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2013年上海高考文科数学试题及答案.doc
2013 年上海高考文科数学试题及答案
一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
1．不等式
x
x
1
2
0
的解为
．
2．在等差数列 na 中，若 1
a
3．设 m R ，
m m
2
2
a
2
m
2
4
a
30
a
，则 2
a
3
1 i
是纯虚数，其中i 是虚数单位，则 m
a
3
．
．
4．若
2
x
1 1
，
0
x
y
1 1
，则 x
1
y
．
5．已知 ABC
的内角 A 、 B 、C 所对的边分别是 a ，b ，c ．若 2
a
ab b
2
2
c
，则角
0
C 的大小是
（结果用反三角函数值表示）．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别
为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为
．
7．设常数 a R ．若
2
x
5
a
x
的二项展开式中 7x 项的系数为-10，则 a
．
9
x
3
1
cos cos
x
9．若
8．方程
1 3
x
的实数解为
．
y
sin sin
x
y
，则
cos 2
1
3
2x
y
．
10．已知圆柱 的母线长为l ，底面半径为 r ，O 是上地面圆心， A 、 B 是下底面圆周上两个
不同的点， BC 是母线，如图．若直线OA 与 BC 所成角的大小为
π
6
，则
1
r
．
11．盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积
为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）．
12．设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且
CBA
两个焦点之间的距离为
．
．若
π
4
AB ，
4
BC ，则 的
2
13．设常数 0
a ，若
9
x
2
a
x
对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为
a
1
．
14．已知正方形 ABCD 的边长为 1．记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1a
、 2a
、 3a
；
以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 1c
则
的最小值是
a
j
c
k
a
i
c
l
．
、 2c
、 3c
．若
i
,
,
j k l
,
1,2,3
且
i
,
j k
，
l
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
15．函数
f x
x
2 1
x
的反函数为
1
f
1
x
，则
1 2
f
的值是（
）
（A） 3
（B） 3
（C）1
2
（D）1
2
16．设常数 a R ，集合
A
x
x
|
1
x a
，
0
B
|
x x
．若 A B R
a
1
，则
a 的取值范围为（
（A）
,2
）
（B）
,2
（C）
2,
（D）
2,
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（
）
（A）充分条件
（B）必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分又非必要条件
18．记椭圆
2
x
4
2
ny
4
n
1
1
围成的区域（含边界）为
n n
，当点
1,2,
,x y 分别在
上时， x
,
,
1
2
y 的最大值分别是 1
M M ，则 lim n
M
,
,
2
n
（
）
A．0
B．
1
4
C．2
D． 2 2
三．解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
写出必要的步骤．
19．（本题满分 12 分）如图，正三棱锥O ABC
底面边长为 2 ，高为1，求该三棱锥的体积及
表面积．
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1
x ），每小时可获得
10
的利润是
100(5
x
1
元．
)
3
x
（1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为
100 (5
a
1
x
3
2
x
)
；
（2）要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此
最大利润．
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知函数 ( )
f x
2sin(
x
)
，其中常数
0 ．
（1）令
1 ，判断函数 ( )
F x
( )
f x
(
f x
的奇偶性并说明理由；
)
2
（2）令
2 ，将函数
y
( )
f x
的图像向左平移
6
个单位，再往上平移1个单位，得到函数
y
( )
g x
的图像．对任意的 a R ，求
y
( )
g x
在区间[ ,
10 ]
a a
上零点个数的所有可能值．
22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题
满分 8 分．
已知函数 ( )
f x
．无穷数列{ }na 满足 1
n
2 |
a
x
|
(
f a
n
),
n N
．
*
（1）若 1
a ，求 2a ， 3a ， 4a ；
0
（2）若 1
a ，且 1a ， 2a ， 3a 成等比数列，求 1a 的值；
0
（3）是否存在 1a ，使得 1a ， 2a ， 3a ，…， na …成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a ；
若不存在，说明理由．
23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题
满分 9 分．
如图，已知双曲线 1C ：
2
x
2
2
y
，曲线 2C ：|
1
y
|
|
x
| 1
． P 是平面内一点，若存在过
点 P 的 直 线 与 1C 、 2C 都 有 公 共 点 ， 则 称 P 为
“ 1C 2C 型点”．
（1）在正确证明 1C 的左焦点是“ 1C 2C 型点”时，
要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线
的方程（不要求验证）；
（2）设直线 y
kx 与 2C 有公共点，求证|
| 1
k ，进而证明原点不是“ 1C 2C 型点；
（3）求证：圆 2
x
2
y
内的点都不是“ 1C 2C 型点”．
1
2
参考答案
2．15
3．
m
2
4．1 5．
2
3
6．78
7． 2
8． 3
log 4
9．
7
9
11．
5
7
12．
4 6
3
13．
1[
5
,
)
14． 5
一、填空题
1．
1(0,
2
)
10． 3
二、选择题
15．A
16．B
17．A
18．D
三、解答题
19．
20．解：（1）每小时生产 x 克产品，获利
100 5
1x
3
x
，
生产 a 千克该产品用时间为
a
x
，所获利润为
100 5
x
1
3
x
a
x
100
a
5
1
x
3
2
x
.
（2）生产 900 千克该产品，所获利润为
90000 5
1
x
3
2
x
90000
3
1
x
1
6
61
12
所以 6
x ，最大利润为
90000
457500
元。
61
12
x
21．法一：解：（1） ( )
F x
2sin
( )F x 是非奇函数非偶函数。
2sin(
x
)
2
2sin
x
2cos
x
2 2 sin(
x
)
4
) 0,
∵ (
F
4
∴函数 ( )
F x
F
(
)
4
( )
f x
2 2
，∴ (
F
)
4
F
(
),
4
F
(
)
4
F
(
)
4
(
f x
是既不是奇函数也不是偶函数。
)
2
2sin 2
x
（2）
2 时， ( )
f x
其最小正周期T
， ( )
g x
2sin 2(
x
6
) 1 2sin(2
x
3
) 1
，
由 2sin(2
x
) 1 0
，得
∴ 2
x
3
( 1)
k
,
6
3
k
x
sin(2
)
3
k Z
x
，即
，
1
2
k
2
( 1)
k
12
6
,
k Z
区间
,
a a
10
的长度为 10 个周期，
若零点不在区间的端点，则每个周期有 2 个零点；
若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点，其它区间仍是 2 个零
点；
故当
a
法二：
k
2
( 1)
k
12
6
,
k Z
时，21 个，否则 20 个。
22．
23．
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