2007年福建高考文科数学真题及答案.doc

发布时间：2022-10-05 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.34M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2007 年福建高考文科数学真题及答案第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集 U=|1,2,3,4,5|,且 A＝{2,3,4},B={1,2},则 A （CUB）等于 A.{2} C.{3,4} 解析：（CUB）={3，4，5}， A （CUB）={3，4}，选 C (2)等比数列{an}中，a4=4,则 a2·a6 等于 A.4 解析：a2·a6= a4 (3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 B.8 2=16，选 C D.{2,3,4,5} B.{5} C.16 D.32 A.0 B. 1 2 C. 3 2 D.1 解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选 D （4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件解析：由|x|<2 得-2

（7）已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 A.（-  ，1） f )1( x  f )1( 的实数 x 的取值范围是 B.（1，+  ） C.（-  ，0）  （0，1） D.（-  ，0）  （1，+   ）解析：由已知得 1 解得 0x 或 x>1，选 D 1  x （8）对于向量 a、b、c 和实数  ，下列命题中真命题是 A.若 a·b＝0，则 a=0 或 b=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b 解析： a⊥b 时也有 a·b＝0，故 A 不正确；同理 C 不正确；由 a·b=a·c 得不到 b=c，如 a 为零向量或 a 与 b、c 垂直时，选 B B.若  a=0,则  ＝0 或 a=0 D.若 a-b=a·c，则 b=c (9)已知 m,n 为两条不同的直线， 、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. m  n , , m ∥ ，n∥   ∥ B.  ∥ ， m  n , ， m∥n C.m⊥  ，m⊥n  n∥  D.n∥m,n⊥   m⊥  解析：A 中 m、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中 n 可以在  内，不正确，选 D (10)以双曲线 x2-y2=2 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 C.x2+y2+4x-5=0 解析：双曲线 x2-y2=2 的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为 x=1，半径为 1，圆 B.x2+y2-4x+3=0 D.x2+y2+4x+5=0 方程为 ( x  2 )2  2 y  1 ，即 x2+y2-4x+3=0，选 B B.f ’(x)>0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0 (11)已知对任意实数 x,有 f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且 x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x) >0, 则 x<0 时 A.f’(x)>0,g’(x)>0 C.f ’(x)<0,g’(x)<0 解析：由已知 f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数, 在对称区间的单调性相反, x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当 x<0 时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选 B (12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000” 到“×××××××9999”共 10000 个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7” 的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 A.2000 解析： 10000 个号码中不含 4 、 7 的有 84=4096 ，故这组号码中 “ 优惠卡 ” 的个数为 10000-4096=5904，选 C D.8320 B.4096 C.5904 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）

（13）（x2+ 1 x ）6 的展开式中常数项是 .（用数字作答）解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取 2 个 x2，4 个 1 x ，故常数项为 2 6 C 15 法二：展开后可得常数项为 15 （14）已知实数 x、y 满足 x   x   0    y y y ,2 ,2 ,3 则 z=2x-y 的取值范围是 . 解析：画出可行域知 z=2x-y 在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值 7，范围是 [-5，7] （15）已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为。解析：由已知 C=2， 2 b a  3 a 3 a 2 a 4 3 2 b a ,4 e  c a  2 4  1 2 （16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合 A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意 a∈A,都有 a-a; (2)对称性：对于 a,b∈A，若 a-b,则有 b-a; (3)传递性：对于 a,b,c∈A,若 a-b,b-c,则有 a-c. 则称“-”是集合 A 的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： . 解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分）在△ABC 中，tanA= (I)求角 C 的大小; 1 4 ,tanB= 3 5 . (II)若 AB 边的长为 17 ，求 BC 边的长本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分 12 分. 解：（I）∵C＝  -(A+B), 1  4 11  4 3 5 3· 5 ，＝ 1  ∴tanC=-tan(A+B)= 又∵0

(II)由 tan    sin    A  2  cos  sin A cos A 2 A  1 4 ,1 , 且 A∈（0，  2 ），得 sinA= . 17 17 AB  sin C ∵ BC , sin A sin A sin C ∴BC＝AB·  2 . （18）（本小题满分 12 分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别为 0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率; (II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力. 解：记“甲第 i 次试跳成功”为事件 A1，“乙第 i 次试跳成功”为事件 B1. 依题意得 P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且 A1B1（i=1,2,3）相互独立. (I)“甲第三次试跳才成功”为事件 1 AA 2 A3，且三次试跳相互独立， ∴P（ 1 AA 2 A3）＝P（ 1A ）P ( APA 2 3 ( ) ) =0.3×0.3×0.7=0.063. 答：甲第三次试跳才成功的概率为 0.063. (II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件 C，解法一：C＝A1 B 1  BA 1 1  BA ，且 1 1 BABABA 1 1 、、 1 1 1 1 彼此互斥， ∴P（C））（）（）（＝ · BAP 1 1  · BAP 1 1  · BAP 1 1 ＝ BPAP ）（）（）（）（）（）（ 1 BPAP 1 BPAP 1   1 1 1 ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 = 0.88. 解法二：P（C）＝1- BPAP ）（）（ 1 · 1 ＝1-0.3×0.4=0.88. 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88. （III）设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi（i=0,1,2）, “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni(i=0,1,2), ∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1N0+M2N1,且 M1N0、M2N1 为互斥事件. ∴所求的概率为

NMNMP （  2 1 0 （）＝ 1 NMP 1 （） 0 NMP  2 ） 1 ）（）（＝ NPMP 0 1 ( NPMP ( ) 2 ) 1 ＝C1 2 ×0.7×0.3×0.42+0.72×C1 2 ×0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024. 答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.3024. （19）（本小题满分 12 分）如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点. (I)求证：AB1⊥平面 A1BD; (II)求二面角 A-A1D-B 的大小. 本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解法一：（I）取 BC 中点 O，连结 AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO⊥BC. ∵ 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1, 连结 B1O，在正方形 BB1C1C 中,O、D 分别为 BC、 CC1 的中点， ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD. 在正方形 ABB1A1 中，AB1⊥A1B， ∴AB1⊥平面 A1BD. (II)设 AB1 与 A1B 交于点 C，在平面 A1BD 中，作 GF⊥A1D 于 F，连结 AF，由（I）得 AB1⊥平面 A1BD， ∴∠AFG 为二面 A-A1B-B 的平面角. 54 5 ，在△AA1D 中，由等面积法可求得 AF＝又∵AG＝ 1 AB = 2 , 2 1 ∴sin∠AFG= AG AF  2  54 5 10 4 , 所以二面角 A-A1D-B 的大小为 arcsin 解法二：（I）取 BC 中点 O，连结 AO. 10 4 .

∵△ABC 为正三角形，∴AO⊥BC. ∵正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1， ∴AO⊥平面 BCC1B1. 取 B1C1 中点 O1，以 a 为原点， OB ，， 1 的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标 OO OA 系，则 B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2, 3 ),A(0,0, 3 ),B1(1,2,0), ∴ AB ＝ ,2,1( 1  ),3 BD  ),0,1,2( BA 1  )3,2,1( ∵ AB 1 · BD ＝  022 ,0 AB 1 · BA ＝ 1 0341  ，＝ BD， ⊥ 1BA , ∴ 1AB ⊥ 1AB ∴AB1⊥平面 A1BD. (II)设平面 A1AD 的法向量为 n=(x,y,z). AD＝ ,1,1(   ),3 AA 1  ).0,2,0( ∵n⊥ nAD, ⊥ 1AA , ∴    · ADn · 1AAn ，＝，＝ 0 0 ∵ y x  ,0 2 y     3  ,0 ∴ y x    ,0   3 z 令 z=1 得 a=(- 3 ,0,1)为平面 A1AD 的一个法向量. 由（I）知 AB1⊥A1BD. ∴ 1AB 为平面 A1BD 的法向量. cos= · 1ABn |AB|n| 1  = 3  22·2 3 =- 6 4 . ∴二面角 A-A1D-B 的大小为 arccos 6 4 . (20)（本小题满分 12 分）设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (I)求 f (x)的最小值 h(t); (II)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围. 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力. 解：（I）∵ )( xf  ( xt  2 t ) 3  t  t 1 （  tRx ,  0 ）， ∴当 x=-t 时，f(x)取最小值 f(-t)=-t2+t-1,

即 h(t)=-t3+t-1. (II)令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 g’(t)=-3t2+3=0 得 t=1,t=-1（不合题意，舍去）. 当 t 变化时 g’(t)、g(t)的变化情况如下表： T (0,1) g’(t) + 1 0 g(t) 递增极大值 1-m (1,2) - 递减 ∴g(t)在（0，2）内有最大值 g(1)=1-m h(t)<-2t+m 在（0，2）内恒成立等价于 g(t)<0 在（0，2）内恒成立，即等价于 1-m<0 所以 m 的取值范围为 m>1 （21）（本小题满分 12 分）数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*). (I)求数列{an}的通项 an; (II)求数列｛nan｝的前 n 项和 T. 本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分 12 分. 解：（I）∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn, S 1 =3. n S ∴ n 又∵S1＝a1=1, ∴数列｛Sn｝是首项为 1、公比为 3 的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*). ∴当 n  2 时，an-2Sn-1=2·3n-2(n  2), ∴an= 1 , n  n  2 1  ，    3·2 n  .2 (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan. 当 n=1 时，T1=1; 当 n  2 时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………① 3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………② ①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1 n） 3·2  n 1   2 =2+2· n 313  （ 31  =-1+(1-2n)·3n-1 1 2 )3n-1 (n  2). ∴Tn= 1 2 +(n- 又∵Tn=a1=1 也满足上式，

∴Tn= 1 2 +(n- 1 2 )3n-1(n∈N*) (22)（本小题满分 14 分）如图，已知点 F（1，0），直线 l:x=-1,P 为平面上的动点，过 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 OP · OF ·＝ FP FQ （I）求动点 P 的轨迹 C 的方程; （II）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M. （1）已知 MA ＝  1 AF MB ＝，  BF ，求  1 2 2 的值; (2)求| MA |·| MB |的最小值. )本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分 14 分. 解法一：（I）设点 P（x,y）,则 Q（-1，y）,由 OP · ＝ QF FP · FQ 得： (x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得 C：y2=4x. (II)（1）设直线 AB 的方程为： x=my+1(m≠0). 设 A（x1,y1）,B(x2,y2),又 M（-1,- 2 m ）. 联立方程组 y x 2  ,4 x  my  1    ,消去 x 得： y2-4my-4=0, △ =(-4m)2+12>0,    y  1 yy 1 2 ,4 y m  2 .4  由 y 1 MA 2 m   2 m  , AF , MB BF 2 得：  , yy 11 2   y 2 2 ，整理得： 1  1 ,2 my 1 1  2 2 my 2 , ∴  1 ＝ 2  2 1(2 ym 1  )1 y 2 =  2 y 1·2 m  yy 1 y 2 2

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