2008年江苏苏州科技学院高等代数考研真题.doc

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2008 年江苏苏州科技学院高等代数考研真题 1.（20 分）证明：如果 ( ( ), f x g x  ，则 ( ( )) 1 ( ) ( ), f x g x ( ) f x  ( )) 1 g x  。 2.（20 分）证明：如果向量组 1       ( , , , 2 1 s 0) 线性相关，则至少有一向量 (1  i  i s ) 可被 1    线性表示。 2 1 i , , c 3.（20 分）如果 1      c 2 c 3  ，且 1 3 c c  ，证明： ( L 0 0 )  ,  L ( )  , ，其中 , , 是某线性空间中的向量， ( L  表示 ,生成的子空间。 ) , 4.（20 分）特征值全为实数的 n 阶实方阵是否一定相似于对角矩阵？如果是，请给出证明，否则，举出反例。

5.（20 分）设 A 为数域 P 上的 n 阶方阵，且 2A A ，证明线性空间 nP 可分解为线性方程组 AX  与 ( 0 A E X  )  的解空间的直和，其中 0 X        x 1 x 2  x n       ， E 为 n 阶单位矩阵。 A 3 2   3      2 2  6 1    2   1  6. （20 分）求矩阵 0V 的一个基。的最大特征值 0 ，并求 A 的属于 0 的特征子空间 7.（20 分）设 A 为正定实对称矩阵，m 是任一正整数，证明：存在正定实对称矩阵 B ，使 mB A 。 8.（10 分）设 n 阶方阵 A 的行列式为 A d ，而矩阵 E A 的特征值的绝对值都小于 1，

其中 E 为 n 阶单位矩阵，证明： |0  d n 2|  ，其中 d 表示 d 的绝对值。

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