logo资料库

Better-Explained[数学篇].pdf

发布时间：2022-06-20 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：2.07M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
第1页 / 共108页
第2页 / 共108页
第3页 / 共108页
第4页 / 共108页
第5页 / 共108页
第6页 / 共108页
第7页 / 共108页
第8页 / 共108页
资料共108页，剩余部分请下载后查看
    《更好的解釋（數學篇）》
    作者：
    Kalid Azad
    译者：
    Gosin
    校对：
    lambda
    排版：
    lambda
    图片：
    Kalid Azad & lambda
    PRINT “HELLO, WORLD!”
    簡介
    為什麼要買這本書？
    怎樣使用這本書？
    這裏有幾條關於使用本書的建議：
    反饋
    出版說明
    法律部分
    CHAPTER 1
    發掘數學直覺
    1.1 圓是什麼？
    1.2 構建直覺的策略
    1.3 一個實例：理解e
    1.4 這其中寓意著什麼？
    CHAPTER 2
    畢達哥拉斯定理（勾股定理）
    2.1 理解面積是怎樣計算的
    2.2 我們可以任意選取線段嗎？
    2.3 我們可以在任意形狀中使用這一方法嗎？
    2.4 直覺化的看待畢達哥拉斯定理
    2.5 一些應用：試試任意一種圖形
    2.6 一些有用的應用：平方項守恆
    2.7 享受你的新觀點
    CHAPTER 3
    畢達哥拉斯距離
    3.1理解勾股定理
    3.2 那麼c是什麼呢？
    3.3 勾股定理的連鎖應用
    3.4 睜大眼睛，在三維世界中看看
    3.5 在不同的維度空間中應用勾股定理
    3.6 距離是怎樣計算出來的
    3.7 怎樣計算任意的距離
    3.8 測算用戶偏好
    3.9 發現色彩間的距離
    3.10 要點：你可以測量任何東西
    3.11 那麼，這裏到底發生了什麼呢？
    CHAPTER 4
    弧度與角度
    4.1 角度是從哪裏來的呢？
    4.2 基於太陽的數學看起來非常合理
    4.3 弧度有規則，角度則是在胡扯
    4.4 弧度：不再自私的選擇
    4.5 使用弧度
    4.6 弧度示例1：公車的輪胎
    4.7 弧度示例2：sin（x）
    4.8 那麼有很麼意義呢？
    CHAPTER 5
    虛數
    5.1 真正的理解負數
    5.2 進入虛數的世界
    5.3 以一種可視化的方法理解負數與復數
    5.4 發現其中的模式
    5.5 理解復數
    5.6 示例：旋轉
    5.7 復數不是「無稽之談」
    5.8 結尾：但是它們看起來還是很奇怪
    CHAPTER 6
    復數運算
    6.1 復變量
    6.2 測量大小
    6.3 復數的加法與減法
    6.4 復數的乘法
    6.5 復數的除法
    6.6 引入復數的共軛
    6.7 乘以復數的共軛
    6.8 改變的你的數字
    6.9 向我展示除法！
    6.10 更多的數學技巧
    6.11 一個簡單示例
    6.12 最後的一些想法
    CHAPTER EX-1
    復數的乘法
    最乏味的解釋：怎麼會這樣？
    有趣的解釋：為什麼會這樣！
    形象化表示復數乘法
    可是角度怎麼辦呢？
    縮放時可能會產生的副作用
    一些思考
    CHAPTER 7
    指數函數與e
    7.1 e不隻是一個數字
    7.2 理解指數增長
    7.3 更詳細的探討
    7.4 有錢能使鬼推磨
    7.5 繼續深入到復合增長率中
    7.6 我們可以賺到無限多的錢嗎？
    7.7 這又意味著什麼呢？
    7.8 如果是不同的增長率呢？
    7.9 如果是不同的時間間隔呢？
    7.10 玄機：e使增長率與時間結合在一起
    7.11 示例時間
    7.12 還有更多東西需要去學習
    CHAPTER 8
    自然對數（ln）
    8.1 e是關於增長的
    8.2 自然對數是關於時間的
    8.3 對數運算並不普通
    8.4 對數乘法樂趣多多
    8.6 非常棒的例子：72法則
    8.7 從這裏可以到哪裏呢？
    8.8 附錄：e的自然對數
    CHAPTER 9
    利率
    9.1 為什麼要大驚小怪呢？
    9.2 學學行話
    9.3 簡單的利息
    9.4 真正的理解增長
    9.5 基本的復利計算
    9.6 把利息當作一個工廠
    9.7 理解軌跡
    9.8 再看復利
    9.9 連續增長
    9.10 一些例子
    9.11 向前也向上
    CHAPTER 10
    理解指數
    10.1 把算術看作是變換
    10.3 理解指數縮放因子
    10.4 理解分數冪
    10.5 指數相乘
    10.6 平方根
    10.7 負指數
    10.9 如果以0為底
    10.10 0的0次指數
    10.11 高級：重復指數（a到b然後再到c）
    10.12 高級：為增長者重寫指數
    10.13 為什麼要進行類比？
    CHAPTER 11
    歐拉公式
    11.1 理解cos(x)+isin(x)
    11.2 什麼是虛部增長呢？
    11.3 把增長旋轉一下
    11.5 追根溯源
    11.6 一些例子
    11.7 混合增長
    11.8 為什麼真很有用？
    CHAPTER 12
    微積分導論
    12.1 好吧小兄弟，你有什麼更好的主意？
    12.2 但是微積分很難
    12.3 那麼微積分是關於什麼的呢？
    12.4 請舉一個例子
    12.5 關於例子的一些提示
    12.6 關於嚴謹的一些提示（針對數學專業）
    REBOOTING...
    　　終於算是把Kalid Azad的這本《Math，Better Explained》給翻譯完了。歷時兩個星期，考慮到剛開始時兩三天翻譯一章，而之後基本上就是每天翻譯兩章，再考慮到後面的章節越來越長，實際上翻譯 這本書的效率真的是越來越高。也真是印證了「天下事為之則難者亦易矣，不為則易者亦難矣」這句話。當然最重要的是這本書分享了一種更好的解釋給我們，讓我 們知道並不是數學讓我們苦逼，而是不恰當的做法讓我們感到苦逼。所以隻要你相信有更好的解釋存在，並且願意去尋找的話，總能找到一種更好的解釋讓你享受到 快樂的數學^_^
    　　這本書適合具有高中水平（當然考慮到現在的神童比較多，再往前推一推也是可以的）任何人去閱讀，也值得去閱讀。因為你學到的不隻是數學知識，其實還有更多……
    ——Gosin
    後序
    Better  Explained 數學篇 作者：Kalid Azad 译者：Gosin 校对：lambda 排版：lambda 图片：Kalid Azad & lambda
    《更好的解釋（數學篇）》 內容目錄 • 簡介 ..........................................................................................................................3 • • • • • • • • • • • • • 第一章 發掘數學直覺 —— ...........................................................................................5 第二章 ................................................................11 —— 畢達哥拉斯定理（勾股定理） 第三章 畢達哥拉斯距離 —— .....................................................................................18 第四章 弧度與角度 —— ............................................................................................25 第五章 虛數 —— .......................................................................................................31 第六章 復數運算 —— ................................................................................................41 附加章 理解復數的乘法是怎樣實現的 —— ................................................................49 第七章 指數函數與 —— e ..........................................................................................55 第八章 自然對數（ —— ln ） ......................................................................................67 第九章 利率 —— .......................................................................................................73 第十章 理解指數 —— ................................................................................................85 第十一章 歐拉公式 —— ............................................................................................93 第十二章 微積分導論 —— .......................................................................................102 • 後序 ......................................................................................................................107 （以下留白，若有兴趣，不妨持续翻译并补充它~） 2/108 · 《更好的解釋（數學篇）》
    《更好的解釋（數學篇）》 PRINT “HELLO, WORLD!” 轉載自 Gosin 的博客，點擊此處查看原文。 　　寫在開篇：在超鏈接的一堆點擊中，我來到了 BetterExplained（http://betterexplained.com ） 這個網站。創建者叫 Kalid Azad。BE 的宗旨就是用一種更好的解釋來說明一個主題。「Learn right，Not Rote（正確地學而非死記硬背）」這句口號深深得吸引了我。然後我看到他提供 BE 的數學部分的電子書，不過需要付費下載。根據版本的不同，售價從 19 美元 到 47 美元不等。我買了最普通的版本（花去了 RMB124.34 元），下載回來一看， 僅僅是 99 頁的 PDF 而已。當然知識的價值是不能簡單的用價錢來衡量的。接下 來的日子裏我會抽出一定的時間，一邊閱讀這本書，一邊翻譯給大家，同大家分 享。而我翻譯這本書的動機其實很簡單，因為我一直期望能有人做同樣的事，那 樣我必然能從中受益（事實上我也確實收到了網上許多無私奉獻者的幫助^_^）。 簡介 　　還是讓我們簡單些吧：我希望你們能喜歡數學。但是其中的樂趣並不是用歌曲去背誦公 式或是以冰激淋為例做些應用題。而是自己想出一些點子時的那種激動人心的感覺。 　　這本書的目的就是像真人一樣與你分享真知灼見，而且簡約精悍。讓我們開始引爆「啊 哈」時刻吧！ 為什麼要買這本書？ 　　如果你擁有這本書但是並沒有購買它，請點擊這裏購買 http://betterexplained.com/math-betterexplained-preview/ 這本書並沒有 DRM 版權保護，我並不想這樣做。這本書現在是你的了：你可以在你的電腦， Kindle，iPhone 上閱讀它，也可以把它打印出來進行閱讀。 　　為了使這本書更加利於閱讀與打印，包括加入對一些概念的新的討論，我做出了大量的 努力。並沒有任何公司或基金參與其中：我隻是一個好奇的求學者，希望提升自己的數學水 平而已。這些章節省去了大量我本應該在學校沮喪的時間。如果你還沒有購買這本書，請訂 購一本表示對我的支持。 3/108 · 簡介
    《更好的解釋（數學篇）》 怎樣使用這本書？ 　　這並不是一本參考書或練習冊。而是希望能使你對某些概念能茅塞頓開；我希望你接受 e 和 i 的概念就像是你接受圓圈是圓的一樣自然。更重要的是，我想傳播一種理念，那就是隻 要你找到了對的路徑，任何東西都能自然而然的被人們理解。 這裏有幾條關於使用本書的建議： • 娛樂：是的，千真萬確。當你明白那些點子是如何整合到一起並且推導時你就會發現 數學很有趣。你知道負數是十八世紀才出現，並且被認為很荒謬嗎？虛數的出現也經 歷了同樣的遭遇？當初我也不知道。 • 學習補充：如果你是名學生，跟著你的教科書來讀這本書。做例題時記得回想這些類 比是如何恰如其分的被應用到其中的。 • 教學輔助：教師，父母，還有其他教育者：歡迎把這些文本，類比，圖表加入到你的 教學材料中。類比與形象化可以極大得幫助學生理解一些像虛數一樣的容易令人困惑 的概念。這些章節包含了數千名讀者的反饋。 • 學習如何學習：這些論文特別展示了我最喜歡的一些學習方法：掌握概念的背景，構 造類比，然後找出適用於這些類比的例子。這種技巧不隻是適用於數學，它同樣適用 於其他科目。 反饋 　　歡迎提交反饋與評論到 kalid.azad@gmail.com，或者是 http://betterexplained.com/math-betterexplained-preview/ 出版說明 　　本書使用 LATEX（包含 memoir Package）編輯完成，其中一個章節的排版基於 daleifl。雖然有時候很麻煩，但是涉及到數學時 LATEX 是無可匹敵的最佳工具。 法律部分 　　所有內容的版權歸 Kalid Azad 所有，你可以使用其中的任何部分用以教學。商業使用請 聯繫 kalid.azad@gmail.com 4/108 · 簡介
    《更好的解釋（數學篇）》 CHAPTER 1 轉載自 Gosin 的博客，點擊此處查看原文。 發掘數學直覺 …… 　　我們的第一印象塑造了我們的對概念的直覺。而我們的直覺直接影響了我們有多喜歡它。 我在說什麼呢？ 　　假設我們想定義「貓」這個概念： 　　洞穴人的定義：一個有著爪子，牙齒，尾巴，四條腿的毛茸茸的動物。它高興時會嗚嗚 叫，生氣時則發出嘶嘶聲 　　進化論版的定義：哺乳動物的後裔，隸屬於貓種，擁有相同的特徵。 　　現代的定義：你稱這些是定義？貓是一種動物，它們的 DNA 為：ACATACATACAT…… 　　現代的定義當然是最准確的了，這點毫無疑問。但是它是最好的定義嗎？你就是這樣教 一個小孩子去學習這個單詞的？這個定義真的深刻的揭示了貓這種動物嗎？不見得。現代的 定義是有它的用處，但是是在獲得了對貓的認知之後的才有用。這不應該是我們的起點。 　　不幸的是，理解數學很多時候就像理解 DNA 一般。我們被教授給了現代的，十分嚴謹、 細密的定義，但是並沒有能夠深刻的洞察它的由來。我們隻是知道了一堆神秘的方程式 （DNA），但是卻完全不明白它到底是什麼。 　　讓我們從不同的角度接近一個概念。我想像了一個圓：圓心是你要學習的概念，而它的 四週則是各種描述它的事實。我們從一個角落開始學習，僅僅依靠一個 事實或是見解，然後 不斷的加深我們的理解。貓都有共同的物理特徵，所以貓有一個共同的祖先，因而一個特定 的物種可以通過特定的 DNA 進行區分。啊哈 （Eureka 也行啊 譯者註）！我們現在知道 貓的定義是怎樣從洞穴人的定義進化到現代的定義了。 　　但是並不是所有的開始都是一樣的。正確的開始可以讓我們更快、更好的理解數學 而數學中那些首先發現定理（或者公理之類）的洞穴人通常都有啟髮式的觀點 （Enlightening viewpoint）。接下來就讓我們學習一下如何構建我們的直覺吧。 1.1 圓是什麼？ —— —— 　　我們來舉一個數學例子：我們該如何定義一個圓呢？ 5/108 · 發掘數學直覺
    《更好的解釋（數學篇）》 最對稱的平面圖形 用固定的周長圍 出最大的面積 (x = r cos(®) y = r sin(®) 符合參數方程 幾何 分析 切線與半徑始終垂直 x2 + y2 = r2 與中心距離相等的點的集合 　　看上去好像有無數多個定義，這裏舉一些例子： • 對稱度最高的二維圖形 • 用最少的周長圍出最大面積的圖形（等周圖形性質） • 平面上距離給頂點相等的點的集合（用圓規或帶弦的鉛筆即可畫出） • 點（x,y）滿足方程 x2 +y2 = r2 (根據幾何上的解析定義) • 符合參數方程 r*Sin(t),r*Cos(t),對所有的 t 取值（真正的解析定義） • 切線始終與位矢向量垂直的圖形（物理解釋） 　　這個列表還可以繼續補充下去，但是有一個關鍵點：它們都描述了同一個概念！這就像 說 1，一，首（1，one，uno，eins），「2x+3＝5 的解」「你臉上鼻子的個數」 它們 隻是同一個概念的不同名字而已。 —— —— 　　但是這些初始的描述很重要 它們決定了我們的直覺。我們先在生活中見到了圓然後 才在課堂中學習它，我們明白它們「圓」。不管是怎樣令人驚艷的方程式（x2 +y2 = r2）， 我們都深刻得知道圓圈是圓的。如果我們根據方程畫出了圖形，但是圖形是方的或是不對稱 的，那我們便知道其中必然有問題。 　　小孩子，就像洞穴人一樣學習圓的定義（就是個很圓的東西），這給了我們一個很直觀 的感覺。我們可以發現在圓的東西上，每一個點距離中心都是相等的。x2 +y2 = r2 就是用解 析的方法描述這一事實（利用畢達哥拉斯理論的距離表示法）。我們從一個點出發，根據我 們的直覺，然後推導出了正式的定義。 　　其他概念就未必有如此幸運了。我們能夠憑直覺瞭解到 e 的增長率嗎，還是它是一個抽 象的定義？我們能瞭解 i 的旋轉嘛，還是它隻是一個人造的，沒用的概念？ 6/108 · 發掘數學直覺
    《更好的解釋（數學篇）》 1.2 構建直覺的策略 　　現在我仍然需要時不時得提醒自己 e 與 i 的深層含義 這就像需要提醒自己記住「圓圈 是圓的」或「貓是什麼樣子的」一樣荒唐！我們開始學習它時就應該是自然而然的一件事。 　　忽略了重點經常讓我抓狂：數學就是有關概念的 方程式隻是一種表達的方式而已。 一旦清楚了中心要點，方程式很快就可以建立起來。這裏是一些幫助過我的策略： —— —— • 步驟 1：發現數學概念的中心要點。這可能會比較難，但是試著從它歷史開始學 起。這個概念第一次出現在哪裏呢？發現者做了哪些工作呢？之前的用法可能 會區別於現在的解釋與應用。 • 步驟 2：通過用一個話題來解釋一個性質或事實。用一個話題來模擬正式的定義。 如果幸運的話，你可以把數學方程（x2 + y2 = r2）翻譯成大白話（「距離中心 都相等的點的集合」） • 步驟 3：使用相同的話題來探索相關的性質。一旦你通過以上的工作有了一個類 比或解釋，試試看它能不能用到其他性質中去。有時可以，但有時不行（這時 你就需要一個新的理解了），但是對你所發現的東西必然會感到大吃一驚。 　　讓我們試一試吧。 1.3 一個實例：理解 e 　　理解數字 e 是一項重要的工作。e 在出現在各種科學中，而且它有多重定義，但是沒有 一種能讓人們自然而然的理解它。讓我們就這個概念發掘一些本該有的 直覺。接下來將會有 幾個簡單描述這個概念的方程式。即使這些方程式看起來莫名其妙，但是背後都有著大白話 的描述。以下就是關於 e 的幾種定義： lim n!1³1 + 100% n ´n 最大的復合增長率 1 x dx (ln(a) =R a R e 1 1 t dt = 1 1 ex 是 ln(x) 的反函數 1 n! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + ¢ ¢¢ 無窮序列 e = 1Xn=0 e d dx ex = ex ex 的導數還是冪函數 ex 7/108 · 發掘數學直覺
    《更好的解釋（數學篇）》 　　第一步就是要發現一個話題。回顧 e 的歷史，它好像是與增長率或利率有關的。e 是在 進行商業計算時發現的（而不是抽象的數學推測），所以個「利息」（增長率）就是一個合 適的話題。 　　讓我們看看它的第一個定義，在圖中左上方。對我來說，最關鍵的跳躍是，認識到關於 復利計算的公式到底會有多大。事實上，這是你按照盡可能短的週期，以 100%的利率計算 復利所能達到的值。這就描述了這樣一個關於 e 的定義。 • 定義 1：e 就是按照 100%的復合增長率，以盡可能小的週期計算復利所能達到 的值。 　　接下來讓我們看看第二個定義：是一個無窮序列，後面的數值變得越來越小。這是什麼 呢？ e = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + ¢ ¢¢ —— 　　利用「利率」這個話題我們來處理這堆式子。我們發現這是復利的組成部分。現在它的 深層含義不是那麼直觀 但是我們思考一下在討論增長率時，「1+1+1/2+1/6 …」代表了 什麼？ 　　首先，第一個代數項（1＝1/0!，記住 0!等於 1）是你的本金，最開始的資金。然後第二 個代數項（1＝1/1 的 100%。接下來的代數項（0.5=1/2!） 是你利息所賺得的利息（第二級利息）。接下來的代數項（0.1666=1/3!）是你的第三級利 息 就是 你的利息的利息所賺得的利息。 　　錢生的錢又可以生錢，而生下來的錢又可以繼續生錢，如此無窮無盡 這些無窮無盡 的序列做出了各自的貢獻（這樣的描述表明，張三，李四都是獨立長大，互不相幹）。還有 很多東西可以說，但是讓我們集中在增長率上來理解這個概念吧。 ！）是你直接賺得的利息 1 —— —— —— • 定義 2：e 就是各個利息自己的貢獻之和。 　　目前為止非常成功。接下來搞定第三個定義。它代表什麼呢？不如想想「導數」（這將 把你的大腦調節到方程式模式），想想它代表什麼。對方程式的感覺。讓它成為你的朋友。 d dx Blah = Blah 8/108 · 發掘數學直覺
    分享到：
    赞 收藏

    相关推荐

    资料库

    大数据

    共收录841份资料，累计11个分类，关注成员有19位，主要包括：Matlab,统计分析,数据挖掘,Hbase,Hive,flink,kafka,spark,Storm,算法与数据结构,Hadoop

    热门标签

    Matlab 统计分析 数据挖掘 Hbase Hive flink kafka spark Storm 算法与数据结构 Hadoop

    最新资料