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模式识别习题集答案.doc
模式识别导论习题集
1、设一幅 256×256 大小的图像，如表示成向量，其维数是多少？如
按行串接成一维，则第 3 行第 4 个象素在向量表示中的序号。
解：其维数为 2；序号为 256×2＋4＝516
2、如标准数字 1 在 5×7 的方格中表示成如图所示的黑白图像，黑为 1，
白为 0，现若有一数字 1 在 5×7 网格中向左错了一列。试用分别计算
要与标准模板之间的欧氏距离、绝对值偏差、偏差的夹角表示，异己
用“异或”计算两者差异。
解：把该图像的特征向量为 5×7＝35 维，其中标准模版的特征向量为：
x=[0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0]T
待测样本的特征向量为：
y=[0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0]T
因此欧氏距离为 35
，
，绝对值偏差为 35
14
) | 14
| (
x
(
x
y
i
2
)
y
i
i
i
i
1
夹角余弦为cos
||
，因此夹角为 90 度。
0
y
||
i
1
Tx y
||
||
x
3、哈明距离常用来计算二进制之间的相似度，如 011 与 010 的哈明距
离为 1，010 与 100 距离为 3。现用来计算 7 位 LED 编码表示的个数
字之间的相似度，试计算 3 与其它数字中的哪个数字的哈明距离最小。
解：是“9”，距离为 1
4、对一个染色体分别用一下两种方法描述：
(1)计算其面积、周长、面积/周长、面积与其外接矩形面积之比可
以得到一些特征描述，如何利用这四个值？属于特征向量法，还是结
构表示法？
(2)按其轮廓线的形状分成几种类型，表示成 a、b、c 等如图表示，
如何利用这些量？属哪种描述方法？
(3)设想其他结构描述方法。
解：
（1）这是一种特征描述方法，其中面积周长可以体现染色体大
小，面积周长比值越小，说明染色体越粗，面积占外接矩形的比例也
体现了染色体的粗细。把这四个值组成一个维数为 4 的特征向量，该
特征向量可以描述染色体的一些重要特征，可以按照特征向量匹配方
法计算样本间的相似度。可以区分染色体和其它圆形、椭圆细胞结构。
（2）a 形曲线表示水平方向的凹陷，b 形表示竖直方向的凹陷，c
形指两个凹陷之间的突起，把这些值从左上角开始，按顺时针方向绕
一圈，可以得到一个序列描述染色体的边界。它可以很好的体现染色
体的形状，用于区分 X 和 Y 染色体很合适。这是结构表示法。
（3）可以先提取待识别形状的骨架，在图中用蓝色表示，然后，
用树形表示骨架图像。
5. 设在一维特征空间中两类样本服从正态分布， 1 = 2 =1，µ1=0，µ2=3，
(
(
两类先验概率之比
，试求按基于最小错误率贝叶斯决策
1
2
原则的决策分界面的 x 值。
解：按照公式（2－84），分界面上的点应满足：
)
P
/)
P
e
[(
x
0) 1 (
x
0)
(
x
3) 1 (
x
3)]
1
2
ln
1
1
ln
e
0
1
2
3
x
0
11
2
x
11
6
6. 设有两类正态分布的样本集，第一类均值
1
t)0,2(
，
1
1
2/1
2/1
1
，
，现按基于最小错误率贝叶斯决策设计
)
1
P
(
2
t)2,2(
(
P
先验概率
2
分类器，试求分类器得分界面。
解：按照公式（2－84），分界面上的点应满足：
ln
[(
)]
x
x
x
x
1
(
(
1
(
)
T
2
)
T
)
1
)
1
2
1
2
1
1
ln1 0
1
(
x
)
1
(
x
T
2
)
1
(
x
2
)
1
2
(
x
x
1
T
)
1
2
x
2
7. 已知某一正态分布二维随机变量的协方差矩阵为
1
2/1
2/1
1
，均值
向量为零向量。试求其 mahalanobis 距离为 1 的点的轨迹。（不要求）
8. 设有二维随机变量的分布如图 a、b、c 所示的三种情况，协方差矩
，试问这三种分布分别对应哪种情况（A. a12>0 B.
阵表示成
a
11
a
21
a
12
a
22
(
x
1
{
E
x
1
x
2
a12<0 C. a12≈0）？
解：这 3 种情况都存在均值向量μ＝0，所以协方差矩阵为
所以对于图 a 而言，明显有 1 2x x 的平均值>0,因此 a→A,
对于图 b 而言，明显有 1 2x x 的平均值=0,因此 b→C,
对于图 b 而言，明显有 1 2x x 的平均值<0,因此 c→B,
E
2
x
1
x x
1 2
x x
1 2
2
x
2
)}
x
2
a
c
b
图 1
9. 什么叫对称矩阵？什么叫正定矩阵？半正定矩阵？试问协方差矩
阵是否是对称矩阵？
是否是正定矩阵或半正定矩阵？
答：对称阵：aij=aji。正定阵：它的特征值都大于 0。半正定阵：它的
特征值都大于等于 0。协方差矩阵是正定阵。
10. 设有 N 个 d 维向量组成样本集，表示成 X1，…，Xn，Σ是任一个
为最小的向量 X
x
x
1
)
(
N
k
非奇异对称阵，证明使
是该样本集的均值向量。（不要求）
x
x
1
)
(
T
k
k
证明：显然可以看出这是一个多元二次式。故极值位置是导数为零的
位置，求导，得：
N
k
1
(
x
k
T
x
)
N
1
k
1
1
(
x
k
x
)
0
,这是一个一次方程组，在
x
N
k
x
1
N
k
处得零。故极值在这里取得。
11. 设一个二维空间中的两类样本服从正态分布，其参数分别为
1
t)0,1(
，
1
01
10
，
t)0,1(
2
，
2
02
20
，先验概率
P
(
P
)
1
(
2
)
,
试证明其基于最小错误率的贝叶斯决策分界面方程为一圆，并求其方
程。
证明：先验概率相等条件下，基于最小错误率贝叶斯决策的分界面上
两类条件概率密度函数相等。因此有：
1
2
(
(
X
T
)
1
1
1
(
X
)
1
x
1
2
1)
2
x
2
2
(
x
1
1)
1
2
4ln28
1
2
1
2
(
X
T
2
)
1
2
(
X
2
)
1
2
ln |
2
|
ln |
|
1
1
2
2
x
2
ln 4
化简为
(
x
1
2
)3
x
2
2
，是一个圆的方程
12. 将上题推广到一般情况（不要求）
（1） 若
I2
1
，
k
2
,试说明先验概率相等条件
1
下，基于最小错误率的贝叶斯决策面是否是超球面；
（2） 它能否用 mahalanobis 距离平方为常数的轨迹表
示
（3） 用 mahalanobis 距离表示的轨迹，分析其Σ与Σ1,Σ2
的关系.
13. 对两类问题，若损失函数
11
22
0
， 0
12
,
21
0
风险贝叶斯决策分界面处的两类错误率与 12 ,
（不要求）
,试求基于最小
21 的关系。
14. 思考题：如果有两类问题，ω1 和ω2，现欲严格限制错将第二类误
?（不要
)1(
)2(
1
2
判成第一类的情况，那么应如何选择
求）
)2(
1
)1(
2
,
,
,
15. 证明在Σ正定或半正定时，mahalanobis 距离 r 符合距离定义的三个
条件，即（不要求）
（1） r(a,b)=r(b,a)
（2） 当且仅当 a=b 时，有 r(a,b)=0
（3） r(a,c)≤r(a,b)+r(b,c)
16、设五维空间的线性方程为
16
26
x
3
5
wXW T
试求出其权向量与样本向量点积的表达式
0
以及增广权向量与增广样本向量形式 YaT 中的 a 与 Y。
32
68
55
x
1
x
x
x
4
2
解：W=[55 68 32 16 26]T，X=[x1 x2 x3 x4 x5]
a=[55 68 32 16 26 10]T，Y=[x1 x2 x3 x4 x5 1]
0
0
，
10
中的 W，X
17、上式是一个五维空间的超平面，试求该平面到坐标原点的法向距
离。
解：根据式(4-8)，该式的权向量的模为：
2
2
2
2
2
68
26
16
12
55
W
而超平面到坐标原点的距离为
w
0
W
10
W
2
349
18、设在三维空间中一个类别分类问题拟采用二次曲面。如欲采用广
义线性方程求解。试向其广义样本向量与广义权向量的表达式，其维
数是多少？
解：根据式(5-29)
w x
kk
T
0
d
d
j
d
1
d
k
k
0
jk
j
j
1
1
2
k
w
1
j
( )
g x
其中
w x x
j
w x w
T
x Wx w x w
k
w
13
w
23
w
33
2
2
1
j
w
w
1
11
w
W w
2
12
w
w
3
13
2
2
2
w x w bx w cx
w x x
3
11 1
12 1 2
0
w x w x w x w
0
1 1
2
2
,
(
,
x x x x x x x x x x x x
Y
因此可令其广义样本向量为
1
3
2
3
,
,
(
w w w
W
11
13
w
12
w
22
w
23
广义权向量为
,
1 3
,2
w
13
w x x
13 1 3
1 2
,2
w
12
可得：
2 3
,2
2 2
3 3
,
,
2
2
22
33
2
2
12
,
,
w x x
23 2 3
,
w w w w w
23
0
,1) T
,
,
,
1
,
1
2
3
) T
19 、 设 两 类 样 本 的 类 内 离 散 矩 阵 分 别 为
1S
1
2/1
2/1
1
，
2S
1
2/1
2/1
1
均值向量
m
1
,)0,2(
t m
2
)2,2(
t
试用 fisher 准则求其决策面方
程。
解：由式(4-18)和(4-32)分别得总类内离散度矩阵和最佳投影方向
S
w
S
1
S
2
02
20
W
1
mmS
w
(
1
)
2
5.0
0
0
5.0
0
2
0
1
为
为，
因此，原二维空间的均值 m1、m2 在一维 y 空间中的投影分别
2
T
T
0
，
m W m
2
m W m
1
1
由于两类样本分布形状是相同的（只是方向不同），根据先验知
识 由 式 (4-33) 选 定 分 界 阈 值 点 y0 应 为 两 类 均 值 的 中 点 : 即
y
2
，
) / 2
。
1
(
m m
1
2
0
20、设在一个二维空间，A 类有三个训练样本，图中用红点表示，B
类四个样本，图中用蓝点表示。
试问：
（1） 按近邻法分类，这两类最多有多少个分界面
（2） 画出实际用到的分界面
（3） A1 与 B4 之间的分界面
有没有用到？
解: （1）按近邻法，对任意两个由不同类别的训练样本构成
的样本对，如果它们有可能成为测试样本的近邻，则它们构成一组最
小距离分类器，它们之间的中垂面就是分界面，因此由三个 A 类与四
个 B 类训练样本可能构成的分界面最大数量为 3×4＝12。
（2）实际分界面如下图所示，由 9 条线段构成。
（3）没有用到。因为它可以用 A1 与 B1 的分界面代替。
J
c
1
x
i
i
t
)1,1(,)0,1(,)1,0(
0
t
x m
i
t
t
)1,1(,)0,2(,)0,1(
21、C-均值算法的准则函数为：
据分别为
试求：
1） 两个集群的均值。
2） 若将 t)1,1( 数据从第一个集群转移至第二个时，准则函数值 J0
,设两个集群的数
与
t
t
2
的变化量。
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