2004重庆考研数学一真题及答案.doc-资料库

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2004 重庆考研数学一真题及答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线 x 1 y 垂直的切线方程为 y 1 x . 【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标. 【详解】由 y  (ln x )  y (10  x  1 x )1  1 ，得 x=1, 可见切点为 )0,1( ，于是所求的切线方程为，即 y 1 x . 【评注】本题也可先设切点为 ( x 0 ln, x 0 ) ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为  y  xx  0 1 x 0  1 ，得 0 x 1 ，由此可知所求切线方程为 y (10  x  )1 ，即 y 1 x . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. 1 2 ，且 f(1)=0, 则 f(x)= （2）已知  ( ef xe  )  x x (ln x 2) . 【分析】先求出 f  的表达式，再积分即可. )(x 【详解】令 e x  ，则 x t t ln t ln x   ，即 x dx t ln ，于是有 ln x C  )( x (ln 2)    x f 1 2 x . f  )(  t 积分得 )( xf 数为 f(x)= 1 2 (ln x 2) . . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设 L 为正向圆周 x 2 2  y  2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy  2 ydx 的值为  3 2 . 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】正向圆周 2 x 2  y  2 在第一象限中的部分，可表示为    x y   2 cos sin2 ,  ,   0:   . 2

于是 xdy  2 ydx   L  2 0  2[ cos   2 cos   sin22   sin2  ] d =   sin22 0   2  d  3  . 2 【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. （4）欧拉方程 2 2 ydx dx 2  4 dyx dx  2 y  (0 x  )0 的通解为 y  c 1 x  c x 2 2 . 【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x  化为常系数线性齐次微分方 te 程即可. 【详解】令 x  ，则 te dy dx 2 yd 2 dx  1 2 x dy dt   dy dt 2 yd 2 dt  1 x 代入原方程，整理得 2 yd 2 dt  3 dy dt  2 y  0 ，  dt dx dt dx  e   t dy dt [1 x 1 x 2 yd 2 dt 2 dy dt dy dt  ， ] ，解此方程，得通解为 y   t ec 1  ec 2  2 t  c 1 x  c x 2 .2 【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x  ，则欧拉方程 te 2 ax 2 yd 2 dx  bx dy dx  cy  )( xf ，可化为 2 yda [ dt 2  dy dt ]  dyb dt  cy  tef ( ). （5）设矩阵 A  012 021 100           ，矩阵 B 满足 ABA *  2 BA *  E ，其中 *A 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 B 1 9 . 【分析】可先用公式 * AA EA 进行化简【详解】已知等式两边同时右乘 A，得 ABA * A  2 * AABA  ，而 3A ，于是有

3 AB  6 AB  ，即 3( A  )6 ABE  ，再两边取行列式，有 3 A  6 BE 而 3 A 6  E  27 ，故所求行列式为 3 ， A   1B 9 . 【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 *A ，一般均应先利用公式 * AA  * AA  EA 进行化简. （6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则 { XP  DX } = 1 e . 【分析】已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可. 【详解】由题设，知 DX 1 2  ，于是 }1   1   x   e dx { XP  DX } = { XP  =  e x     1  .1 e 【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 x  0 时的无穷小量   x  0 cos t 2 dt ,   2 x  0 tan t dt ,   x  0 sin t 3 dt ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A)  , , . (B)  , , . (C)  , , . (D)  , , . [ B ] 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】  lim x  0    lim 0 x   2 x x 0   0 tan t dt cos t 2 dt  lim 0 x   x tan x cos 2 2  x  0 ，可排除(C),(D)选项， sin x 2 x  lim 0 x   3 2  1 x 2 tan x x sin t 3 dt tan t dt 又 lim 0 x      lim 0 x   = 1 4 lim  0 x   0 x 2 0 x 2 x  ，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).

【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将  , , 分别与 nx 进行比较，再确定相互的高低次序. （8）设函数 f(x)连续，且 f )0(  ,0 则存在 0 ，使得 (A) f(x)在（0， ) 内单调增加. （B）f(x)在 (  )0, 内单调减少. (C) 对任意的 ,0( x ) 有 f(x)>f(0) . (D) 对任意的 ( x )0, 有 f(x)>f(0) . ] 【分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 [ C (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可. 【详解】由导数的定义，知 f )( xf )0( f  )0(   0 ， lim 0 x   x 0 ，当根据保号性，知存在 ( x   )0, ,0( )  时，有 )( xf  x f )0(  0 即当 ( x )0, 时，f(x)f(0). 故应选(C). 【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设 1n na 为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若 lim n  na n =0，则级数 1n na 收敛. （B）若存在非零常数，使得 lim n  na n  ，则级数 1n na 发散. (C) 若级数 1n (D) 若级数 1n na 收敛，则 lim 2 an n  n  0 . na 发散, 则存在非零常数，使得 lim n  na n  . [ B ] 【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】取 an  1 ln n n ，则 lim n  na n =0，但   n 1  a n    n 1  1 ln n n 发散，排除(A)，(D)；又取 an 1 nn ，则级数 1n na 收敛，但 lim n  an 2 n  ，排除(C), 故应选(B).

【评注】本题也可用比较判别法的极限形式， lim n  na n  lim n  a n 1 n    0 1 ，而级数 n n 1 发散，因此级数 1n na 也发散，故应选(B). （10）设 f(x)为连续函数， )( tF  t  1 dy t  y )( xf dx ，则 )2(F  等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) – f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】先求导，再代入 t=2 求 )2(F  即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t. 【详解】交换积分次序，得 )( tF  t  1 dy t  y )( xf dx 于是，  )( tF  f ( t )( t  )1 ，从而有 x t 1 1 =  [  )2( F )( xf dy ] dx  t  1 )( ( xxf  )1 dx  f )2( ，故应选(B). 【评注】在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: [  )( xb )( xa f )( t dt  ]  ([ )( xbxbf )]   ([ )( xaxaf )] 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上. （11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 (A) 010 001 101           . (B) 010 101 100           . (C) 010 001 110           . (D) 110 001 100           . ] 【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两 [ D 个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积. 【详解】由题设，有 010 001 100 A            B ， B 001 110 100            C ，于是， A 010 001 100                001 110 100       A 110 001 100            C .

可见，应选(D). 【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系. （12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (D) [ A ] 【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论. 【详解 1】设 A 为 nm  矩阵，B 为 sn  矩阵，则由 AB=O 知， ) ( Ar  ( Br )  n . 又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)

 o u （ 14 ）设随机变量 XX , 1  1(  2/) 1 u 2 )1 独立同分布，且其方差为 2  .0 令 , 2 n nX ( , Y  1 n n  i 1  iX ，则 (A) Cov( , YX 1 )  2  n (C) XD ( 1  Y )  . n  n 2 2  . [ A ] (B) Cov ( 2 YX ) , 1 . (D) XD ( 1  Y )  1 2  n  n . 【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有： Cov ( XX , 1 ) i  ,0 i  ,3,2 . n 【详解】 Cov( , YX 1 )  Cov ( X 1 1, n 1 n = 1 n DX n  i 1  X i )  1 n Cov ( XX , 1 )  1 1 n n  i  2 Cov ( XX , 1 ) i 2  1  . 【评注】本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如 1 n 1 n XD ( 1  Y )  D n 1(  n X 1  1 n X 2    2 n = 3 n  2 n 2   n 3  n 2  ， XD ( 1  Y )  nD ( 1  n X 1  2 n = 2 n  2 n n 2   （15）（本题满分 12 分） 1 n  n X 2    2 2  . X n )  1( 2 ) n 2  n 2   1 2  n  2 n X n )  ( n 2 )1  2 n 2   1 2  n  2 n 设 e  b a 2e , 证明 2 ln b  ln 2 a  (4 e 2 ab  ) . 【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法 1】对函数 x2 ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得

2 ln b  ln 2 a   ln2  ( ), aab    . b 设 )(  t t ln t ，则  )( t  t ln 2 1  t ，当 t>e 时，  t )(  ,0 所以 )(t 单调减少，从而 2e  )( ( ) ，即 ln    ln e 2 e  2 2 2 e ，故 2 ln b  ln 2 ab  ) . 【证法 2】设  )( x   )( x  2 a  (4 e )( x  ln2 x x ln 12  2 x  ,0  ln 4 2 e x , x ，则 2 x  4 2 e ，所以当 x>e 时，  x )( 故 )(x 单调减少，从而当 e  x 2e 时，   )( ( x   2 ) e   4 2 e 4 2 e 时， )(x 单调增加. 即当 e  x 2e  0 ，因此当 e  2e 时， b   )( a ， x 4 2 e 2 ln 2 ln b  2 ln b  即故 a )( 4 2 e ) ab   . a ， b  a  2 ln (4 e 2 【评注】本题也可设辅助函数为  )( x 2 ln x  ln 2 a  (4 e 2 ), eax   a x 2 e 或  )( x 2 ln b  ln 2 x  (4 b e 2  ), ex  b x 2 e ，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分 11 分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 k 0.6  10 6 ). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. 【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 【详解 1】由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度 v 0  700 km / h . 从飞

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