随机信号分析与处理习题解答.pdf-资料库

提示：首先证明 XxyF < ( | =Δ+≤ x x ) ，然后对 y 求导得， 1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明 f (| XY xy | ) = yxf ,( ) f x )( X f xXxY x Δ+≤< | ( Xxy < | 最后求Δx→0 的极限。解答： xyF 1 ( | < X ≤ x 2 ) = 第 1 章随机变量基础， f (| YX yx | ) = yxf ,( ) y f )( x y x Δ+ ∫∞− ∫ x xF ( X Y yxf dxdy ,( ) x xF ) )( −Δ+ X x ∫ Δ+ yxf ,( x x xF ) ( −Δ+ X dx ) xF )( X x =Δ+≤ x x ) ≈ yxf x ,( ) Δ x f x )( Δ X YP { ≤ xP { 1 xy , < 1 X < } 2 X x ≤ x ≤ } 2 = y x 2 ∫∞− ∫ x 1 xF ( X ) yxf ,( ) dxdy xF ) ( X 1 − 2 上式对 y 求导，得 f xXxY ≤< | 1 ( xy 1 | < 2 在上式中，假定 x =1 x ， x x Δ+=2 x f 因此 xXxY x Δ+≤< | ( Xxy < | x 2 ∫ x 1 xF ( X yxf ,( ) dx ) xF ( X 1 X ≤ x 2 ) = 2 − ( xΔ 无穷小量)，则 x ∫ Δ+ x xF ( X =Δ+≤ x x ) x ) yxf ,( x ) −Δ+ dx ) xF )( X ≈ yxf x ,( ) Δ f x x )( Δ X f XY | ( xy | ) = lim x 0 →Δ f xXxY x Δ+≤< | ( Xxy < | =Δ+≤ x x ) yxf ,( ) f x )( X 同理可得 f (| YX yx | ) = yxf ,( ) f y )( Y 于是有 = yxf ,( ) f YX | ( fyx ) | Y y )( = f XY | ( fxy ) | X x )(

= 求 X 的均值和方差。解法一：直接按照定义计算 n ∑ E X = ( ) = = = n 0 ∑ m = n ∑ 0 m = n ∑ m 1 = m m m = np = np = = np ∑ m 0 = pnp [ 注意：根据多项式展开式所以有 mP X m } = { = n ∑ m = 0 mC p m m n (1 − p − ) n m m = 0 n ! m n m !( )! − n n n ( 1)( − − n n ( − 1)( n n m − + 1) 1) m p (1 − p ) n m − m p (1 − p ) n m − m p (1 − p ) n m − n m − + ( ( ( − − 2) m ! 2) m ! n m [ 2) − m 1)! ( − 2) ( − m ! [( 2) − m ! np n m − n ) 1.2 设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为 pCmXP { mm n = } 1( − p ) mn − ， m = n 0,1,2,.... ， 0 < p < 1 n ∑ m n 1 = 1 − ∑ m n 0 = 1 − ( n − 1)( n ( n − 1)( n ( n − 1)( n − 1)] m 1 − p (1 − p ) [( n 1) ( − − m 1)] − m p (1 − p ) [( n 1) − − m ] 1) − − + m 1] m p (1 − p ) [( n 1) − − m ] = n n = −1 ∑ i 0 = 1)( − )] −+ 1( p ( a b + ) n n n ( n = ∑ i = 0 i n i − C a b i n = n ( − 2) i ! a b i n i − )! n n ! ∑ i n i !( − i 0 = n i 1) − + a b i n i − n 1 − ∑ m = 0 ( n − 1)( n − 2) [( m ! n 1) − − + m 1] m p (1 − p ) [( n 1) − − m ] = [ p (1 + − 1 − p )] n 类似地可得 ( XE 2 ) 所以 X 的方差为 = XD ) ( ( ( mm XXE [ = n = ∑ m 0 = nn ( nn ( − − = = )1 )1 )1 +− X ] = XXE [ ( − )]1 + XE ( ) − )1 pC mm n 1( − p ) mn − + np pp [ 2 p 2 + p )] n + −2 −+ np 1( np XE ( 2 ) − 2 XE ( ) = nn ( − )1 p 2 + np − ( np ) 2 = np 1( − p )

解法二：设 1 X X , 2 X… 相互独立，且都服从 (0 1)− 分布，分布规律为 , , = … ， iP X { = ， 1,2, = − ， { 0} 1 n = 1} = n p p i , i i n 则 X X iP X = ∑ 服从参数为 n，p 的二项分布，即 X 的所有可能取值为 0,1,2, 1，后 m 个取 0）的概率为 (1 故有 p − ) n m p 1 = m pCmXP mm { n = = } 1( − p ) mn − 。 ,n… 。由独立性可知，X 以特定的方式取 m（如前 m 个取 nC 种可能， − 。而 X 取 m 的两两互不相容的方式有 m pCmXP mm { n = = } 1( − p ) mn − ， m = n 0,1,2,.... n i X 所以 X = ∑ 服从参数为 n，p 的二项分布。 p = ， p − i 1 = P X E X ) 1 { 且有 ( = ⋅ i E X P X { ) 1 ( 2 2 = ⋅ i i D X E X ) ) ( ( 2 − = i 1} 0 = + ⋅ i 1} 0 = + ⋅ E X ( ) 2 P X { i P X { = i p p 2 = − 0} = 0} = p (1 = p ) 2 i i 根据 iX 相互之间的独立性，所以对于服从二项分布的 X = ∑ 有 X i n i 1 = E X ( ) = E ( n ∑ i 1 = X i ) = n ∑ i 1 = E X ( i ) = np D X ( ) = D ( n ∑ i 1 = X i ) = n ∑ i 1 = D X ( i ) = np (1 − p ) 1.3 设随机变量 Y 与 X 满足如下函数关系， = 其中θ是已知常量，求 Y 的概率密度。 y > ，则 ( ) 0 解答：显然，若 1 y = 。若 Y Yf 之对应，即 Xg ( ) = sin( X ) θ+ y ≤ ，这时对于任意的 y ，有无穷多个 x 值与 1 nx arcsin = 2 + = − π 1 y arcsin nx 2 nθ π 2 ， 0, 1, 2, − + n y 2 − + θ π dx n dy n = ± ± … ， 0, 1, 2, 1 − n = ± ± … = = 1 y 2 J n 所以，当 y ≤ 时有 1

Y f 1 = = y ( ) 1 − 1 − 1 1 − 即 Y 的概率密度为 = 1 2 y 2 y 2 y +∞ ∑ n =−∞ +∞ ∑ n =−∞ +∞ ∑ n =−∞ 1 − [ g ( x 2 n ) + g 1 − ( x 2 n 1 + )] [ g 1 − (arcsin y n θ π − + 2 ) + g 1 − ( π − arcsin y n θ π − + 2 )] 1 − g ( x n ) f Y y ( ) 1 − 1 2 y ⎧ ⎪= ⎨ ⎪ ⎩ +∞ ∑ =−∞ 0 n 1 − g ( x n ) y ≤ 1 else 1.4 设有随机变量 1X 和 2X ，求解答： Y X X = 1 和 2 Z X X = 1 的概率密度。 2 （1） 2 Y = 1XX 设对应的反函数关系为 Y = 1 Y = 2 X 1 XX 1 2 x = 1 x = 2 x ∂ 1 y ∂ x ∂ y ∂ 2 2 2 J = ( ∂ ( ∂ xx , 1 2 yy , 1 2 ) ) = x ∂ 1 y ∂ 1 x ∂ 2 y ∂ 1 y 1 y 2 / y 1 = − y 0 /1 − y 1 −= 1 y 1 y 2 1 f XX 1 2 ( yy , 1 2 / y 1 ) f XX 1 2 ( yy 1 , 2 / y 1 ) dy 1 1 / 2 1 y 1 1 y 1 f YY 21 ( yy , 1 2 ) = f XX 1 2 ( xx , 1 2 ) J = f Y 2 ( y 2 ) = ∞+ ∫ ∞− f YY 21 ( yy 1 , 2 ) dy 1 = ∞+ ∫ ∞− 即两个随机变量之积的概率密度为 f Y y )( = ∫ ∞+ ∞− 1 u f XX 1 2 duuyu ,( ) / Y = 1 XX 2 Y = 1 Y = 2 （2） 1 设对应的反函数关系为 X 1 / XX 1 2

x 1 x 2 = = y 1 y 1 / y 2 J = ( ∂ ( ∂ xx , 1 2 yy , 1 2 ) ) = x ∂ 1 y ∂ 1 x ∂ 2 y ∂ 1 x ∂ 1 y ∂ x ∂ y ∂ 2 2 2 = 1 y /1 2 0 / y 1 − y 2 2 −= y 1 y 2 2 f YY 21 ( yy , 1 2 ) = f XX 1 2 ( xx , 1 2 ) J = f Y 2 ( y 2 ) = 在上式中令 u = 1 / y y 2 f ∞+ ∞− ∫ , 则 ( yy , 1 2 ) dy 1 = YY 21 ∞+ ∫ ∞− y 1 y 2 2 y 1 y 2 2 f XX 1 2 ( yy , 1 1 / y 2 ) f XX 1 2 ( yy , 1 1 / y 2 ) dy 1 f Y 2 ( y 2 ) = ∫+∞ ∞− fu XX 1 2 ( duuuy 2 ), 即两个随机变量之商的概率密度为 f Y y )( = ∫+∞ ∞− fu XX 1 2 ( duuyu ), 1.5 设 Y = g X ( ) ，其中 g x ( ) ⎧ = ⎨ ⎩ A 0 < < x x 0 else x 1 假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求Y 的概率分布函数。函数 ( )g x 的图像如下 } + P X x { 1 > } = P X x { 0 < } 1 + − P X x { 1 < } YF y ( ) y ≤ 时，解法一：根据概率分布函数的定义计算。 y P X x } { 当 0 = ≤ < 0 F x ) 1 ( ) + − 1 P x y } { < = ≤ 0 P Y { = F x ( = 0 当 y A≤ 时， P Y F y ( ) { = Y 所以 Y 的概率分布函数为 [1 = − ) + F y ( ) Y F x ( X 1 0 X x 1 < } = F x ( X 1 ) − F x ( X 0 ) F x U y ( ) X )] ( + [ F x ( X 1 ) − F x U y A ) X )] − ( ( 0

解法二：从概率密度 ( ) y 入手求概率分布函数 ( ) YF y 。 Yf 由图可知 ( )g x 的取值只可能为 0 或 A，求Y 的概率分布函数，也就是对 ( )g x 取 0 或 A 可能性的讨论。 c> 或 x 对于 ( )g x 取 0 的情况，只有 x c< − 的时候才有可能： P Y 0) 1 ( ) = − 对于 ( )g x 取 A 的情况，只有 c x c − < ≤ 的时候才有可能： P Y A ) ( = = X x 1 P x ( 0 = < ≤ < ) X x 1 ≤ P x ( 0 = P x ( 0 F x ( X 1 y f ( ) Y [1 = − [1 = − 所以 Y 的概率密度函数为 P Y ( < ) P Y A y y A ( 0) ( ) ) ( ) δ − + = δ = X x X x y P x y A ) ) ( ( )] ( ) + δ ≤ < ≤ δ − 1 0 1 F x y A y F x F x )] ( ( )] ( ) ( [ ) ) ( + δ + − − δ X X X 0 1 0 F x YF y ，注意其中的 y 求积分可以得到Y 的概率分布函数 ( ) 对 ( ) ( 1 − X 1 F x ) ( 是常数。 X 0 F y ( ) [1 = − ∴ Y g X Y ( ) = F x U y ( ) X ] F x U y A ) )] − − X 0 x x 上为常数 A，即 Y A x , , = F x ) ) ( 。 X 1 ( )] g X ) ( F x ( X 0 ( 0 = − 归纳：对于函数那么 Y 的概率密度函数为在 y A= 处不连续，跃变高度为，如果在区间 0 F x ( X 1 F x ( X 1 F x ( X 1 Yf − + + ) [ ) ( [ ) 1 ) + F x ( X 0 ) 和 ∈ [ x x , 0 1 ] ， 1.6 设函数 ( )g x 为 g x ( ) c + x ⎧ ⎪= 0 ⎨ ⎪ − x c ⎩ c x x < − c − < ≤ x > c c c > 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求其中 0 解法一：函数 ( )g x 的图像如下： Y = g X ( ) 的概率分布函数。分析此题仍然可以从 ( )g x 取值的可能情况来讨论。

y = g x ( ) 0 > 时，y 和 x 是一一对应的，也就是说 x 取什么值，y 的取值是可以唯一 = = y } + ≤ F y ( X P X c y P Y } { { = g x y ( ) 0 < 时，y 和 x 仍然是一一对应的，同理，当 y P X c P Y { } { = g x ( ) 0 ≤ = ≤ = 时，y 和 x 之间是一对多的关系，也就是说 y 取 0 的时候，x 此时有区 F y ( X y } − = + c c ) ) 当确定的 F y 故 ( ) Y − ≤ F y 故 ( ) = Y y = 当 , ]c c− 间[ 之间任何一个值的可能， F P Y 故 (0) { = Y P X c } { ≤ 0} ≤ = = F c ( ) X 所以 Y = g X ( ) 的概率分布函数为 F y ( ) Y ⎧ = ⎨ ⎩ F y ( X F y ( X − + c c ) ) y y < ≥ 0 0 。解法二：从概率密度 ( ) y 入手求概率分布函数 ( ) YF y Yf 如果把图片 xx 中 ( )g x 和 x 互换，也就是把 ( )g x 看作自变量，把 x 看作变量对于正半轴中任意一点 P，在函数 ( )g x 曲线确定的情况下，横坐标和纵坐标是可以互相唯一确定的，二者的关系由题目可知 y = − ， x x c c> 。这种一一对应的关系就是指在 ( )g x 概率密度曲线上 Y 取 y 的概率 ( P Y y= 和 x 的概 ) P X 率密度曲线上 X 取 y+c 的概率一样 ( P X ( = P X ( = 也就是当 0 同理也有 0 当 0 y > 时， ( P Y = y < 时， ( P Y = , ]c c− y = 时，纵坐标[ c y = + 。 y = + ，故 ( ) y = − ，故 ( ) ) c c y y f f ) ) Y y ) y ) 之间的点都有可能，即 ( )g x 取点 0 的概率跟 x 取一段的概 0 > ； 0 < ； c y ), c y ), = = + − y y ( ( f f X X Y 率相等， P Y 此时 ( = g X ( = 对 Y − ≤ f 0) = ) 的概率密度函数 ( ) P c X c ) ( Yf ≤ ， (0) Y = F c ( ) x − F x ( c − 。（跃变高度） ) y 求积分得到它的概率分布函数为： F y ( ) Y ⎧ = ⎨ ⎩ F y ( X F y ( X − + c c ) ) y y < ≥ 0 0 。

1.7 设函数 ( )g x 为 g x ( ) x c − ⎧ = ⎨ + x c ⎩ x x < ≥ 0 0 c > 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求其中 0 的概率分布函数。解法一：此题的解法和前面的 1.5 和 1.6 题基本相同，函数图像也和习题 1.6 的基本基本一样 g X ( Y = ) 当 y 当 y 当 c c< − 时， { P Y y } ≤ c≥ 时， { P Y y } = ≤ P Y − ≤ < 时， { ≤ y c P X c y } { − ≤ = y P X c { } = + ≤ y P X } 0} { ≤ = 所以 Y = g X ( ) 的概率分布函数为 F y ( ) Y c ) ) + c F y ( = X F y ( − X F (0) = X F y ( − X F (0) X F y ( + X ⎧ ⎪= ⎨ ⎪ ⎩ c ) c ) c c y ≥ c y − ≤ < c y < − Yf y 入手求概率分布函数 ( ) 解法二：同样也可以按照习题 1.7 的第二种解法，从概率密度 ( ) YF y ，仍然遵循一一对应和概率密度类比的观点，也就是当 y 同理也有 y y 当 c P c Y c 此时 ( − ≤ ≤ c y ), − y c y ), + − ≤ < 时，x 取点 0 的概率跟 ( )g x 取一段[-c, c]的概率相等， P Y c≥ 时， ( = P Y c< − 时， ( c y y = − ，故 ( ) = y = + ，故 ( ) P X ( P X ( = f Y = ， ( ) Y ( X f F= x y = P X ( f = ) c y ( ) y = ) (0) 0) f Y ) = y ) f Y c > ； c c < − ； X 同样地， Y = g X ( ) 的概率分布函数为 F y ( ) Y ⎧ ⎪= ⎨ ⎪ ⎩ 。 F y ( − X F (0) X F y ( + X c ) c ) c y ≥ c y − ≤ < y c < − c

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