2007内蒙古考研数学二真题及答案.doc-资料库

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2007 内蒙古考研数学二真题及答案一．选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当 x  时，与 x 等价的无穷小量是 0 （B） A. 1 xe B. ln 1  1  x x C. 1 1x  D.1 cos  x （2）函数 ( ) f x  1 x ( e  e 1 x 在区间  , 上的第一类间断点是 x  (A) ) tan x  e ) ( x e A. 0 B. 1 C. （3）如图.连续函数 y  ( ) f x 在区间 3, 2 , 2,3     2   D.  2  上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 列结论正确的是：（C） 2,0 , 0,2     上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 ( ) F x .A . (3)F .C ( 3) F    3 ( 2) F  4 3 (2) F   4 .B (3)F .D ( 3) F  5 (2) F 4 5 ( 2) F    4 x   0 f ( ) t dt , 则下 (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 ( ) f x A. 若 lim 0 x  C. 若 lim 0 x  （5）曲线 .A 0 f   f (  x f  B. 若 lim 0 x   x  x 存在，则 (0) 0 ( ) f x x ( ) f x 存在, 则 (0) 0 x 1 ln(1 y   x .D 3 .B 1 ) 上具有二阶导数，且 "( ) 0 渐近线的条数为 lim 0 x  ( ) f x .C 2 ),x D.  e f f (  x (C) ) 存在, f (0) 0  ) 存在, f (0) 0  （D） (6)设函数 ( ) f x 在 (0, x  , 令 nu = ( ) 1,2......., f n  n , 则下列结论正确的是 (D) u A.若 1 u ，则 nu 必收敛 2 u B. 若 1 u ，则 nu 必发散 2 u C. 若 1 u ，则 nu 必收敛 2 u D. 若 1 u ，则 nu 必发散 2 （7）二元函数 ( , f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是（B） ) A. lim   , 0,0 x y       f x y ,   f  0,0     0

B. C. D.  f x ,0   x lim 0 x  f  0,0   ，且 0 lim 0 y  f  0, y  f  0,0   0  y lim   , 0,0 x y     f x  ,0 x 2    2 f y 0,0   0 lim ' f x    0  ,0 x   f x ' (0,0) x    0, 且 lim ' f y    0  ,0 x   y f ' (0,0) y    0, （8）设函数 ( , f x y 连续，则二次积分 ) dx 1 sin  x ( , f x y dy ) 等于（B）   2 .A .C 1 0  dy    ( , f x y dx ) arcsin y .B 1 0  dy    arcsin ( , f x y dy ) y y 1 0  dy  arcsin    2 ( , f x y dx ) .D y 1 0  dy  arcsin    2 ( , f x y dx ) （9）设向量组 1 ,   线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) , 2 3 （A）       1    1 2 2 3 3 , , （B）       1    1 2 2 3 3 , , （C） 1       1 2 , 3 2 2    , 2 2 3 （D） 1       1 2 , 3 2 2    , 2 2 3 （10）设矩阵 A=      2 1 1   1 2 1   1 2 1        ，B= 1 0 0 0 1 0 0 0 0           ,则 A 于 B，（B） (A) 合同，且相似 (C) 不合同，但相似 (B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 (11) lim 0 x  (12) 曲线 .  1 6 t 2 cos t arctan sin x   x  y  t x  3 x cos  1 sin   1 x  2  3 上对应于 t  的点处的法线斜率为（ 2 1 ）.  4 (13) 设函数 y ，则  0ny ＝ 2 3 n . (14) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y '' 4 ' 3   y y  2 2 x e 的通解 y＝_ x C e C e 1 2  3 x 2 x  2 e . (15) 设 ( , ) f u v 是二元可微函数， z  f ( y x , x y ) , 则 x z  x   y z  y    2 y x f  ( 1 y x , x y )  2 x y f  ( 2 y x , x y ) .

(16) 设矩阵 A        0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0       ，则 3A 的秩为_1______. 三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）设 ( ) f x 是区间 0,     4   上单调、可导函数，且满足 ( ) f x  0 f  1 ( ) t dt  x  0 t cos t sin t   sin cos t t dt ，其中 1 f  是 f 的反函数，求 ( ) f x . 【详解】：设 y  f ( ), t 则 t 1( ) y f . 则原式可化为： x f  1(0)  yf '( ) y dy 等式两边同时求导得： xf '( ) x  x f '( ) x sin cos （18）（本题满分 11 分） cos sin   x x  x x  x cos sin t   t sin cos t  0 sin cos x x  sin cos x x  t t dt 设 D 是位于曲线 y  xa   a  1,0    下方、 x 轴上方的无界区域. x  （Ⅰ）求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 ( )V a ；（Ⅱ）当 a 为何值时， ( )V a 最小？并求此最小值. 【详解】： ( ) ( ) I V a    0  2 y dx    0 (  xa  x 2 a 2 ) dx  2 a  2 (ln ) a 2 (ln ) a a (  ( ) II V a )    2 2  a (ln ) a 1 2 (2ln ) a 4  得 ln (ln 0 a a   1) 0 故 ln 即 a 1a  e 是唯一驻点，也是最小值点，最小值 ( )V e 2 e  （19）求微分方程  '' y x  y 2 '  满足初始条件 (1) y y ' y '(1) 1  的特解. 【详解】：设 p  y  ，则 dy dx y   代入得： dp dx

dp dx ( x  2 p )    p dx dp x 2 p  p  x p  p 设 x p  u 则 ) ( d pu dp   u p   u p du dp   u p   du dp 1 p c    1 u 即 x  2 p  c p 1 由于 (1) 1  y 故 1 1     c 1 c 1 0 即 x 2 p          p x x y 3 2 x 2 3  c 2 dy dx 5 3 3 22 x 3 1 3 1 3 由 y (1) 1    或 2 c  c 2 特解为 y 3 22 x 3  或 y    5 3 （20）已知函数 ( ) f a 具有二阶导数，且 '(0) f ＝1，函数 y  ( ) y x 由方程 y  y xe  1 1  所确定.设 z  f (ln y  sin ), x 求 dz dx  ， 0x 2 d z 2 dx  . 0 x 【详解】： y  y xe  1 1  两边对 x 求导得  y  ( e y 1   xe y 1   y  ) 0  得 y   1 1  y e xe  y 1  （当 0  x ， y 1) 故有  y  x  0 1 1  e 2 1   1 dz dx 2 d z 2 dx  f  (ln y  sin )( x x  0 1 y  y  cos ) x x  0  f  (0)(1 1 1) 0     f  (ln y  sin )( x x  0 1 y  y  cos ) x 2  f  (ln y  sin )( x   2 ) 2 ( y y  sin ) x x  0  f  (0)(1 1 1)   2  f  (0)( 1  2 1 1 0) 1 ( 1)        1 (21) （本题 11 分）设函数 ( ), f x g x 在[ , ]a b 上连续，在( , )a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值， ( )

( ) f a  ( ), ( ) g a f b  ( ) g b 【详解】：证明：存在 ( , )a b  ，使得 '' f ( ) g ( )  '' . 证明：设 ( ), f x g x 在 ( , )a b 内某点 ( , ) a b ( ) c 同时取得最大值，则 ( ) f c  ( ) g c ，此时的 c 就是所求点  使得 f ( ) ( )   g .若两个函数取得最大值的点不同则有设 ( ) max ( ), f c f x g d ( ) max ( ) g x   故有 ( ) f c  ( ) 0, g c  ( ) g d  ( ) 0 f d  ，由介值定理，在 ( , c d 内肯定存在 )  使得 f ( ) ( )   g 由罗尔定理在区间 ( , a b  内分别存在一点 ),( , )   1 2 , , 使得 f ' (  1 ) f ＝ ' (  2 ) ＝ 0 在区间 1 2 ( )  内再用罗尔定理，即 , 存在   ( , ) a b f ，使得 '' ( )   g '' ( )  . （22）（本题满分 11 分） x 2 设二元函数 ( , f x y ) . x  y  1. 1  2 x , 2 y 1  x  y  2.       ) 计算二重积分  D ( , . f x y d 其中 D   ( , x y x )  y   2 【详解】：D 如图（1）所示，它关于 x,y 轴对称， ( ,  ，其中 1D 是 D 的第一象限部分. ( , ) f x y d ( , ) f x y d    4  ) D D 1 f x y 对 x,y 均为偶函数，得 2 y 2 1D 2 (1) 2 x y 2 1 11D 12D 1 (2) 2 x 由于被积函数分块表示，将 1D 分成（如图（2））： 1 D D 11   D 12 ,且 D x 11 :  y  1, x  0, y  0 D 12 :1  x  y  2, x  0, y  0

于是  D 1 ( , ) f x y d    D 12 ) ( , f x y d    D 12 ( , ) f x y d  .而 ( , ) f x y d   1 0  dx  1  x 0 2 x dy  1 0  x 2 (1  ) x dx  D 11    1 3 1 4 1 12 ) ( , f x y d    D 12  D 12 1  2 x 2 y d    2   d   2   1 0 sin    cos cos sin 1 r  rdr ( ) 极坐标变换   2 0  1   cos d    sin  2 0  2 cos   2 sin d    2sin   2 2 cos  1  0 2 du 2 u   2 u 1  1  0 2 du 2 ( u   2 1)   2 0   2 (tan ) d 2 2 tan  2 1 tan   2  2  u 1     1 0 t  1 2 2 2 dt 2 t  2 2 ln 1 2 1  0 1 2 ln  1 2   t 2 1  2 1  ) dt  t 2 ln( 2 1)  ( 1 2   t t 1 0  所以得 ( , f x y d )  D 1 1 12  2 2 ln( 2 1)  ( , f x y d ) 4(  D 1 12  2 2 ln( 2 1))  (23) （本题满分 11 分）设线性方程组   x 1  x   1   x  1 x 2 2 x 2 4 x 2 x   3 ax  3 2 a x  3 0 0  0  (1) a   1 2 x 3 x 2   (2) x 与方程 1 有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 x   1   x  1  x   1   x  1 x 2 2 x 2 4 x 2 2 x 2 0 x   3 0 ax   3 2 0 a x   3 1 a x    3 (3) 的解.

即矩阵 1 1 1 0 2 a 2 1 4 a 1 2 1        0   0   0   1 a   1 1 0 1 0 0 0 0        a 1, a 2  . 1 1 a  1  2 a  3 a  4 0 0 0 0        方程组(3)有解的充要条件为当 1a  时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1) 的基础解系为 (1,0, 1)T  此时的公共解为： , k 1,2,    x k 当 2 a  时，方程组(3)的系数矩阵为 1 1 1 1 2 2 1 4 4 1 1 1       0 0 0 1        1 1 0 1 0 0 0 0       1 1 0 0 0 0 1 0       此时方程组 x (3)的解为 1  0, x 2  1, x 3   ，即公共解为： (0,1, 1)T 1  k (24)设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 1    3 2, 1,   2   2,   1 (1, 1,1)T  是 A 的属于 1的一个特征向量,记 B A  5  34 A  其中 E 为 3 阶单位矩阵 E ( )I 验证 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值的特征向量； ( )II 求矩阵 B . 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证 A n 1( n   n 1 1  1,2,3...) ，于是 B  1  5 ( A  3 4 A  E )      1   1) 5 1 3 1 4 2    ( 1 1 于是 1 是矩阵 B 的特征向量. B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到，即 (  B )  (  ) A 5  4 (  ) A 3 1  ，所以 B 的全部特征值为－2，1，1. 前面已经求得 1 为 B 的属于－2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 1 ( x x x ，所以有方程如下： )T , , 2 3 x 1  x 2  x 3  0  于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 2   T ( 1,0,1) ,  3  (1,1,0) T

（Ⅱ）令矩阵 P    3  , 2  , 1  1   1    1  1 1  1 0 1 0      ，则 1  P BP diag  ( 2,1,1)  ，所以 B P diag   ( 2,1,1)   P  1 1   1     1  1 1  1 0 1 0      diag ( 2,1,1)            1 3 1 3 1 3  1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3          1 0   0 1    1 1  1    1   0 

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