，也不能少于1750（余料不能大于100），于是（3）每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多可生产5根产 1850≥L1*ai+L1*bi+L3*ci+L4*di≥1750,i=1,2,3,4 ai+bi+ci+di≤5,i=1,2,3,4 （4）由于切割模式的种类不超过4种且排列顺序是无关要紧的，而切割费用品，故有以下约束：与模式的使用频率有关，不妨假设： x1≥x2≥x3≥x4 290∗15+315∗28+350∗21+455∗30 1850 （5）原料钢管的根数不可能少于 =19（根）考虑一种最浪费的生产计划：若只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6 根290mmm钢管，而每种切割模式下的切割次数不能多于5次，所以一根原料钢管切割成5根290mm的钢管，而为满足15根290mm钢管的需求，则需要切割3根原料钢管；若只产生315mm钢管，一根原料钢管可切割成5根315mm钢管，而为满足28根315mm钢管的需求，则需要切割6根原料钢管；若只产生355mm钢管，一根原料钢管可切割成5根355mm钢管，而为满足21根355mm钢管的需求，则需要切割5根原料钢管；若只产生450mm钢管，一根原料钢管可切割成4根450mm 钢管，而为满足30根450mm钢管的需求，则需要切割8根原料钢管。因此，共需

3+6+5+8=22根原料钢管，所以有： 19≤x1+x2+x3+x4≤22 非负整数约束： xi , ai , bi , ci , di ,  z i=1,2,3,4 总的整数非线性规划模型为：目标函数： min z=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4 约束条件： a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4≥15 b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4≥28 c1*x1+c2*x2+c3*x3+c4*x4≥21 d1*x1+d2*X2+d3*x3+d4*x4≥30 1750≤L1∗ai+L1∗bi+L3∗ci+L4∗di≤1850 ai+bi+ci+di≤5 x1≥x2≥x3≥x4 9≤x1+x2+x3+x4≤22 运用 Lingo 求解 min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4; a1+b1+c1+d1<=5; a2+b2+c2+d2<=5; a3+b3+c3+d3<=5; a4+b4+c4+d4<=5; 290*a1+315*b1+350*c1+455*d1<=1850; 290*a2+315*b2+350*c2+455*d2<= 1850; 290*a3+315*b3+350*c3+455*d3<= 1850; 290*a4+315*b4+350*c4+455*d4<= 1850 290*a1+315*b1+350*c1+455*d1>=1750; 290*a2+315*b2+350*c2+455*d2>= 1750; 290*a3+315*b3+350*c3+455*d3>= 1750; 290*a4+315*b4+350*c4+455*d4>= 1750; a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4>=15; b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4>=28; c1*x1+c2*x2+c3*x3+c4*x4>=21; d1*x1+d2*X2+d3*x3+d4*x4>=30; x1>=x2; x2>=x3; x3>=x4; x1+x2+x3+x4<=22; x1+x2+x3+x4>=19; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

@gin(a1);@gin(a2);@gin(a3);@gin(a4); @gin(b1);@gin(b2);@gin(b3);@gin(b4); @gin(c1);@gin(c2);@gin(c3);@gin(c4); @gin(d1);@gin(d2);@gin(d3);@gin(d4); End 运行结果 Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 21.50000 21.50000 0.000000 104 8521 Value Row Slack or Surplus Variable X1 X2 X3 X4 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 C3 D3 A4 B4 C4 D4 1 2 3 4 5 6 14.00000 4.000000 1.000000 0.000000 1.000000 2.000000 0.000000 2.000000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000 2.000000 0.000000 1.000000 2.000000 1.000000 2.000000 0.000000 2.000000 21.50000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 80.00000

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0.000000 90.00000 80.00000 20.00000 100.0000 10.00000 20.00000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 10.00000 3.000000 1.000000 3.000000 0.000000 五、模型分析检验目标函数为 min z=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4。有多种切割方法，按模式一，二，三，第一种切割模式下剩余的材料为 20<100 第二种切割模式下剩余的材料为 100=100 第三种切割模式下剩余的材料为 10<100 则满足约束条件。六、评估与改进本文主要是研究如何下料，使得总费用最少，同时又保证顾客的需求，节约了成本，这样的生产方案是每个钢管厂所期盼的。但这只是在理想状态下的生产模式，在现实的生产过程中会受诸多因素的影响，而不能达到预期效果。通过建立模型，可以确定最佳的生产方案。而建模的建立，需要对问题进行详细的分析，分析的越详尽，所得到的约束条件就越多，最终求得的目标就越准确。

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