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2020年辽宁高考文科数学试题及答案.doc
2020 年辽宁高考文科数学试题及答案
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=
A．
C．{–2，0，2}
2．（1–i）4=
A．–4
C．–4i
B．{–3，–2，2，3）
D．{–2，2}
B．4
D．4i
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i
S
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 n
a =
n
A．2n–1
B．2–21–n
C．2–2n–1
D．21–n–1
7．执行右面的程序框图，若输入的 k=0，a=0，则输出的 k为
A．2
B．3
C．4
D．5
8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为
A． 5
5
B． 2 5
5
C． 3 5
5
D． 4 5
5
9．设 O为坐标原点，直线 x=a与双曲线 C：
ODE的面积为 8，则 C的焦距的最小值为
2
2
y
2x
a
b
2
=l(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于 D，E两点．若△
A．4
B．8
C．16
D．32
10．设函数 f(x)=x3－
1
3
x
，则 f(x)
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11．已知△ABC是面积为 9 3
4
到平面 ABC的距离为
的等边三角形，且其顶点都在球 O的球面上．若球 O的表面积为 16π，则 O
A． 3
B． 3
2
C．1
D． 3
2
12．若 2x－2y<3−x－3−y，则
A．ln(y-x+1)>0
B．ln(y-x+1)<0
C．ln∣x-y∣>0
D．ln∣x-y∣<0
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若
sin
x ，则 cos2x __________．
2
3
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=–2，a2+a6=2，则S10=__________．
1
x
y
，
1
y
x
，则
2
1,
x
y
z
15．若x，y满足约束条件
16．设有下列四个命题：
的最大值是__________．
2
y
x
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
1
p
1
p
4
p
② 1
p
2
p
③ 2
p
3
p
④ 3
p
4
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2
cos (
2
)
A
cos
A
．
5
4
（1）求A；
（2）若
b c
3
3
a
18． (12 分)
，证明：△ABC是直角三角形．
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物
的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，
调查得到样本数据(xi，yi) (i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi分别表示第 i个样区的植物覆盖面积(单位：
公 顷 ) 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 ， 并 计 算 得
20
ix
i
1
60
，
20
iy
i
1
1200
，
20
（
i
1
x
i
2
x
)
80
，
20
（
i
1
iy
2
y
)
9000
，
20
（
i
1
ix
)
x
（
y
i
y
) 800
．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的
平均数乘以地块数)；
（2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数(精确到 0.01)；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数 r=
n
（
1
i
x
i
)
x
y
（
i
y
)
n
（
1
i
x
i
2
x
)
n
（
1
i
y
i
2
y
)
， 2 =1.414．
19．(12 分)
已知椭圆 C1：
2
2
x
a
2
2
y
b
(a>b>0)的右焦点 F与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F
1
且与 x轴重直的直线交 C1 于 A，B两点，交 C2 于 C，D两点，且|CD|= 4
3
|AB|．
（1）求 C1 的离心率；
（2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程．
20．（12 分）
如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M，N分别为 BC，B1C1 的中点，P
为 AM上一点．过 B1C1 和 P的平面交 AB于 E，交 AC于 F．
（1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F；
（2）设 O为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= π
3
，求四棱锥 B–EB1C1F的体积．
21．（12 分）
已知函数 f（x）=2lnx+1．
（1）若 f（x）≤2x+c，求 c的取值范围；
x a
（2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）=
( )
f x
( )
f a
的单调性．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应
的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为
C1：
x
y
2
4 cos
2
4sin
，
（θ为参数），C2：
x
t
y
t
1,
t
1
t
（t为参数）．
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且
经过极点和 P的圆的极坐标方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|．
（1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集；
（2）若 f(x)≥4，求 a的取值范围．
1．D
2．A
3．C
4．B
5．D
6．B
7．C
8．B
9．B
10．A
11．C
12．A
参考答案
13． 1
9
14．25
15．8
16．①③④
17．解：（1）由已知得 2
sin
A
cos
A
，即 2
cos
5
4
A
cos
A
．
0
1
4
3
所以
(cos
A
21
)
2
，
0
cos
A ．由于 0 A
1
2
，故
A
．
（2）由正弦定理及已知条件可得
sin
B
sin
C
3
3
sin
A
．
由（1）知
B C
，所以
2
3
sin
B
sin(
2
3
B
)
3
3
sin
3
．
即 1
2
sin
B
cos
B
，
1
2
sin(
B
3
)
．
1
2
3
2
3
由于 0
B
，故
B
．从而 ABC△
2
是直角三角形．
18．解：（1）由己知得样本平均数
y
20
1
20 i
1
y
i
60
，从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×200= 12
000．
（2）样本 (
,
x y
i
i
)
(
i
1,2,
,20)
的相关系数
r
20
（
1
i
x
i
)
y
x
（
i
y
)
20
（
1
i
x
i
2
x
)
20
y
（
1
i
i
2
y
)
80
80 9000
2 2
3
0.94
．
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物
覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了
样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
的估计．
19．解：（1）由已知可设 2C 的方程为 2
y
4
cx
，其中
c
2
a
2
b
.
不妨设 ,A C 在第一象限，由题设得 ,A B 的纵坐标分别为
2b
a
，
； ,C D 的纵坐标分别为 2c ， 2c ，
2b
a
故
|
AB
|
22
b
a
，|
CD
| 4
c
.
由
|
CD
|
4
3
|
AB
|
得
4
c
28
b
3
a
，即
3
所以 1C 的离心率为
1
2
.
2 2(
c
a
c
a
2
)
，解得
c
a
（舍去），
2
c
a
.
1
2
（2）由（1）知 2a
c ，
b
3
c
，故
C
1
:
2
x
4
c
2
2
y
3
c
2
，所以 1C 的四个顶点坐标分别为 (2 ,0)c ，
1
( 2 ,0)c
， (0, 3 )c ， (0,
3 )c
， 2C 的准线为 x
c .
由已知得3
，即 2c .
c c c c
12
所以 1C 的标准方程为
2
x
16
2
y
12
， 2C 的标准方程为 2
y
1
8
x
.
20．解：（1）因为 M，N分别为 BC，B1C1 的中点，所以 MN∥CC1．又由已知得 AA1∥CC1，故 AA1∥MN．
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．
（2）AO∥平面EB1C1F，AO 平面A1AMN，平面A1AMN 平面EB1C1F = PN，
故AO∥PN，又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，
所以PN=AO=6，AP = ON=
1
3
AM= 3 ，PM=
2
3
AM=2 3 ，EF=
1
3
BC=2．
因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．
作MT⊥PN，垂足为T，则由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT =PM sin∠MPN=3．
底面EB1C1F的面积为
1
2
(
所以四棱锥B-EB1C1F的体积为
(6 2) 6 24.
B C EF
11
)
PN
1
2
1 24 3 24
3
．
21．解：设 h(x)=f(x)−2x−c，则 h(x)=2lnx−2x+1−c，
其定义域为(0，+∞)，
( )
h x
2
x
.
2
（1）当 00；当 x>1 时，h'(x)<0.所以 h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)
单调递减.从而当 x=1 时，h(x)取得最大值，最大值为 h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0，即 c≥−1 时，f(x)≤2x+c.
所以 c的取值范围为[−1，+∞).
（2）
( )
g x
( )
f a
( )
f x
x a
2(ln
( )
g x
2(
x a
x
(
ln
x a
a
2
)
ln )
x
，x∈(0，a)∪(a，+∞).
ln )
a
x
x a
a
x
x a
(
2(1
a
ln )
x
2
)
取 c=−1 得 h(x)=2lnx−2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当 x≠1 时，h(x)<0，即
1−x+lnx<0.故当 x∈(0，a)∪(a，+∞)时，1
a
x
ln
a
x
g x
，从而 ( )
0
.
0
所以 ( )g x 在区间(0，a)，(a，+∞)单调递减.
22．解：（1） 1C 的普通方程为
x
y
4(0
．
4)
x
由 2C 的参数方程得 2
x
2
t
1
2
t
， 2
y
2
2
t
1
2
t
，所以 2
x
2
2
y
．
4
故 2C 的普通方程为 2
x
2
y
．
4
x
（2）由 2
x
y
2
y
4,
4
得
x
y
5 ,
2
3 ,
2
所以 P 的直角坐标为
(
5 3
,
2 2
)
．
设所求圆的圆心的直角坐标为 0(
x ，由题意得 2
x
0
,0)
(
x
0
5
2
2
)
，
9
4
解得 0
x ．
17
10
因此，所求圆的极坐标方程为
17 cos
5
．
23．解：（1）当 2
a 时，
( )
f x
7 2 ,
x x
1,3
x
7,
2
x
x
3,
4,
4,
因此，不等式 ( )
f x 的解集为
4
{ |
x x
3
2
或
x
11
}
2
．
（2）因为
( )
f x
|
x a
2
|
|
x
2
a
1|
|
2
a
2
a
1|
(
a
2
1)
，故当
(
a
1)
2
，即|
4
以当 a≥3 或 a≤-1 时， ( )
f x ．
4
所以 a的取值范围是 (
, 1]
[3,
)
．
a 时， ( )
1| 2
f x ．所
4
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