第1页 / 共8页
第2页 / 共8页
第3页 / 共8页
第4页 / 共8页
第5页 / 共8页
第6页 / 共8页
第7页 / 共8页
第8页 / 共8页
2021新疆考研数学一真题及答案.doc
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过
2021新疆考研数学一真题及答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
ex 1
(1)函数 f (x)=
x
1, x 0
, x 0 ,在 x 0 处
(A)连续且取极大值.
(C)可导且导数为 0.
(B)连续且取极小值.
(D)可导且导数不为 0.
【答案】D.
【解析】因为lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x
x0
ex 1
因为 lim
x0
f (x) f (0)
x 0
=lim
x0
x
x 0
1
lim
x0
e x 1 x
x 2
1
2
1
2
，故 f (0) ，正确答案为 D.
(2)设函数 f x, y 可微，且 f (x 1, ex) x(x 1) 2 ， f (x, x2) 2x2 ln x ，则 df (1,1)
(A) dx dy .
(B) dx dy .
(D) dy.
(C) dy .
1
【答案】C.
【解析】 f (x 1,ex) ex f (x 1,ex) (x 1) 2 2x(x 1)
f (x, x2) 2xf (x, x2) 4x ln x 2x
分别将 y 0 ， y 1 带入①②式有
x 0
x 1
2
1
2
①
②
f1(1,1) f2(1,1) 1 ， f1(1,1) 2 f2(1,1) 2
联立可得 f1(1,1) 0 ， f2(1,1) 1 ， df (1,1) f1(1,1)dx f2(1,1)dy dy ，故正确答案为 C.
在 x 0 处的 3 次泰勒多项式为ax bx2 cx3 ，则
sin x
(3) 设函数 f (x)
1 x2
(A) a 1,b 0,c 7
6
(C) a 1,b 1,c 7 .
6
.
(B) a 1,b 0,c 7
6
.
(D)
a 1,b 1, c 7 .
6
【答案】A.
【解析】根据麦克劳林公式有
sin x
1 x2 x
f (x)
3
x3
7 3
o(x ) [1 x o(x )] x x6
6
2
3
3
o(x )
1
故a 1,b 0, c 7
6
，本题选 A.
(4) 设函数 f x 在区间0,1 上连续，则1 f xdx
(A) lim f
2k 1 1
(B)
.
0
n
2n
2n
n k 1
k 1 1
2n
lim f
.
n k 1
2n n
(C)
n
2k 1 1
lim f
n k 1
2n
(D) lim f
x0 k 1
.
2n n
k 2
2n n
.
1
【答案】B.
【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 0,1 分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则
2k 1 1
0 f (x)dx lim f 2n n
(5) 二次型 f (x , x , x ) (x x )2 (x x )2 (x x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为
, 即选 B.
n k 1
n
1
2
3
1
2
2
3
(A) 2,0 .
【答案】B.
【解析】 f (x , x , x ) (x x )2 (x x )2 (x x )2 2x 2 2x x 2x x 2x x
(D)1, 2.
(B)1,1 .
1
2
2
3
3
1
2
1 2
2 3
1 3
1
3
(C) 2,1.
所以 A 1 2 1 ，故特征多项式为
2
1
3
0 1 1
1 1 0
|E A | 1
1
2
1 1
1
1 (1)( 3)
令上式等于零，故特征值为1，3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)已知 0 ， 2 ， 1 ，记， k， l l ，
1
2
3
1
1
1
1
3
2
1
1
2
2
1
3
3
1 1
2 2
(C)
5 , 1 .
2
2
(D) 5 , 1 .
2
2
(A)
若1 ，2 ，3 两两正交，则l1 ，l2 依次为
5 1
,
2 2
5 1
,
2 2
【答案】A.
【解析】利用斯密特正交化方法知
(B)
.
.
0
2
[2,1] 2 ，
0
[3,1] [3,2]，
[1,1]
1
2
3
3
1
[,]
1
1
[,] 2
2
2
故l1
[3,1] 5 ， l
[1,1]
2
[3,2] 1
[2,2]
2
，故选 A.
2
(7) 设 A,B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是
2
A O
A
(A) rO AT A 2r A
(C) r O AAT 2rA
BA
A AB
A O
(B) rO AT 2r A
(D) r BA AT 2r A
A O
【答案】C.
【解析】(A) r O AT A r(A) r(A A) 2r(A). 故 A 正确.
(B) AB 的列向量可由 A 的列线性表示，故 r
A AB
O AT
(C) BA 的列向量不一定能由 A 的列线性表示.
(D) BA 的行向量可由 A 的行线性表示， r
r
r
T
A O
0 AT
r (A) r (AT ) 2r(A).
A BA
O AT
A O
0 AT
r (A) r (AT ) 2r(A).
本题选 C.
(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 P(B) 1，下列命题中不成立的是
(A) 若 P(A | B) P(A) ，则 P(A | B) P(A) .
(B) 若 P(A | B) P(A) ，则 P(A | B) P(A)
(C) 若 P(A | B) P(A | B) ，则 P(A| B) P(A).
(D) 若 P(A | A
B) ，则 P(A) P(B) .
B) P(A | A
【答案】D.
【解析】 P( A | A
B)
P(A | A
因为 P( A | A
B) P(A(A
P( A
B) P( A | A
P( A)
P(A(A
P( A
B))
B)
B))
B)
P( AB)
P( A
B)
P( A) P(B) P( AB)
P(B) P( AB)
P(A) P(B) P(AB)
B) ，固有 P( A) P(B) P( AB) ，故正确答案为 D.
1
1 2, X
(9)设 X ,Y ,X ,Y ,
n X i,Y
1 n
1
2
2
i1
n
n
, X ,Y 为来自总体 N ,;2,2; 的简 单随 机样 本， 令
1 n
n Yi, X Y, 则
ˆ
1
2
1
2
i1 2 2
2
n
2 2
1
2
n
ˆ
(A) ˆ 是的无偏估计， Dˆ 1
ˆ
(B) 不是的无偏估计， D
ˆ
(C) 是的无偏估计， D
ˆ
(D) 不是的无偏估计， D
ˆ
ˆ
2 2 2
1
1 2
2
2 2 2
1
1 2
2
n
n
【答案】C.
【解析】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X Y 也服从二维正态
分布，即 E(ˆ) E( X Y ) E( X ) E(Y ) 1 2 ，
3
D( ˆ) D(X Y ) D(X ) D(Y ) cov(X ,Y ) 1
1 2 ，故正确答案为 C.
, X16 是来自总体 N , 4 的简单随机样本， 考虑假设检验问题：
n
2
(10) 设 X1 , X 2
2 2 2
H0: 10, H1 : 10. x 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W X 11，
其中 X X i ，则11.5 时，该检验犯第二类错误的概率为
1 16
16
i1
(A)1 0.5
(C)1 1.5
(B)1 1
(D) 1 2
【答案】B.
【解析】所求概率为 P{X 11}
X
N (11.5, 1) ，
X 11.5 1111.5
P{X 11} P
1
2
1
2
4
1 (1)
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
，得
d 2y
dx2
(4et 4tet 2)(2et 1) (4tet 2t )2et
(2et 1)3
，
.
(13)欧拉方程 x2 y xy 4y 0 满足条件 y(1) 1, y(1) 2 得解为 y
【答案】 x2 .
【解析】令 x et ， 则 xy dy
dt
2 4 0 ， 特征根为 2, 2 ， 通解为 y C e2t C e2t C x2 C x2 ， 将初始条件
1
y(1) 1, y(1) 2 带入得C 1,C 0 ，故满足初始条件的解为 y x2 .
dy ， 原方程化为 d 2y 4y 0 ， 特征方程为
dx
, x2 y d 2y
dx2
dx2
1
2
1
2
2
(14) 设 为 空 间 区 域 (x, y, z) x2 4y 2 4,0 z 2
1
2
表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分
x2dydz y2dzdx zdxdy
【答案】4.
.
4
故本题选 B.
上.）
(11)
【答案】
【解析】
0
4
0
dx
x2 2x 2
.
2
【答案】 .
3
【解析】由
将t 0 带入得
dy
dx
4tet 2t
2et 1
d 2y
dx2
t 0
2 .
3
dx
x2 2x 2
dx
0(x 1)2 1
arctan(x1)
4
d 2 y
dx2
0
x 2et t 1, x 0
y 4(t 1)et t 2, x 0
确定,则
2
4
t 0
.
(12)设函数 y y(x) 由参数方程
【解析】由高斯公式得原式= (2x 2y 1)dV 0 dz dxdy 4.
2
D
(15) 设 A aij 为 3 阶矩阵， Aij 为代数余子式， 若 A 的每行元素之和均为 2， 且
A 3 ，
A11 A21 A31=
.
【答案】
3
2
.
1
1
1
1
【解析】 A1 2 1 , A , 2, 1 , 则 A* 的特征值为
， 对应的特征向量为
A
1
1
A11 A21
1 , A* 而 A* A
A
12
A
22
A
13
23
1
1
A
A31
A11 A21 A31
1A
A , A* 1 A A A
1 ，即
32
12
32
A A
A
A
1
33
33
13
22
23
1
1
A11 A21 A31
3
2
.
(16) 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系
数
.
1
【答案】 .
5
【解答】联合分布率(X,Y)
cov(X,Y )
1
20
5
，DX 1 , DY 1 , 即 1 .
5
5
XY
4
4
(0,1)
1
(1,0)
1
(0,0)
3
10
(1,1)
3 , X
10
0
1
1 1 Y
2
2
0
1
1 1
2
2
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本题满分 10 分)
x et2dt
0
ex 1
1
求极限lim
x0
1
.
sin x
1
【答案】 .
2
1 xet 2dt
【解析】解： lim
0
ex 1
x0
(ex 1) sin x
又因为 x et2dt x (1 t 2 o(t 2))dt x 1 x 3 o(x 3) ，故
1
sin x
sin x 1 xet 2dt
lim
x0
0
0
0
(x 1 x3 o(x3 ))(1 x 1 x3 o(x3 )) x 1 x2 o(x2 )
3
3!
2
原式=lim
x0
=lim 2
x0
1 x2 o(x2)
3!
x2
x2
1
2
.
5
(18)(本题满分 12 分)
1
nx
设un (x) e
【答案】 S(x) 1 e x
x
n(n 1)
e x
e
e 1
, x 1
n1
(n 1,2,
) ，求级数un(x) 的收敛域及和函数.
n1
(1 x) ln(1 x)
x, x
(0,1)
.
【解析】
S (x) u (x) e nx n(n 1) x n1 , 收敛域(0,1], S (x) e
S (x) 1
xn1 x ln(1 x) [ ln(1 x) x]
n1
nx
n1
1
1
n
n1
n1
x
n1 n(n 1)
xn1
n1 n
(1 x)ln(1 x) x,
x (0,1)
n1 n 1
2
e x
1 e x , x (0,1]
S2 (1) lim S2 (x) 1
x1
e x
S(x) 1 ex
, x 1
e
e 1
(1 x) ln(1 x)
x, x
(0,1)
(19)(本题满分 12 分)
已知曲线C :
x2 2 y2 z 6
4x 2 y z 30
，求C 上的点到 xoy 坐标面距离的最大值.
【答案】66
【解析】设拉格朗日函数 L x, y, z,, z 2 x 2 2 y 2 z 6 (4x 2 y z 30)
L 2x 4u 0
x
Ly 4 y 2u 0
L 2z u 0
z
x2 2 y2 z 6
4x 2y z 30
解得驻点： (4,1,12),(8, 2, 66)
C 上的点(8, 2, 66) 到 xoy 面距离最大为 66.
(20)(本题满分 12 分)
设 D R2 是有界单连通闭区域， I(D)
(4 x 2 y 2 )dxdy 取得最大值的积分区域记为 D .
1
D
x2 4 y2
，其中D1 是 D1 的正向边界.
(xex2 4 y2 y)dx (4 yex2 4 y2 x)dy
(1) 求 I(D1) 的值.
(2) 计算 D1
【答案】 .
【解析】（1）由二重积分的几何意义知： I (D) (4 x 2 y 2)d，当且仅当4 x2 y2 在 D 上
大于 0 时， I(D) 达到最大，故 D：x2 y2 4 且 I(D )=
0
(2)补 D2 : x 4y r （ r 很小），取 D 的方向为顺时针方向，
(xe x2 4 y2 y)dx (4ye x2 4 y2 x)dy
d(4 r )rdr 8.
0
2
D
2
2
2
1
1
2
2
2
=
D1
x2 4 y2
6
(xex2 4 y2 y)dx (4 yex2 4 y2 x)dy
(xex2 4 y2 y)dx (4 yex2 4 y2 x)dy
x2 4 y2
1 er 2
r 2
D2
ydx xdy 1
r
2
D2
D2
x2 4 y2
2d .
D2
xdx 4ydy
D1D2
1 er 2
r 2
(21)(本题满分 12 分)
1
a
已知 A 1
a
1 1
1
1 .
a
(1) 求正交矩阵 P ,使得 PT AP 为对角矩阵；
(2) 求正定矩阵C ,使得C 2 (a 3)E A.
【答案】(1) P
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
0
1
6
1
6
2
6
5
3
；(2)C 1
1
1
1 .
3
5
3
1
5
3
1
3
【解析】
(1)由 E A
a
1
1 a
1
1
得1 a 2,2 3 a 1
1
1
a
(a 1)2(a 2) 0
1 1 1 0 1
2
1r
2 0 0 0
0 1 1 的特征向量为 1 ，
1
1
1
当1 a 2 时
2
((a 2)E A) 1
1
当2 3 a 1 所
1 1
((a 1)E A) 1 1
1
1
1
1
1 1 1 1
0 的特征向量为 1 , 1 ，
1 r
0 0
0
1 0 0
2
1
1
2
6
1
1
1
0
2
3
a 1
a 2
，则 PT AP
，
a 1
1
3
1
3
1
3
1 ,
1
2 ,
2
令 P
3
3
6
2
6
1
(2) PTC 2P PT (a 3)E A)P ((a 3)E
2
0
4
4
7
1
T CP
2
，
2
PT CPPTCP
1
故C P
2
4
1
P
4
5
3
PT 1
2
1
1
1
1 .
3
5
3
5
3
1
3
Y , 令 Z Y
X
.
(1) 求 X 的概率密度；
(2) 求 Z 的概率密度.
(3) 求 E X
Y
.
(22)(本题满分 12 分)
在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为
1, 0 x 1
【答案】(1) X
f (x) 0,其他 ；(2)
2
fZ (z) (FZ (z)) (z 1)2
, z 1
.(3) 1 2 ln 2 .
0, 其他
【解析】(1)由题知： X
1, 0 x 1
；
0, 其他
f (x)
2 X
(2) 由Y 2 X ，即 Z
，先求 Z 的分布函数：
F (z) PZ z P 2 X z P 2 1 z
X
Z
X
X
当 z 1 时， FZ(z) 0 ；
当 z 1 时，
2
FZ (z) P
1 z 1 P X
2
2
X
2
2
fZ (z) (FZ(z)) (z 1)
0, 其他
(3) E X E X 1 x
0 2 x
2 X
Y
1 z11dx 1
z 1
0
2
z 1
；
, z 1
；
1dx 1 2 ln 2 .
8
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
