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2017年广东暨南大学高等代数考研真题.doc

发布时间：2022-09-15 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.19M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    三、（10分）求多项式与
    2017 年广东暨南大学高等代数考研真题 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向：各方向 考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1、已知向量 1   0,0,1 ， 2    1,0 2 1, 2    ， 3     1,0 2 ,  1 2    是欧氏空间 3R 的一组 标准正交基,则向量 2,2,1  在这组基下的坐标为 2、设三维线性空间 V 上的线性变换在基 ,  1 3 , 2 。 1 2 1      1  0 2 2   1   1  ，则在 下的矩阵为 基 ,  1 2 , 3 下的矩阵为 。 3、4 阶方阵       1111 1110 1100 1000       的 Jordan 标准形是 。 4.在欧氏空间 3R 中，已知   1,1,2  ，   1,2,1  ，则与的夹角为 （内 积按通常的定义）。 5. 已知矩阵 A ， B 均可逆， X  0 B    A 0    ，则 1X 。 6.当实数 t 时，多项式 3 x  tx 2 有重根。 7.设 A 为 3 阶矩阵, A  1 2 , 求 (2 ) A 1   5 * A = 。
    8、取值 时，齐次线性方程组 2 ) (1 x x      1 2  (3 2 ) x x      2 1   ) (1 x x x     3 2 1 4 0 x  3 0 x  3 0  有非零解。 9.矩阵方程 X    1 3 2 4        3 2 6 5    , 那么 X  。 10、实二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  T 2 X AX ax 1   2 x 2 2  2 2 x 3  2 bx x 1 3 ( b  ，其中二次型的矩 0) 阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12，则 a = ，b = 。 二、（10 分）计算行列式 D n  x x a 1  a 1  a 1 2 a a   a 2 2     x n a a n   a 。 n 三、（10 分）求多项式 ( ) f x  3 x  2 x  2 x  与 4 ( ) g x  3 x  2 2 x  4 x 1  的最大公因式。 四、（15 分）设是线性空间V 的线性变换且  2 。令  V V 1 ， V 2  01 。 证明: VV 1 V  2 且对每个 1V 有     。 五、（15 分）设 A       423 202 324      ，求正交矩阵T ，使得 TT AT 是对角矩阵。
    六 、（ 10 分 ） 设 A 为 方 阵 ， ( g  是 A 的 最 小 多 项 式 ， ( f  为 任 意 多 项 式 。 ) ) 证明： ( f A 可逆 (  ) f ( g  ), ( )) 1  。 七、（15 分）设线性方程组 x   1  x  1  x  1    x 2 x  x 2 x  3 x  2 3 x   3 3   2  2  讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导 出组的基础解系表示其全部解。 八、（15 分）设 A 为 n 级实对称矩阵， A 2 A ， A 的秩等于 r （ r 0 n ）。 （1）证明：存在正交矩阵T ，使 T 1  AT  rE 0    0 0    其中 rE 是 r 级单位矩阵. （2）计算 A 2 nE 。 九、(15 分) 设二次型  , xxxf 3 , 2 1   2 2 x 1  x 2 2  4 xx 21  4 xx 32 ,求出非退化线性变换将上述 二次型替换成标准形。 十. (15 分)V 为数域 F 上四维向量空间，  4  7,3,1,1  ，V 的子空间 V  1 与维数。 1  2  ,L ， 1  0,1,2,1   1,1,1,1 ， 2 ，  3  1,0,1,2  ， V  2  4 ,L 3 ，试求 1 VV  和 2 V  的基 1 V 2
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