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2003年天津高考文科数学真题及答案.doc
3
11
88
44
44
22
22
7
2
5
24247
7
233
AB
AC
, x (0,)
, x (0,)
34612
121
352
.
4
2
21
2
1
2
2
1
2
2
( 1 ,
(0,0,2). BD1
2
1
1
2
2003年天津高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
S=4πR2
如果事件 A、B 相互独立，那么
其中 R 表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B）
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P.
V
那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
概
率
P (k )
n
C
n
k
k
P
(1
n k
P)
R
4
3
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．不等式 4x
2
x
x 的解集是
A．（0，2）
C．（2，4）
B．（2，+∞）
D．（－∞，0）∪（2，+∞）
2．抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为
B．－
1
8
C．8
D．－8
A.
1
8
3．
1 3i
( 3 i)2
（
）
（
）
（
）
A．
1
4
i
3
4
1
3
B．
i
3
1
C．
i
4
4
2
2
D．
1
2
i
3
2
4. 已知 x
,0), cos x
2
(
A.
7
24
4
5
B．－
,则 tan 2x
（
）
7
24
24
7
C．
24
7
D．－
5．等差数列{an }中,已知a1
1
, a2
3
a5
4, an
33,则n为
（
）
A．48
B．49
C．50
D．51
6. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 F1，F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（
）
A.
3
7. 设函数 f (x)
2
1,
x 2
A．（－1，1）
2）∪（0，+∞）
B．
x
6
2
C．
6
3
D．
3
3
0,
1, x
若 f (x0 )
1 ，则 x0 的取值范围是
（
）
x
0
B．（－1，+∞） C．（－∞，－
D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
8.O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
OA
OP
(
A．外心
9. 函数 y
ln
A. y e
x
x
1
x
1
x
e
1
AC
| AC
AB
| AB
|
B．内心
1
, x (1,
[0,
). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （
）
C．重心
D．垂心
) 的反函数为
（
）
, x (0,
)
B. y e
x
1
, x
(0,
)
x
e
1
C. y e
x
1
, x (
,0)
D. y e
x
1
, x
(
,0)
x
e
1
x
e
1
10. 棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A.
a3
3
B．
a3
4
C．
a3
6
D．
a3
12
11．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中
点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的
点 P2，P3 和 P4（入射角等于反射角）。若 P4 与 P0 重合，则 tanθ=
（ ）
A．
1
3
B．
2
5
C．
1
2
D.1
12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （
2
）
A．3π
B．4π
C． 3 3
D．6π
第Ⅱ卷（非选择题
共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上.
13． (x
2
1
2x
9
)
9
展开式中 x
的系数是
.
14. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的
产品质量。现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
，
，
辆。
15. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2.”拓
展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以
得出的正确结论是：“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则
16. 将 3 种作物种植在如图 5 块试验田里，每块种植一
种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植
方法共有
种.（以数字答）
”。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1 中点，点 P 为 BD1 中点.
（1） 证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线；
（2） 求点 D1 到面 BDE 的距离.
18．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C1：y=x2+2x 和 C：y=－x2+a，如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线，称 l 是 C1
和 C2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a 取什么值时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若 C1 和 C2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
19．（本题满分 12 分） 已知数列
{an
}满足a1
1,
an
1
n 1
3
a
n
(n
2).
（Ⅰ）求 a2 ,
a3 ;
（Ⅱ）证明 an
n
3
2
1
.
20．（本小题满分 12 分）
在三种产品，合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到 0.001）
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x)
于点
sin( x
)(
0,0
) 是 R 上的偶函数，其图象关
,0) 对称，且在区
[0, ] 上是单调函数.求 和 的值.
2
3
M (
间
4
22．（本小题满分 14 分）
已知常数 a>0，向量 c=（0，a），i=（1，0），经过原点 O 以 c+λi 为方向向量的直线
与经过定点 A（0，a）以 i－2λc 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ∈R.试问：是
否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，
说明理由.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。
1．C
2．B
3．B
4．D
5．C
6．B
7．D
8．B
9．B
10．C
11．C
12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。
13．
21
2
14．6，30，10
15．S2
ABC+ S2
△
△
ACD + S2
ADB = S2
16．42
BCD
△
△
三、解答题
17. 本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分 12
分。
（1）证法一：取 BD 中点 M.连结 MC，FM .
∵F 为 BD1 中点 ，
∴FM∥D1D 且 FM=
1
2
D1D .
又 EC
1
2
CC1 且 EC⊥MC ，∴四边形 EFMC 是矩形
∴EF⊥CC1. 又 CM⊥面 DBD1 .∴EF⊥面 DBD1 .
∵BD1 面 DBD1 . ∴EF⊥BD1 . 故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线.
证法二：建立如图的坐标系，得
B（0，1，0），D1（1，0，2），F（
1
2
1
， ，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.
2
EF
1
1
(
,0),
2
CC1
,
2
(0,0,2).
(1,
1,2).
BD1
EF
CC1
0, BD1
EF
0,
即 EF⊥CC1，EF⊥BD1 .
故 EF 是为 BD1 与 CC1 的公垂线.
（Ⅱ）解：连结 ED1，有 VE－DBD1=VD1－DBE .
由（Ⅰ）知 EF⊥面 DBD1 ，设点 D1 到面 BDE 的距离为 d.
则S DBE
S DBD
EF. AA1
2, AB
1.
d
1
BD
BE
ED 2, EF
1
3
2
2
2)
S
DBE
2
(
2
,
S
2
1
2
2
d
DBD1
2
3
2
2
2
2.
2
2 3
.
3
3
2
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