2014重庆考研数学二真题及答案.doc-资料库

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2014 重庆考研数学二真题及答案一、选择题:1  8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.  时，若 ln (1 2 )x 0 x (1) 当 的取值范围是( ， (1 cos )x  1  均是比 x 高阶的无穷小， ) (B) (1,2) (C) 1( 2 ,1) ) (A) (2, 1(0, 2 (D) ) (2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y   x sin (C) y   x sin x 1 x ( ) (B) y  2 x  sin (D) y  2 x  sin x 1 x (3) 设函数 ( ) f x 具有 2 阶导数， ( ) g x  f (0)(1  x )  f (1) x ，则在区间[0,1] 上（ f x ）  时， ( ) (A) 当 ( ) 0 f x  (C) 当 ( ) 0  ( ) g x f ( ) g x  时， ( ) f x x ( ) f x ( ) f x  ( ) g x  ( ) g x (B) 当 ( ) 0 f x  时， (D) 当 ( ) 0 x  时， f   x   y   2 2 t t   7 4 t  1 (4) 曲线（） (A) 10 50 (D)5 10 上对应于 1t  的点处的曲率半径是 (B) 10 100 (C)10 10

(5) 设函数 ( ) f x  arctan x ，若 ( ) f x   ，则 ( ) xf  2  lim 2 x 0 x  （） (A)1 1 3 (D) (B) 2 3 (C) 1 2 (6) 设函数 ( , u x y 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导 ) 数，且满足（） 2 u  x y    0 及 2 u  2 x   2 u  2 y   0 ，则 (A) ( , u x y 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 ) (B) ( , u x y 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得 ) (C) ( , u x y 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 ) (D) ( , u x y 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得 ) (7) 行列式 0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d  (A) ( ad bc ) 2 (C) 2 2 a d 2 2 b c （） (B)  ( ad bc  ) 2 (D) 2 2 b c 2 a d 2 (8) 设 1 2 ,   均为 3 维向量，则对任意常数 ,k l ，向量组 ,     线性无关是向量组   k l , 3 2 3 3 1 1 ,   线性无关的 , 2 3

(A) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件（） (B) 充分非必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9  14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9) 1  1 2 dx  __________. 2   (10) 设 ( ) x f x f x 是周期为 4 的可导奇函数，且 ( )  x 5  2( x  1), x  [0,2] ，则 (7) f  __________. (11) 设 z  ( , z x y ) 是由方程 2 yze   x 2 y dz ( 1 1 , 2 2 )  __________.   确定的函数，则 z 7 4 (12) 曲线 r r  的极坐标方程是 r ，则 L 在点 ( , r ( ) )     ( ) 2 2 , 处的切线的直角坐标方程是__________. (13) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 [0,1] 上 , 若其线密度   x    x 2  2 x  1 ,则该细棒的质心坐标 x  __________. 2 1 2 2 2 , x     4 2 x 1 x x 2 3 的负惯性指数为 1， ax x 1 3 (14) 设二次型   , f x x x 3 则 a 的取值范围为_______. 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)      t dt     t 2 1 x 求极限 lim x  1 t e   1       1   2 ln 1  x   x . (16)(本题满分 10 分)  y x 已知函数  y  满足微分方程 2 x  2 y y    ，且  1 y y  2  ，求 0

 y x 的极大值与极小  值. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域 D    , x y  1  2 x  2 y  4, x  0, y   0 , 计算 x sin    x 2 x y   2 y  dxdy . D (18)(本题满分 10 分) 设函数 ( ) f u 具有二阶连续导数， z f x (e cosy) 满足 z 2 2  x   z 2 2  y   (4 z  x e cos )e y 2 x ，若 f (0) 0,  f ' (19)(本题满分 10 分) (0) 0  ，求 ( ) f u 的表达式. 设函数 ( ), f x g x 的区间[a,b] 上连续，且 ( ) f x 单调增加，0 ( )  ( ) 1 g x  . 证明： (I)0  (II) a  a x  a b  a ( ) g t dt   , x a x  [ , ] a b , ( ) g t dt ( )d f x x  b  a (20)(本题满分 11 分) 设函数 f ( ) f x 1  ( ), f x ( ) f x 2  f ( ( )g( ) f x x dx .    0,1 ，定义函数列 , x x , (x)  x 1  ( )), f x 1 ( ) f x n  f ( f ( )), x 1  ，记 nS 是由曲线 n y  ( ) f x n ，直线 1x  及 x 轴所围成平面图形的面积，求极限 lim n nS n  . (21)(本题满分 11 分) 已知函数 ( , f x y 满足 ) f  y   2( y  1) ，且 ( , f y y )  ( y 2  1)  (2  y )ln , y 求曲线 ( , f x y  所围成的图形绕直 ) 0

线 y   旋转所成的旋转体的体积. 1  A 设矩阵 (22)(本题满分 11 分) 1    0 1   1 2  0 Ax  的一个基础解系； 4 2 3    1 1    3 0  (I)求方程组 (II)求满足 AB E 的所有矩阵. ， E 为三阶单位矩阵. (23)(本题满分 11 分) 证明 n 阶矩阵 1 1 1 1   1 1           1 1  1       与 0 0  0           0 1 0 2   0 n       相似. 参考答案一、选择题:1  8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. x  时，若ln (1 2 )x 0 (1) 当 的取值范围是( ， (1 cos )x  1  均是比 x 高阶的无穷小，则 ) (B) (1,2) (C) 1( 2 ,1)  ln (1 2 ) x  x ，故 1 .  lim 0 x  (2 )  x x  lim 2 x  0 1    x  0 (A) (2, 1(0, 2 (D) ) ) 【答案】B 【解析】由定义 lim 0 x  所以 1 0   当 x  时， 0 (1 cos ) ~  x 1  2  x 1 2  是比 x 的高阶无穷小，所以

2 1 0    ，即 2 . 故选 B (2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y   x sin (C) y   x sin x 1 x 【答案】C 【解析】关于 C 选项： x  sin 1 x  x ]  lim[ x  x . y 故选 C ( ) (B) y  2 x  sin (D) y  2 x  sin x 1 x 1 x  lim x  x  sin x limsin x  1 x 1 x sin x x   lim1 lim x    x 1 0 1    .  ，所以 0 y sin 1 x 存在斜渐近线 (3) 设函数 ( ) f x 具有 2 阶导数， ( ) g x  f (0)(1  x )  f (1) x ，则在区间[0,1] 上（ f x ） (A) 当 ( ) 0  时， ( ) f x  (C) 当 ( ) 0   时， ( ) f x x ( ) f x ( ) g x f ( ) ( ) g x f x 【答案】D  ( ) g x  ( ) g x (B) 当 ( ) 0 f x  时， (D) 当 ( ) 0 x  时， f 【解析】令 ( ) F x  ( ) g x  ( ) f x  f (0)(1  x )  f (1) x  ( ) f x ，则 F (0) F (1) 0  ,  ( ) F x   f (0)  f (1)   ( ) f x ,  ( ) F x   f  ( ) x . 若 ( ) 0  ，则 ( ) 0 F x x  ， ( )F x 在[0,1] 上为凸的. f (1) 0  ，所以当 [0,1] x  时， ( ) 0 F x  ，从而 ( ) g x  ( ) f x . 又 (0) F F 故选 D.

上对应于 1t  的点处的曲率半径是 (B) 10 100 (C)10 10   x   y   2 2 t t   7 4 t  1 (4) 曲线（） (A) 10 50 (D)5 10 【答案】C 【解析】 dy dx  t 1  4 2 t  2 t  3 t 1  2 d y 2 dx  t 1  ' dy dx  t 1   2 2 t 2 t   1 t 1  k  '' y  1  y 3 '2 2   1 q  3 2   1 ,   R 1 k  10 10 故选 C (5) 设函数 ( ) f x  arctan x ，若 ( ) f x   ，则 ( ) xf  2  lim 2 x 0 x  （） (A)1 1 3 【答案】D (D) (B) 2 3 (C) 1 2 【解析】因为 ( ) f x x  f ' ( )   1 2   1 ，所以 2  x ( ) f x  ( ) f x lim 0 x  2  2 x  lim 0 x  ( ) f x x  2 ( ) x f x  lim 0 x  x x  2 arctan arctan x x  lim 0 x  1  1 1 x  2 3 x 2  1 3

故选 D. (6) 设函数 ( , u x y 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导 ) 数，且满足 2 u  x y    0 及 2 u  2 x   2 u  2 y   0 ，则（） (A) ( , u x y 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 ) (B) ( , u x y 的最大值和最小值都在 D 的内部上取得 ) (C) ( , u x y 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 ) (D) ( , u x y 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得 ) 【答案】A 【解析】记 A  2 , 2  B u  x y    ,所以 (x, y) u  2 x  0 u , C  2 u  2 y  , B  0, , A C 相反数在 D 内无极值，则极值在边界处取得. 则  2 =AC-B 故选 A (7) 行列式 0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d  ( ) (A) ( ad bc ) 2 (B)  ( ad bc  ) 2 (C) 2 a d 2 2 2 b c (D) 2 2 b c 2 a d 2 【答案】B 【解析】由行列式的展开定理展开第一列 0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d   a a c 0 b d 0 0 0 d  c a 0 c b 0 d 0 b 0

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