2009年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2009 年福建高考理科数学真题及答案一. 选择题：本小题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数 ( ) f x  sin cos x x 最小值是 A．-1 1．【答案】：B ( ) f x [解析]∵ B.  1 2 C. 1 2 D.1  1 2 sin 2 x ∴ ( ) f x min   .故选 B 1 2 0}  ，则 U Að 等于 2.已知全集 U=R，集合 A  { | x x 2  2 x A． { x ∣0  x  2} C． { x ∣x<0 或 x>2} 2．【答案】：A B { x ∣0 ) 2( f x ) 的是

A ． ( ) f x = ( ) f x  ln( x 1 x 1)  B. ( ) f x = ( x  1) 2 C . f x = xe ( ) D 5．【答案】：A [解析]依题意可得函数应在 (0, x   上单调递减，故由选项可得 A 正确。 ) 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．2 B .4 C. 8 D .16 6．【答案】：C [解析]由算法程序图可知，在 n =4 前均执行”否”命令，故 n=2×4=8. 故选 C 7.设 m，n 是平面 内的两条不同直线， 1l ， 2l 是平面 内的两条相交直线，则// 的一个充分而不必要条件是 A.m //  且 l //  C. m //  且 n //  7．【答案】：B B. m // l 且 n // l 2 D. m // 且 n // l 2 [ 解析 ] 若 , m l n / / 1 / /   1 2 , , m l n / / 2 / / l 1 , l m n   2  , .  ，则可得 //  . 若 //  则存在 . 1 2 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数： 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35 8．【答案】：B B 0.25 C 0.20 D 0.15 [ 解析 ] 由随机数可估算出每次投篮命中的概率 p  24 60  则三次投篮命中两次为 2 5 2 C P 3  2 (1   P )  0.25 故选 B 9.设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，

a  c ∣a∣=∣c∣,则∣b • c∣的值一定等于 A．以 a，b 为两边的三角形面积 B 以 b，c 为两边的三角形面积 C．以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 9．【答案】：C [解析]依题意可得   b c     b c     cos( , ) b c D 以 b，c 为邻边的平行四边形的面积   b a    sin( , ) a c    S  故选 C. 10.函数 ( ) f x  ax bx   ( c a  的图象关于直线 0) x   对称。据此可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程  ( ) m f x 2   的解集都不可能是 p 0 b 2 a ( ) nf x  1,2 A.  10. 【答案】：D B  1,4 C   1,2,3,4 D   1,4,16,64 [解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程值求出 ( ) f x 代入 ( ) 0 f x  求出检验即得. m f x ( )] [ 2  ( ) nf x   中 , ,m n p 分别赋 P 0 第二卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若   a bi （i 为虚数单位， ,a b R ）则 a b  _________ 2  i 1 11. 【答案】：2 解析：由 2  i 1    a bi 2(1 i   )(1 ) i  (1 i ) 1   i ，所以 1, b a  故 1, a b  。 2 12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为 91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 x）无法看清。若记分员计算失误，则数字 x 应该是___________ 12. 【答案】：1 解析：观察茎叶图，   可知有 91  88 89 89 92 93 90   x   92 91 94     。 1 x  9 13.过抛物线 2 y  2 ( px p  的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线 0) 段 AB 的长为 8，则 p  ________________

13. 【答案】：2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为 y x  ，联立有 p 2     2 y  2 y   x px p 2 2   x 3 px  2 p 4  0 ，又 AB  2 (1 1 )  (3 ) p 2 4   2 p 4    。 p 8 2 14.若曲线 ( ) f x  3 ax  ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 取值范围是_____________. 14. 【答案】： (  ,0) 解析：由题意可知 ' ( ) f x  所以 2 ax 2      a 0 1 x 2 ax 1 2 x 3 2  ，又因为存在垂直于 y 轴的切线， 1 x     。 ,0) 0) a ( ( x 15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为 ________. 15. 【答案】：5 解析：由题意可设第 n 次报数，第 1n  次报数，第 2n  次报数分别为 na ， 1na  ， 2na  ，所以有 a n  a n 1   a n  2 a ，又 1 21, a  由此可得在报到第 100 个数时，甲同学拍手 5 次。 1, 三解答题 16.（13 分）从集合 1,2,3,4,5 的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。  （1）记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；（2）记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望 E 16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A 基本事件总数 n= 1 2 C C 5 5   3 C 5  4 C 5 5 C 5 =31 事件 A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件 A 包含的基本事件数 m=3 所以 ( ) p A  m n  3 31

（II）依题意，的所有可能取值为 1，2，3，4，5 又 ( p  1)  ( p  4)  1 C 5 31  ， 5 31 4 C 5 31  ， 5 31 ( p  2)  2 C 5 31  ， 10 31 ( p  3)  3 C 5 31  10 31 ( p  5)  5 C 5 31  1 31  P 故的分布列为： 1 5 31 1  5 31 +2  从而 E 2 10 31 10 31 +3 3 10 31 5 31  10 31 +4  +5  1 31  4 5 31 80 31 17（13 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD  平面 ABCD ， 5 1 31 NB  平面 ABCD ，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点（1）求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值（2）在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES  平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标 D xyz M (0,0,1), C (0,1,0), B (1,1,0), N (1,1,1), E ( 1 2 ,1,0) 。依题意，得 D 1(    2  NE (0,0,0) ,0, 1),  (1,0,0) A  AM ( 1,0,1)     NE AM   | AM NE   | |  cos    NE AM ,    | 10 10 ，所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 10 10 .A （2）假设在线段 AN 上存在点 S ，使得 ES  平面 AMN .   AN   AS 可设 (0,1,1) ,  AN   (0, ),  ,

 EA  ( 又 1 2 , 1,0),    ES EA AS      ( 1 2 , )   1,  . 由 ES  平面 AMN ，得   ES AM   ES AN         0, 0, 即 0, 1      2   ( 1)       0. 故  ，此时 1 2  AS  (0,  AS |  ),| 1 1 , 2 2 2 2 . 经检验，当 AS  2 2 时， ES  平面 AMN . 故线段 AN 上存在点 S ，使得 ES  平面 AMN ，此时 AS  2 2 . 18、（本小题满分 13 分）如图，某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，2 3 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定  MNP=120 o （I）求 A , 的值和 M，P 两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（Ⅰ）依题意，有 2 3 A  ， 3 T  ，又 2  4   ， T   。  6   y 2 3 sin  6 x 当 x  是， 4   y 2 3 sin 2  3  3 M (4,3) 又 (8,3) p MP  2 4  2 3  5 （Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则 0°<<60° 由正弦定理得 MP sin120 0    NP 10 3 sin 3 ,   MN  MN NP sin 0  sin(60 10 3 sin(60 3   )   )  0

故 NP MN   10 3 3 sin   10 3 3 sin(60 0  )   10 3 1 ( 2 3 sin   3 3 cos )   0 60 ) 10 3 sin(   3 0°<<60°， 当=30°时，折线段赛道 MNP 最长亦即，将∠PMN 设计为 30°时，折线段道 MNP 最长解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在△MNP 中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得 2 MN 即 2 MN  NP NP MN NP   ∠MNP= cos MN NP 2  25 2MP   2 2   故 ( MN NP  ) 2  25  MN NP   ( MN NP  2 2 ) 从而 3 ( 4 MN NP ) 2  ，即 25 MN NP  10 3 3 当且仅当 MN NP 时，折线段道 MNP 最长注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① 12 ）；③点 N 在线段 MP 的垂直）；② 12 3 9 4 3 3 9 4 3 ，， N N   (  2 6 (  2 6 平分线上等 19、（本小题满分 13 分）已知 A,B 分别为曲线 C： 2 2 x a + 2y =1（y  0,a>0）与 x 轴的左、右两个交点，直线l 过点 B,且与 x 轴垂直，S 为l 上异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点 S 的坐标；（II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】解法一： (Ⅰ)当曲线 C 为半圆时， 1, a  如图，由点 T 为圆弧 AB 的三等分点得∠BOT=60°或 120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又 AB=2,故在△SAE 中,有 SB AB   tan30      ,  ( , s t    ); (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点 S 的坐标为 (1,2 3) ,综上, S (1, 2 3 3 ) 或S(1,2 3)

0) a a  (Ⅱ)假设存在 ( ,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 BT OS 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 . y  ( k x a  ) . 由 2  x   2 a    y  ( k x a  ) 2 y  1 得 (1  2 a k 2 2 ) x  2 2 2 4 a k x a k  2  2 a  0 设点 ( T x T , y T ), ( a    x T )  2 2 a k 1  2 a  2 2 a k , 故 x T  亦即 T ( 2 2 2 2 a a k  2 1 a k  2 a a k  2 2 1 a k   BT  ( ,0), B a   (( ,从而 y  ( k x T T  a )  2 ak 2 a k  1 . 2 , 1 ). 2 2 ak 2 a k  2 2 a k  2 1 a k  2 2 , 2 ak 2 a k  1 )) 2 由 x    y  a ( k x a  ) 得 ( ,2 s a ak  OS ),   ( ,2 a ak ). 由 BT OS ,可得   BT OS    2  k  0, a    0, a 2 2 2 a k 1  2 4 a k  2 2 a k 2  0 即 2 a k 2  2  4 2 a k 2  0 经检验,当 a  时,O,M,S 三点共线. 2 故存在 a  2 ,使得 O,M,S 三点共线. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 SM BT 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 K>0,可设直线 AS 的方程为 . y  ( k x a  ) 由 2  x   2 a    y  ( k x a  ) 2 y  1 得 (1  2 2 ) a b x 2  2 2 2 2 a k x a k  2  2 a  0 设点 ( T x T , y T ) ,则有 x T (   a )  2 4 a k 1  2 a  2 2 a k . 故 x T  2 a a k 2 a a k   2 2 , y 从而 T  ( k x T  a )  2 ak 2 a k  1 2 T 亦即 ( 2 a a k  2 1 a k  2 2  2 ak 2 a k  1 ). 2  ( ,0), B a   k BT y T  a x T   1 2 a k , k 故 SM  2 a k 由 x    y  a ( k x a  ) 得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为 y  2 ak  2 a k x a  ( ) O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 2 ak  2 a k (  a ) .

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