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论文研究-一般需求函数下报童模型的定价与库存控制.pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.22M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    　2008 年 9 月 文章编号 :1000 系统工程理论与实践 第 9 期 　 0020 09 6788 (2008) 09 一般需求函数下报童模型的定价与库存控制 2 2 张菊亮1 ,章祥荪2 ,王耀球1 (1 北京交通大学 经济与管理学院物流管理系 ,北京 100044 ;2 中国科学院 数学与系统科学研究院 ,北京 100190) 摘要 : 　研究单周期联合定价与库存控制问题 ,即决策者同时决定产品的售价和库存水平. 引进了一个 新的概念 :销售弹性 , 并利用这一新的概念研究其最优解的性质. 对一般需求函数 ,证明了解的存在性 , 唯一性 ,并证明了最优定价是订货量的减函数以及最优订货量是定价的减函数. 推广了现有的关于单周 期联合定价与库存控制问题的结果. 关键词 : 　定价 ;库存 ;报童模型 ;订货策略 中图分类号 : 　F253 3 　　　　　　　　文献标志码 : 　A 　　　 4 ;F224 Pricing and inventory control in newsboy’s model with general demand function ZHANGJu liang1 , ZHANG Xiang sun2 , WANG Yao qiu1 (1 2 Ddpartment of Logistics Management School of Economics and Management , Beijing Jiaotong University , Beijing 100044 , China ; Academy of Mathematics and System Sciences , Chinese Academy of Sciences , Beijing 100190 , China) Abstract : 　This paper addresses the joint decision on pricing and inventory control in a single period. A new concept , sale’s elasticity , is introduced and used to study the properties of the optimal policy. For general demand function , the existence and uniqueness of the optimal policy are proved. It is also proved that the optimal price is decreasing in the inventory level and the optimal order quantity is also decreasing in the price. These extend the existed results on joint decision on pricing and inventory control for single period. Key words : 　pricing ; inventory ; newsboy problem ; order policy 1 　引言 由于科技的飞速发展和竞争的压力 ,企业为了生存和发展 ,不断开发新产品. 因此 ,我们看到 ,市场上 的新产品不断涌现. 一旦拥有了新产品 ,该企业可以在市场上暂时处于垄断地位. 为了获得高额利润 ,企业 通过调整价格来影响需求. 在现实社会中 ,许多著名的企业 ,如 : Ford ,Dell ,宝洁 ,苏宁 ,Wal mart ,都采用动 态定价和库存控制来增加收益. 航空业和租凭业等服务业 ,也正是由于采用了收益管理 (一种动态定价方 法) ,才使他们获得的利润大增. 另一方面 ,由于科技的发展和新产品的不断开发 ,使产品的寿命越来越短. 许多行业的产品 (如 :电子数码 ,时装 ,软件等) 具有季节性产品的特点. 从一定的意义上来说 ,我们可以采 用报童模型来管理这些行业的产品. 传统的报童模型假定产品的价格是外在的 ,不受管理者的控制. Whitin (1955) 首先推广报童模型 ,假定 价格也是一个决策变量. 从那以后 , 联合定价与库存控制问题引起了学术界的广泛兴趣. Mills (1959 , 1962) ,Karlin 和 Car (1962) ,Young(1978) ,Lau 和 Lau (1988) ,Polatoglu (1991) ,Petruzzi 和 Dada (1999) 研究了单 周期联合定价与库存控制问题. Thomas (1974) ,Thowson (1975) ,Fedegruen 和 Heching (1999) ,Chen 和 Simchi Levi (2004) 等研究多周期联合定价与库存控制问题. Chan ,Shen ,Simchi Levi 和 Swan (2003) , Yano 和 Gilbert (2005) 以及 Petruzzi 和 Dada (1999) 给出了全面的综述. 这里我们只回顾一下单周期联合定价与库存控制问 题. Mills (1959 ,1962) 考虑需求函数是线性加函数 ( D ( p ,ε) =α( p) +ε(α( p) = a - bp ,ε是随机变量) ) 的 收稿日期 :2007 资助项目 :国家自然科学基金 (70302003 ,70671100 ,70501014) ;北京交通大学科技基金 (2007RC014) 27 03 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    1 3 c h 3 3 3 第 9 期 一般需求函数下报童模型的定价与库存控制 12 情形. Karlin 和 Car (1962) 考虑需求函数是指数乘函数 ( D ( p ,ε) =β( p)ε(β( p) = ap - b ,ε是随机变量) ) 的 情形. Young(1978) 考虑需求函数是 D ( p ,ε) =α( p) +β( p)ε(包含加函数和乘函数) ,但是他假定ε的累积 分布函数属于 PF2 族 ( PF2 的定义见 (Portues(1990) ) ) 或是 log normal 分布. Lau 和 Lau (1988) 考虑乘需求函 数 (其中β( p) = a - bp ,ε服从正态分布) . Polatoglu (1991) 同时考虑加需求函数和乘需求函数. 对于加需求 函数来说 ,α( p) = a - bp ,ε服从均匀分布 ; 对于乘需求函数来说 ,β( p) = a - bp ,ε服从指数分布. Petruzzi 和 Dada (1999) 对以前的结果给予了全面的综述并进行推广. 他们同时考虑了加需求函数和乘需求函数 ,加 需求函数满足α( p) = a - bp ,乘需求函数满足 β( p) = ap - b ,随机项 ε满足 IFR ( Increasing Failure Rate) . Barlow 和 Prochan (1996) 证明 IFR 是一类十分广泛的分布. 我们常见的分布 (正态分布 , 均匀分布 ,log normal ,Weibull ,gamma ,指数分布等) 都具有这一性质. PF2 分布类也满足这一性质. 本文考虑一般需求函数下的联合定价与库存控制问题. 我们引进一个新的概念 :销售弹性. 它是价格 和订货量的函数. 它刻画了销售损失率的价格弹性. 利用这一概念刻画了最优函数的凹性 ,最优订货量 价 格的存在性 、唯一性以及最优定价对订货量的单调性和凹性以及最优订货量对定价的单调性和凹性. 我们 证明只要销售弹性是订货量的增函数 ,则存在唯一的最优订货量和最优定价 ,并且最优定价是订货量的减 函数. 我们还证明 ,只要需求函数具有 (1) 的形式 ,并且ε1 ,ε2 是 IFR ,则销售弹性是订货量的增函数. 这样 , 我们就证明了 Mills(1959 ,1962) ,Karlin 和 Car (1962) ,Zabel (1970) , Young (1978) ,Lau 和 Lau (1988) ,Polatoglu (1991) ,Petruzzi 和 Dada (1999) 的结果是我们结论的特殊情况. 2 　基本模型 与 Chen 和 Simchi Levi (2004) 一样 ,我们假定需求函数具有如下的形式 D ( p) = α( p)ε1 + ε2 (1) 其中α( p) 是价格 p 的二阶连续可微凹的减函数 ,ε1 和ε2 是随机变量 ,满足 E(ε1 ) = 1 , E(ε2 ) = 0 , P (ε1 ≥ 0) = 1 并且ε1 和ε2 是相互独立的. 令 p > 0 是价格的上界 , c 是产品的单位成本. 由于公司不可能亏本销 Levi (2004) 指出 ,通常的加需求函数和乘需求函数都是这一需求函数的特例. 售 ,故 p ≥c. Chen 和 Simchi p ] . 由于 α( p) 是二阶 因此 ,这一需求函数是十分一般的需求函数. 我们假定 , P ( D ( p) ≤0) = 0 , 连续可微凹的减函数 ,容易验证 π( p) = pα( p) 是 p 的凹函数. P ∈[ 0 , 令 H( y) 是库存 缺货损失费用函数 ( y > 0 表示库存费用 , y < 0 表示缺货损失) . 我们假定 H ( y) 是凸 缺货损失费用函数 H( y) = hy + 函数并且 H( y) 在 y = 0 取得最小值 (这一假设十分一般 ,常见的线性库存 + by - ( h 是单位产品的库存费用 , b 是单位产品的缺货损失) 就满足这一假设) . 于是公司的目标就是选择 合适的价格 p 和订货量 x 使得收益的期望最大 p ] , x p ∈[ c , max R ( p , x) = pE[ min ( D ( p) , x) ] - cx - E[ H( x - D ( p) ) ] . (2) 　　直接计算 (2) 中的 p 和 x 比较困难. 我们先计算需求的期望 d = E( D ( p) ) =α( p) 和 x . 一旦我们有了 ) ,其中 α- 1 ( d) 表示 α( p) =α- 1 ( d 最优的需求期望 d 的反函数. 为了表示方便 ,我们令 p ( d) =α- 1 ( d) . 于是 (2) 可以等价地转化为 ,我们很容易求得最优定价 p 和最优订货量 x max d ∈[ d , d ] , x R ( d , x) = p ( d) E[ min ( dε1 + ε2 , x) ] - cx - G( d , x) . (3) 其中 G( d , x) = E[ H( x - dε1 - ε2 ) ] , d =α( p ] ,因 此我们有 P( dε1 +ε2 ≥0) = 1 , d ]. 因为 H( y) 是凸函数 ,我们容易证明 G( d , x) 是 d , x 的联合凸 函数. 由反函数的性质知 ,我们可以证明 p ( d) 是二阶连续可微凹的减函数. 这样我们可以证明 ,π( d) = d· p ( d) 是 d 的凹函数. d =α( c) . 由于我们假定 P( d ( p) ≥0) = 1 , d ∈[ d , p ∈[ c , p) , 为了研究 (3) 的最优解的性质 ,我们引进销售弹性这一概念. 它表示缺货损失率的弹性. 这一概念首先 由 Kocabiyikoglu 和 Popescu(2005) 引进研究收益管理. 令 q ( d , x) = 1 - F( d , x) = P ( dε1 +ε2 > x) 表示给定 库存 x 和需求期望 d 时缺货的概率. 我们定义销售弹性为缺货损失相对于价格的变化率. 定义 2 1 　相对于随机需求 dε1 +ε2 和库存水平 x 的销售弹性定义为 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    1 3 3 3 22 3 3 3 3 3 3 h 3 3 3 3 (4) (5) (6) 3 3 x. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 系统工程理论与实践 2008 年 9 月 ε( d , x) = - p ( d) q′d ( d , x) p′( d) q ( d , x) = p ( d) Fd ( d , x) p′( d) (1 - F( d , x) ) . 　　我们假定产品的价格为 c 时 ,产品的库存可以清空. 因此 ,我们有 q ( d , x) = 1 , 3 　最优价格和最优订货量的性质 令 　　命题 3 ( p) 满足 r ( d , x) = p ( d) E[min ( dε1 + ε2 , x) ] = p ( d)∫x 0 q ( d , v) dv. 1 　1) 对于给定的需求期望 d ,收益函数 R ( d , x) 是 x 的凹函数 ,存在唯一的最优订货量 x p ( d) q ( d , x) - c - Gx ( d , x) = 0 , 　　2) 对于给定的订货量 x , R ( d , x) 是 d 的凹函数 ,最优需求期望 d ( x) 满足 ∫x 0 - p′( d) q ( d , v) (ε( d , v) - 1) dv - Gd ( d , x) = 0. 　　证明 　见附录. 由于 q ( d , x) = 1 和 p ( d) = c ,我们可以将 Rx ( d , x) 写成如下的形式 Rx ( d , x) = p ( d) q ( d , x) - c - Gx ( d , x) = p ( d) q ( d , x) - p ( d) q ( d , x) - Gx ( d , x) v d d = - ∫ =∫ d d ( p ( v) q ( v , x) ) dv - Gx ( d , x) p′( v) q ( v , x) (ε( v , x) - 1) dv - Gx ( d , x) . 　　引理 3 1 　一阶条件 (5) 等价于 d ∫ d p′( v) q ( v , x) (ε( v , x) - 1) dv - Gx ( d , x) = 0. ( x) ( f ( d) = f ( d , x) | x = x 　　由于对任意给定的 x (或 d) ,有唯一一个最优解 d ( x) = f ( d , ( d) ) . 下面研 x) | d = d 究 x ( x) 是单调增函数的 一个充分条件就是收益函数 R ( d , x) 是上模 ( supermodular) 函数. 对于一个二元函数来说 , R ( d , x) 是上模 函数当且仅当 Rdx ( d , x) ≥0 ,Topkis(1998) 给出了详细的描述. ( d) ) 与之对应. 以后我们记 f d ( d) = f d ( d , x) | x = x ( x) 的单调性. 一般情况下 ,他们并不具有单调性. 保证 x x ( x) = f x ( d , x) | d = d ( d) ) . 并记 f ( d) 和 d ( d) 和 d ( x) ( x ( x) ( f 命题 3 2 　若ε( d , x) ≥1 ,则 R ( d , x) 是上模函数 ,这时最优的库存 x ( d) 是 d 的增函数 ,最优期望 需求 d ( x) 是 x 的增函数. 证明 　由于 H(·) 是凸函数 ,从而 H( x - dε1 - ε2 ) 是下模函数. 因此 , G( d , x) 是下模函数 , Gxd ( d , x) ≤0. 由于 rdx ( d , x) = - p′( d) q ( d , x) (ε( d , x) - 1) , p′( d) ≤0 ,ε( d , x) ≥1 ,故 rxd ( d , x) ≥0. 因此 Rxd ( d , x) = rdx ( d , x) - Gdx ( d , x) ≥0. 由 Topkis(1998) 中的定理 2 ( x) 是 x 的增函数. 推论 3 证明 　由于 p ( d) 是 d 的减函数 ,故由命题 3 下面给出一个较弱的条件保证 x ( d) 和 d ( d , x) 不少于 1 ,而只要求ε( d , x) 在最优路径 d ( d) 和 d 2 可以直接得出结论成立. ( x) 的单调性. 这一条件并不要求ε( d , x) 在所有的点 ( x) ( x ( x) 是订货量 x 的减函数 ,最优订货量是价格 p 的减函数. ( d) ) 上满足一定的条件. 而且这一条件还是 x 1 　若ε( d , x) ≥1 ,最优定价 p ( x) 满足单调性的充要条件. ( d) 是 d 的增函数 ,且 d 2 　可知 , x 8 命题 3 3 　1) d ( x) 是单调增的当且仅当 - p x ( x) q ( x) (ε ( x) - 1) - G xd ( x) ≥0 其中 p x ( x) = p′ ( d) | d = d 2) x ( x) . ( d) 是单调增函数当且仅当 - p d ( d) q ( d) (ε ( d) - 1) - G dx ( d) ≥0. © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 d 3 3 3 3 第 9 期 一般需求函数下报童模型的定价与库存控制 证明 　由命题 3 1 , d ( x) 满足 Rd ( d , x) = 0. 由隐含数定理可得 性及 G 的凸性可知 , R dd ( x) < 0. 因此 , d xd ( x) = - p R ( x) 是 x 的增函数当且仅当 ( x) - 1) - G ( x) (ε x ( x) q dx ( x) ≥0. 　　第二部分可以同样得到. 32 = - R xd dd ( x) . 由 π的凹 R ( x) x 1 一样 ,我们可以得到如下推论 : 与推论 3 推论 3 2) x 下面我们利用ε( d , x) 关于 x (或 d) 的单调性来研究 d 2 　1) p ( p) 是单调减函数当且仅当 - p ( x) 是单调减函数当且仅当 - p ( d) (ε d ( d) q x ( x) q ( x) (ε xd ( x) ≥0. ( x) - 1) - G dx ( d) ≥0. ( d) 的单调性. 第五节给出一些条 ( d) - 1) - G ( x) 和 x 件保证销售弹性ε( d , x) 关于 x (或 d) 的单调性. 本文算子 arg max 表示函数的最大的极大值点. 引理 3 2 　假定 k :κ= [ l , ∞) →R 是拟凸函数且满足 k ( l) ≤0. 若对某一 y > l 有 k ( y) = 0 且 k 在 y 是 可微的 ,则 ky ( y) ≥0. 特别地 ,若 k (θ, y) = Ky (θ, y) :θ×κ→R ,且对每一个固定的参数值θ∈Θ , k (θ, y) 满足上述条件 ,则 y (θ) = arg maxy K(θ, y) 是θ的增函数. 证明 　由于 k ( x) 是拟凸函数 , k ( y) = 0 可以推出当 x ≤y , k ( x) ≤0 且 x ≥y , k ( x) ≥0. 因此 , ky ( y) ≥ (θ) ) ≥0. 因 (θ) ) = 0. 由第一部分可得 Kyθ( y (θ) ) = Ky (θ, y (θ) ,则 k (θ, y 0. 对于第二部分 ,令 y = y 此 , y (θ) = arg maxy K(θ, y) 是θ的增函数. 同样 ,我们可以证明如下引理. 引理 3 3 　假定 k :κ= ( - ∞, l ] →R 是拟凸函数且满足 k ( l) ≥0. 令 y = max{ z| z < l , k ( z) = 0}. 若 k 在 y 是可微的 ,则 ky ( y) ≥0. 特别地 ,若 k (θ, y) = Ky (θ, y) :θ×κ→R ,且对每一个固定的参数值θ∈Θ , k (θ, y) 满足上述条件 ,则 y (θ) = arg maxy K(θ, y) 是θ的增函数. 4 　1) 若ε( d , x) 是 x 的增函数 ,则 d 命题 3 2) 若ε( d , x) 是 d 的增函数 ,则 x 证明 　见附录. ( d) 是 d 的增函数 ; ( x) 是 x 的增函数 ; 4 　唯一性 下面研究最优解的唯一性 ,即在什么条件下 , (3) 有唯一最优解. 为了便于计算 R ( d , x) 的导数. 令 D ( d ,ε) = dε1 +ε2 . 对于给定的 x , d ,存在ε1 ( d , x) ∈(0 , ∞) 和ε2 ( d , x) 使得 dε1 ( d , x) +ε2 ( d , x) = x . 下面 我们首先给出一个销售弹性的等价表示. 由于 Fd ( d , x) = P( dε1 +ε2 ≥x) = - f ( d , x)ε1 ( d , x) ,故 d ε( d , x) = - p ( d) f ( d , x)ε1 ( d , x) p′( d) q ( d , x) . (7) 1 　若 - p′( d) q ( d , x) (2ε( d , x) - 1) - 2 Gxd ( d , x) ≥0 ,则 R ( d , x) 是 d 和 x 的联合凹函数. 特 　　命题 4 别 ,若ε( d , x) ≥1 2 证明 　见附录. R ( d , x) 的联合凹性是保证 R ( d , x) 有唯一解的充分条件. 下面给出一个更弱的条件保证 R ( d , x) 有 ,则 R ( d , x) 是 d 和 x 的联合凹函数. 唯一解. x ( x) q 2 　1) 若 - p d ( d) q 命题 4 2) - p 证明 　由包络定理 (envelop theorem) 可知 ( d) - 1) - 2 G ( d) (2ε ( x) (2ε ( x) - 1) - 2 G xd ( d) ≥0 ,则 R xd ( x) ≥0 ,则 R ( x) 是凹函数 ; ( d) 是凹函数. 由 π的凹性和 G 的联合凸性 ,我们可得 R 同样可证第二部分. 2 x2 R ( x) = Rxx ( d , x) - R2 dx ( d , x) Rdd ( d , x) dd < 0. 再由 (15) 可知 Δ . d = d ( x) ( x) ≥0 , R ( x) 是凹函数. © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    42 系统工程理论与实践 2008 年 9 月 3 ,3 4 ,4 1 可得如下定理 : 由命题 3 定理 4 增函数 ; 1 　1) 若ε( d , x) 是 x 的增函数 ,则 (3) 有唯一的最优解 ,且最优需求函数期望 d ( x) 是 x 的 1 一样我们可以得到如下的推论. 2) 若ε( d , x) 是 d 的增函数 ,则 (3) 有唯一的最优解 ,且最优订货量 x 与推论 3 推论 4 2) 若ε( d , x) 是 d 的增函数 ,则 (2) 有唯一的最优解 ,且最优订货量 x 1 　1) 若ε( d , x) 是 x 的增函数 ,则 (2) 有唯一的最优解 ,且最优定价 p ( d) 是 d 的增函数. ( x) 是 x 的减函数 ; ( p) 是 p 的减函数. 5 　销售弹性的单调性 本节我们给出保证销售弹性具有单调性的条件. 令εi ( i = 1 ,2) 的累积分布函数为 Fi ( x) ,概率密度函 数为 f i ( x) . 若随机变量ξ有分布函数 F( x) 和密度函数 f ( x) ,我们称λ( x) = f ( x) 1 - F( x) 是随机变量ξ的失 败率 ( Failure Rate) . 如果 λ( x) 是 x 的增函数 ,我们称随机变量 ξ是增失败率的 ( Increasing Failure Rate ( IFR) ) . 关于 IFR 随机变量的详细讨论参见 Ross (1995) . 本节我们假设ε1 ,ε2 是 IFR. 引理 5 引理 5 1 　(Ross(1995) ) 若随机变量ε1 ,ε2 是 IFR ,则ε1 +ε2 是 IFR. 2 　若ε1 是 IFR , d > 0 ,则 dε1 是 IFR ,并且失败率λd ( x) 是 d 的减函数. 证明 　由于 dε1 的分布函数是 Fd ( x) = F1 x d ,故其失败率为 λd ( x) = 1 d f 1 x d 1 - F1 . x d 由于λ1 ( x) = f 1 ( x) 1 - F1 ( x) 是 x 的增函数. 故λd ( x) 是 x 的增函数 ,是 d 的减函数. 3 　若ε1 ,ε2 是 IFR ,则 D ( d) = dε1 +ε2 是 IFR ,并且其失败率λD ( x) 是 d 的减函数. 引理 5 证明 　由引理 5 2 , dε1 是 IFR. 故由引理 5 1 可知 , dε1 +ε2 是 IFR. 注意到 1 d λD ( x) = ∫∞ 1 - ∫∞ 0 0 f 1 F1 x d x d - t f 2 ( t) dt - t F2 ( t) dt 对于固定的 d ,由于 D ( d) 是 IFR 的 ,λD ( x) 是 x 的增函数. 并且对于固定的 x ,λD ( x) 是 d 的减函数. 命题 5 2) 若 - 是 d 的减函数 ,则ε( d , x) 是 d 的增函数. 1 　1) 销售弹性ε( d , x) 是 x 的增函数 ; p ( d) p′( d) 证明 　见附录. Mills(1959 ,1962) ,Karlin 和 Car (1962) ,Zabel (1970) ,Lau 和 Lau (1988) ,Polatoglu (1991) ,Petruzzi 和 Dada (1999) 对一些特殊需求函数得到了最优定价和最优订货量的存在性 ,唯一性以及最优定价对订货量的单 调性. 由命题 5 1 1) ,对于一般的需求函数 (1) ,我们得到了最优定价和最优订货量的存在性 和唯一性以及最优定价是订货量的减函数. 在一定的条件下 ,我们还得到了最优订货量是最优定价的减函 数. 因此 ,我们的结论推广了上述文献的结论. 1 1) 和推论 4 6 　算法与数值例子 本节讨论最优定价及订货量的计算. 由于 (2) 和 (3) 的等价性 ,下面只讨论求解 (3) 的算法. 由前面几节 的结论可知 ,只要ε1 ,ε2 是 IFR , (3) 有唯一解. R ( d , x) 是凹函数. 由此我们可以得到求解 (3) 的算法. 首先 ,求解无约束最优化问题 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 52 (8) 第 9 期 一般需求函数下报童模型的定价与库存控制 得到最优解 d0 和 x0 . 若 d0 ∈[ d , 期望 d = d ,最优订货量 x 满足下列方程 d ] ,则 (3) 的最优解就是 ( d , x ) = ( d0 , x0 ) . 否则 ,若 d0 < d ,最优需求 max d , x R ( d , x) 若 d0 > d ,最优需求期望 d = d ,最优订货量 x 满足下列方程 p ( d) q ( d , x) - c - Gx ( d , x) = 0. p ( d) q ( d , x) - c - Gx ( d , x) = 0. 缺货损失费用函数 , (8) 的最优解 ( d0 , x0 ) 没有明确的表达式 ,只能用优 　　对于一般的需求函数和库存 化算法求解. 由于 (8) 是凹规划 ,由最优化理论可知 ,它比较容易求解. 下面讨论需求函数为加函数 D ( p) =α( p) +ε2 ,库存 缺货损失费用函数为 H( y) = hy + + by - 时 (8) 和 (3) 的最优解的计算. 这时 R ( d , x) = p ( d) d + p ( d) E[ min (ε2 , x - d) ] - cx - E[ H( x - d - ε2 ) ] = p ( d) d - cx - h ( x - d) + ( p ( d) + h + b) S ( x - d) 其中 S ( z) = E[min (ε2 , z) ] = z - ∫z - ∞ F(ξ) dξ, F (ξ) 是ε2 的累积分布函数. (8) 的最优解 ( d0 , x0 ) 满足下 列方程组 解之得 d0 满足方程 p′( d) d + p ( d) + h + p′( d) S ( x - d) - ( p ( d) + h + b) S′( x - d) = 0 - c - h + ( p ( d) + h + b) S′( x - d) = 0. x0 = d0 + F- 1 p ( d0 ) - c + b p ( d0 ) + h + b (9) p′( d) d + p ( d) + p′( d) F- 1 p ( d) - c + b p ( d) + h + b - 1 - c - p′( d)∫F - ∞ p( d) - c+ b p( d) + h+ b F(ξ) dξ = 0. (10) 　　于是我们得到求解 (3) 的算法如下 : 算法 : Step 1 　由 (9) , (10) 求得 ( d0 , x0 ) . 若 d0 ∈[ d , Step 2 　若 d0 < d ,则 d = d , x = d + F - 1 , x ) = ( d0 , x0 ) ;否则 ,转 step 2 ; d ] ,则 ( d p ( d p ( d ) - c + b ) + h + b ; 若 d0 > d ,则 d = d , x = d + F - 1 p ( d p ( d ) - c + b ) + h + b . 下面通过数值例子来研究我们的模型. 考虑下列需求函数 : D ( p) = (α- βp)ε1 +ε2 ,ε1～ N (1 ,σ1 )ε2 ～ 93) . 因 93. 否则 , N (0 ,σ2 ) . 其他参数设置如下 :α= 100 ,β= 2 , h = 20 , b = c = 5 ,σ1 = 1 ,σ2 = 3. 则 ( d0 , x0 ) = (24 此 ,若 d0 ∈[ d , 按算法 step 2 计算最优定价和最优订货量. d ] ,则 (3) 的最优解就是 ( d0 , x0 ) . 最优定价为 p 69 ,最优订货量为 x 62 ,30 = 30 = 37 我们考虑订货量对价格和收益的影响. 图 1 是定价和收益与订货量的关系. 由图 1 可以看出 ,定价是订货量的减函数 ,收益是订货量的凹函数 ,有唯一最大值点. 这就说明前面几 节的结论的正确性. 下面考察ε1 和ε2 的方差对优订货量 ,最优定价和收益的影响. 表 1 给出了ε2 的方差 σ2 的作用. 由表 1 ,我们可以看出 ,随着σ2 的增加 ,定价有下降趋势 ,订货量增加 ,收益减少. 但总的说来 ,影响不大. 这主要 是ε2 与需求的均值是加的关系. 价格的调整不影响需求的不确定性. 表 2 给出ε1 的方差σ1 的作用. 由表 2 可知 ,随着σ1 的增加 ,定价上升 ,订货量和收益函数急速下降. 这是因为ε1 与需求均值是乘的关系 ,需求的增加 ,同时也增加需求的不确定性. 为了降低不确定性 ,增加 定价 ,降低需求的均值. 因此在定价时 ,同时要考虑需求量和需求的不确定性. © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    2 2 62 Π 系统工程理论与实践 2008 年 9 月 　 图 1 　定价和收益与订货量的关系 表 1 　σ2 对优订货量 ,最优定价和收益的影响 表 2 　σ1 对优订货量 ,最优定价和收益的影响 0 σ2 价格 5 27 订货量 45 0 收益 1006 9 0 5 27 45 996 46 11 5 1 27 45 986 42 25 2 3 27 45 944 25 80 5 5 27 45 903 01 97 9 σ1 价格 订货量 收益 0 5 27 0 45 9 1006 0 5 31 39 567 42 00 32 1 37 31 211 98 25 77 3 50 0 0 5 50 0 0 7 　结论 本文研究单周期联合定价与库存控制问题 ,我们引进了一个新的概念 :销售弹性. 利用这一概念 ,我们 对一般的需求函数得到了最优定价和最优订货量存在性和唯一性以及最优定价是订货量的减函数. 在一 定的条件下 ,我们还得到了最优订货量是最优定价的减函数 ,推广了现有文献的相关结论. 我们还通过数 值例子来研究订货量 ,以及随机项的方差的影响. 致谢 　感谢审稿人和编辑老师提出宝贵的意见 ,这些意见帮助我们大大提高了本文的质量. 参考文献 : [ 1 ] 　Whitin T M. Inventory control and price theory[J ]. Management Science ,1955 ,2 :61 - 80. [ 2 ] 　Mills E S. Uncertainty and price theory[J ]. Quartly Journal of Economics ,1959 ,73 :116 - 130. [ 3 ] 　Mills E S. Price ,Output and Inventory Policy[M].John Wiley ,NewYork ,1962. [ 4 ] 　Karlin S ,Carr C R. ,Prices and optimal inventory policy[ C] Arrow K, Karlin S ,Scarf H ,et al. Studies in Applied Probability and Management Science , Stanford University Press ,Stanford ,CA ,1962. [ 5 ] 　Young L. Price ,inventory and structure of uncertain demand[J ]. New Zealand Operation Research ,1978 , 6 :157 - 177. [ 6 ] 　Lau A H ,Lau H. The newsboy problem with price dependent demand distribution[J ]. IIE Transactions ,1988 ,20 :168 - 175. [ 7 ] 　Polatoglu L H. Optimal order quantity and pricing decisions in single period inventory systems [J ]. International Journal of Production Economics ,1991 , 23 :175 - 185. [ 8 ] 　Petruzzi N ,Dada M. Pricing and the newsvendor problem :A review with extensions[J ]. Operations Research ,1999 ,47 :183 - 194. [ 9 ] 　Thomas L. Price [10 ] 　Thowsen G T. A dynamic nonstationary inventory problem for price production decisions with deterministic demand[J ]. Management Science ,1970 , 16 :747 - 750. quantity setting firm[J ]. Naval Research Logistics Quarterly , 1978 ,22 :461 - 476. [11 ] 　Federgruen A ,Heching A. Combined pricing and inventory control under uncertainty[J ]. Operations Research , 1999 ,47 :454 - 475. [ 12 ] 　Chen X ,Simchi Levi D. Coordinating inventory control and pricing strategies with random demand and fixed ordering cost :The finite horizon case[J ]. Operations Research ,2004 ,52 :887 - 896. © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
    1 1 h h 3 1 3 3 3 3 h 第 9 期 一般需求函数下报童模型的定价与库存控制 72 [13 ] 　Chan L D ,Max Shen Z J ,Simchi Levi D ,et al. Coordination of pricing and inventory control decision :A survey and classification [ R]. Working Paper ,Georgia Institute of Technology ,Atlanta ,GA ,2003. [14 ] 　Yano C A , Gilbert S M. Coordinated pricing and production Managing Business Interfaces : Marketing, Engineering and Manufacturing Perspectives ,A. Chakravarty and J . Eliashberg (eds. ) , Kluwer Academic Publishers , procurement decisions :A review[ C] 2003. [15 ] 　Porteus E L. Stochastic inventory theory[ C ] Heyman D P ,Sobel M J ,et al. Handbook in Operation Research and Management Sciences ,Vol. 2 ,Elsevier Science Publishers B. V. ,Amsterdam ,The Netherlands ,1990. [16 ] 　Barlow R E ,Proschan F. Mathematical Theory of Reliability[M]. SIAM Classics in Applied Mathematics Series ,1996. [17 ] 　Kocabiyikoglu A ,Popescu I. Joint pricing and revenue management with general stochastic demand [ R ]. Working Paper ,Decision Sciences Area , INSEAD ,France ,2003. [18 ] 　Topkis D M. Supermodularity and Complementarity[M]. Princeton University ,1998. [19 ] 　Ross S. Stochastic Processes[M]. Wiley ,New York , 1996. 附录 : 1 的证明 命题 3 证明 　1) 由于两个凹函数的极小函数是凹函数. 因此 ,我们容易证明 r ( d , x) 是 x 的凹函数. 由于 G ( d , x) 是 x , d 的联合凸函数 ,对于给定的 d , G( d , x) 是 x 的凸函数. 因此 , R ( d , x) 是 x 的凹函数. 这样 , 最优订货量 x ( d) 可由一阶条件唯一确定 ,即 , x ( d) 满足 (5) . 2) 给定 x ,由 π( d) = p ( d) ·d 是凹函数可知 , r( d , x) 是 d 的凹函数. 再由 G( d , x) 是 d 的凸函数 ,我 们知道 R ( d , x) 是 d 的凹函数. 因此 , d ( x) 可由一阶条件确定 ,即 d ( x) 满足 　　注意到 Rd ( d , x) = 0. Rd ( d , x) =∫x =∫x 0 0 [ p′( d) q ( d , v) + p ( d) q′d ( d , v) ] dv - Gd ( d , x) - p′( d) q ( d , v) (ε( d , v) - 1) dv - Gd ( d , x) 故 2) 成立. 命题 3 证明 　令 4 的证明 R d ( y) =∫y 0 Q ( d , v) dv - Gd ( d , y) 其中 Q ( d , x) = - p′( d) q ( d , x) (ε( d , x) - 1) 是 x 的拟凸函数 ,这是因为ε( d , x) 是 x 的增函数 , - p′( d) q ( d , x) ≥0. 由于 Gd ( d , y) = - E[ H′( y - dε1 - ε2 )ε1 ] ,ε1 ∈(0 , ∞) 且 H ( x) 是凸函数 , H′( x) 是 x 的增函 数 ,因此 , Gd ( d , y) 是 y 的减函数. 所以 , R d ( y) 是拟凸函数. 下面证明 Gd ( d ,0) ≥0. 由于 H ( y) 在 x = 0 处 d) ,故 P( H′(0 - dε1 - ε1 ) ≤0) = 1. 因 取最小值 ,故 H′( x) ≤0 , 此 , Gd ( d ,0) = - E( H′(0 - dε1 - ε2 )ε1 ) ≥0. . 从而 R x < 0. 由于 P( dε1 +ε2 ≥0) = 1 , d (0) = - Gd ( d ,0) ≤0. 由引理 3 2 可知结论成立. d ∈( d , 同样 ,由ε( d , x) 是 d 的增函数可知 , Q1 ( d , x) = - p′( d) q ( d , x) (ε( d , x) - 1) 是 d 拟凸函数 ,则 d ∫ y Q1 ( v , x) dv 是拟凸函数. 与第一部分一样 ,我们可证 Gx ( d , x) 是 d 的减函数 ,且 Gx ( d , x) ≤0. 从而 R d x ( y) =∫ y Q1 ( v , x) dv - Gx ( y , x) x ( d) ≥0 ,由引理 3 3 可得结论. 是拟凸的并且满足 R 1 的证明 命题 4 证明 　我们只需证明 R ( d , x) 的 Hessian 矩阵是负半定的. 由命题 3 1 ,我们只需证明 Hessian 矩阵的 行列式 Δ( d , x) 是非负的. R ( d , x) 的二阶导数如下 : © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
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