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2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义习题详解.pdf
《2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义》
练习题答案与解析
2018 年 7 月 17 日
金榜图书编辑部数学组
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限于能力和时间，难免有些错漏，恳请大家指正.
：）
Contents
练习题一
一、填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二、选择题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三、解答题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
练习题二
一、填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二、选择题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三、解答题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
练习题三
一、填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二、选择题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三、解答题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
练习题四
一、填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二、选择题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三、解答题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
练习题五
一、填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二、选择题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三、解答题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
练习题六
一、填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二、选择题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三、解答题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
书中思考题不提供解析，请同学们多多动脑
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2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义练习题答案与解析
练习题一
一、填空题
1.【解】 因为
(A + B)(A + B) = AA + AB + B = B;
(A + B)(A + B) = AA + AB + B = B;
于是 (A + B)(A + B)(A + B)(A + B) = ∅ 故 P{(A + B)(A + B)(A + B)(A + B)} = 0.
2.【解】 由 AB=A B 可知 A;B 为对立事件（反证法可证）,
故 P(A∪ B) = 1, P(AB) = 0.
3.【分析】 这是一个 3 重贝努利试验, 从而利用二项分布求解.
【解】 设在每次试验中 A 出现的概率为 p,
19
27
= P{A至少出现一次} = 1− P{A出现0次}
= 1−C0
3 p0(1− p)3−0 = 1− (1− p)3
解得 p =
.
1
3
4.【解】 根据加法公式有
P(A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(AB)− P(AC)− P(BC) + P(ABC)
由题设 A, B, C 两两独立, ABC = ∅ 且 P(A) = P(B) = P(C) 知:
P(ABC) = 0; P(AB) = P(A)P(B) = P2(A)
P(AC) = P(A)P(C) = P2(A); P(BC) = P(B)P(C) = P2(A)
从而 P(A∪ B∪C) = 3P(A)− 3P2(A) =
9
16
解得 P(A) =
, P(A) =
3
4
1
4
. 又根据题设, P(A) <
, 故 P(A) =
1
2
.
1
4
- 1-
5.【解】
或者
2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义练习题答案与解析
P(AB∪C) = P(AB) + P(C)− P(ABC)
= P(A)P(B) + P(C)− P(A)P(B)P(C)
= 0:6:
P(AB∪C) = 1− P(AB)P(C) = 1− [1− P(A)P(B)][1− P(C)]
= 1− 0:8× 0:5 = 0:6
P((A−C)(AB∪C))
P(A−C|AB∪C ) =
P(AB∪C)
6. 【解】 设 A = {至少取到 1 件次品}, 则 A = {取到的 2 件都是正品}. 因此
P(AB∪C)
=
=
P(ABC)
P(AB∪C)
P(A)P(B)(1− P(C))
=
1
6
:
P(A) = 1− P(A) = 1− C2
7
C2
10
= 1− 7
15
=
8
15
:
7. 【解】设 A ={第一个人取到一个新球} , B ={第二个人取到一个旧球}
方法 1: 在缩小的样本空间中直接计算得
P(A|B ) =
2
4
=
1
2
:
方法 2：利用 Bayes 公式
P(A|B ) =
P(A)P(B|A )
P(A)P(B|A ) + P(A)P(B
A )
=
2
5
× 3
4
× 3
4
3
5
+
2
5
× 2
4
=
1
2
:
8. 【解】由题意可知, 第 m + n 次试验是成功的, 在此之前有过 n− 1 次的成功和 m 次的失败.
故所求概率 P = Cn−1
n+m−1 pn(1− p)m .
二、选择题
1.【解】 因为 A + B = AB, 由 A ⊃ B; 有 AB = B. 因此 P(AB) = P(B), 故 (C) 正确.
2.【解】由 A;B 互不相容, 因此 AB = ∅ , A ⊂ B，从而 A + B = B.
故 P(A + B) = P(B) , 所以 (D) 为正确答案.
3.【解】因为 P(B|A ) =
特别注意，不要错选 (D) .
= 1 , 因此 P(A)− P(AB) = 0 , 故 P(AB) = 0, 即选 (A).
P(AB)
P(A)
- 2-
2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义练习题答案与解析
4.【解】因为 A;B;C;D 四个事件相互独立故 (A)、(B)、(D) 三个选项中的三对事件都是独立的, 只有 (C)
选项当中的事件可能不独立.
5.【解】由于 (A + B)(A + B)(A + B)(A + B) = ∅, 而 ∅ 与任意事件相互独立, 因此选项 (A) 正确.
6.【解】因为 P(A−C) = P(A)− P(AC) = P(A)− P(C) 因此 P(AC) = P(C):
可以验证 (A)、(B) 和 (D) 都不满足条件, 只有 (C) 正确. 事实上:
(A∪ B)(A− B) = (A∪ B)AB = AB ⊂ A:
7.【解】设 A ={丙摸到了红球},B ={甲、乙摸到不同颜色的球}. 在缩小的样本空间中直接计算得
P(B|A ) =
7C1
C1
2
C2
9
=
7
18
:
8.【解】 通过选项判断可知 (A)、(B) 当中必有一个不正确. 因为
P(A1A2) =
4
5
× 1
4
=
1
5
:
因此选项 (A) 是不正确的.
三、解答题
1.【解】从 5 个白球 3 个黑球中任取 2 个球的基本事件总数为 C2
8:
(1) 设 A ={两球同色}, 则取到的是 2 个白球或者 2 个黑球, 故有利于 A 的事件数为 C2
3.
5 +C2
因此 P =
5 +C2
C2
3
C2
8
=
13
28
:
(2) 设 A ={取得的两球至少一个是白球}, 则 A ={取得的两球都是黑球}, 因为有利于 A 的事件数为 C2
3,
所以 P(A) = 1− P(A) = 1− C2
3
C2
8
2.【解】 (1) 显然，基本事件总数为排列数 P4
25
28
=
:
10（也可记为 A4
10）. 考虑到 4 位数为偶数, 如果个位为 0, 则
9 ; 如果个位不是 0, 则只可取 2;4;6;8 当中的一个. 同时注意到千位不
其它三位数字可任意排列有利事件数为 P3
可以取 0, 故有利事件数为 C1
4P1
8 P2
8 . 因此所求概率
P1 =
8 P2
8
9 +C1
4P1
P3
P4
10
=
41
90
:
(2) 因为 4 个数字组成的 4 位数为奇数, 故个位可以是 1;3;5;7;9, 有 C1
5 种取法，同时注意到千位不可以取 0,
- 3-
2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义练习题答案与解析
故有利事件数为 C1
5P1
8 P2
8 ，所求概率
P2 =
5P1
8 P2
C1
8
P4
10
=
40
90
:
【注】不要错误地认为 P1 + P2 应该等于 1.
∫
3.【解】 (1) 方程 u2 + xu + y = 0 有两个实根的区域 E = {(x;y)
, 而正方形 D 的面积为 4, 由几何概型得所求概率
dx =
2 +
1
−1
x2
4
13
6
x2 − 4y > 0}: D∩ E 对应的区域面积为
(2) 方程 u2 + xu + y = 0 的根为 u =
. 于是方程有两个正根的条件为
:
=
P =
13
24
−x±
13
√
6
4
x2 − 4y
x2 − 4y > 0;x < 0;y > 0}
2
E = {(x;y)
D∩ E 对应的区域面积为
∫ 0
−1
x2
4
dx =
1
12
, 正方形 D 的面积为 4. 由几何概型得所求概率
P =
1
12
4
=
1
48
:
4.【解】由 A, B 相互独立有 P(AB) = P(A)P(B), 由 A, C 互不相容知 AC = ∅, 于是 ABC = ∅;P(ABC) = 0,
因此
P(A∪ B) = P(A) + P(B)− P(AB) = P(A) + P(B)− P(A)P(B) =
2
3
:
P(C|A∪ B) =
=
P(BC)
P(A∪ B)
=
P(B|C)P(C)
P(A∪ B)
P[C∩ (A∪ B)]
P(A∪ B)
× 1
4
2
3
=
3
64
1
8
=
C ) =
P(AB
P(ABC)
P(C)
=
P(AB)− P(ABC)
P(C)
=
P(A)P(B)
P(C)
=
2
9
:
5.【解】由条件概率公式以及 B;C 的独立性可得
P(A|BC)P(C) + P(A|BC)P(C) =
P(ABC)
P(B)
+
P(ABC)
P(B)
=
P(AB)
P(B)
= P(A|B):
6.【解】设 B ={第二次取出的 3 个球中有 2 个新球}, Ai ={第一次取出的 3 个球中恰有 i 个旧球} ,
i = 0;1;2;3
- 4-
2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义练习题答案与解析
(1) 由全概率公式:
P(B) = P(B|A0 )P(A0) + P(B|A1 )P(A1) + P(B|A2 )P(A2) + P(B|A3 )P(A3)
=
=
C2
6C1
6
C3
12
1377
3025
· C3
9
C3
12
+
C2
7C1
5
C3
12
· C2
9C1
3
C3
12
+
C2
8C1
4
C3
12
· C1
9C2
3
C3
12
+
C2
9C1
3
C3
12
· C3
3
C3
12
= 0:455:
(2) 由 Bayes 公式得:
P(A2|B ) =
P(B|A2 )P(A2)
P(B|Ai )P(Ai)
3
i=0
= 0:137:
7.【解】设 B ={最后取到白球}, Ai ={取得的 3 个球中有 i 个白球} . i = 0;1;2;3 .
由全概率公式得:
P(B) = P(B|A0 )P(A0) + P(B|A1 )P(A1) + P(B|A2 )P(A2) + P(B|A3 )P(A3)
· C1
5
C1
10
4C1
C1
6
C2
10
· C1
5
C1
10
· C1
5
C1
10
= 0 +
C2
4
C2
10
· C1
5
C1
10
×
2
3
+
+
+
)
(
(
×
1
3
× 13
15
+
4C1
C1
6
C2
10
× 10
1
3
15
=
1
6
C2
6
C2
10
13
30
=
:
+
1
15
)
+ 1× C2
4
C2
10
· C1
5
C1
10
8.【解】设 A ={投掷 3 次每次得到国徽}, B ={此硬币为正品}. 则由 Bayes 公式有:
P(B|A ) =
P(A|B )P(B)
P(A|B )P(B) + P(A
B )P(B)
=
1
8
× 2
3
× 2
3
+ 1× 1
3
1
8
=
1
5
:
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2019 曹显兵概率论与数理统计辅导讲义练习题答案与解析
练习题二
一、填空题
1.【解】
P{X 2 = 1} = P{X = 1} + P{X = −1}
= F(1)− F(1− 0) + F(−1)− F(−1− 0)
= 1− 3
∫ 1
4
− 0 =
∫ 0
1
8
3
8
+
:
f (x)dx = 1, 可得
(C + x)dx +
−1
∫
+¥
−¥
(C− x)dx = 1
0
2.【解】 由密度函数 f (x) 满足
)
(
C− 1
2
积分得: 2
= 1, 从而 C = 1. 可以验证 C = 1 满足 f (x) > 的条件, 因此常数 C = 1.
3.【解】 因
P{X > a} =
f (x)dx =
∫
+¥
∫ a
a
∫ 1
4x3dx = 1− a4;
∫ a
a
4x3dx = a4
P{X < a} =
f (x)dx =
−¥
0
又已知 P{X > a} = P{X < a}, 于是有 1− a4 = a4 得
√
a = ± 1
2
. 又 a ∈ (0;1), 所以 a =
√
1
4
2
.
4
4.【解】 由题意知 X 的密度函数 f (x) =
1√
2se
− (x−m)2
2s2
, 则
′
f
(x) = − 1√
2s3
− (x−m)2
e
2s2 (x− m);
′′
f
(x) = − 1√
2s3
− (x−m)2
e
2s2 +
1√
2s5
− (x−m)2
e
2s2 (x− m)2 =
1√
2s5
− (x−m)2
e
2s2
[
(x− m)2 − s2
]
令 f ′′
5.【解】 由 X 服从参数为
(x) = 0, 得 x = m± s, 且 f (x) 在 x = m± s 两边符号相反, 因此 f (x) 的两个拐点为 x = m± s .
√
5 的 Poisson 分布有 P{X = k} =
e−√
5, k = 0;1;2;··· ,
{
P{X = k}
P{X = k− 1} =
√
5
k
> 1;
< 1;
√
5)k
(
k!
√
√
5;
5:
k <
k >
由此可知当 k = 2 时, P{X = k} 取到最大.
【注】一般地, 若 X 服从参数为 l 的 Poisson 分布, 有
P{X = k} =
lk
k!
−l
e
;k = 0;1;2;···;
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