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2019年湖北高考理科数学真题及答案.doc
2019 年湖北高考理科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合
{
M x
4
x
}
2
N
，
{
x x
2
6 0
x
，则 M N =
A．
{
x
4
x
3
B．
{x
4
x
2
C．
{
x
2
x
2
D．
{ 2
x
x
3
2．设复数 z满足
z
=1i
，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．
(
x
+1
)
2
2
y
1
B．
(
x
1)
2
2
y
1
C．
2
x
(
y
2
1)
1
D．
2
x
( +1)
y
2
1
3．已知
a
log 0.2
b
，
2
2
0.2
c
，
0.2
0.3
，则
A． a b c
B． a
c b
C． c
a b
D．b c
a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1
2
（ 5 1
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽
2
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，
2
头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190cm
的图像大致为
]
,
5．函数 f(x)=
sin
x
cos
x
x
2
x
在[
A．
C．
B．
D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为
阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的
概率是
B．
B．
11
32
| 2|
a
π
3
C．
21
32
D．
11
16
|
b ，且 (
)a b b，则 a与 b的夹角为
C．
2π
3
D．
5π
6
的程序框图，图中空白框中应填入
A．
5
16
7．已知非零向量 a，b满足|
A．
π
6
8．如图是求
2
1
1
12
2
A．A=
1
2 A
B．A=
2
1
A
C．A=
9．记 nS 为等差数列{ }na 的前 n项和．已知 4
S
0
，
a
5
1
1 2A
5
，则
D．A=
1
1
2A
A．
na
2
n
5
B．
na
3
n
10
C．
nS
22
n
8
n
D．
nS
21
n
2
2
n
F
10．已知椭圆 C的焦点为 1
(
1,0
F
)， (
2
1,0
)，过 F2 的直线与 C交于 A，B两点．若
|
AF
2
| 2 |
F B
2
|
，
|
AB
|
|
BF
1
|
，则 C的方程为
A．
2
x
2
2
y
1
B．
2
x
3
2
y
2
1
C．
2
x
4
2
y
3
1
D．
2
x
5
2
y
4
1
11．关于函数 ( )
f x
sin |
x
|
| sin
x
|
有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（
， ）单调递增
2
③f(x)在[
有 4 个零点
]
,
④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．已知三棱锥 P−ABC的四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别
是 PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球 O的体积为
A． 68
B． 64
C． 62
D． 6
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线
y
23(
x
x
)e x
在点 (0 )0， 处的切线方程为____________．
14．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若
a
1
1
3
，
a
2
4
a
6
，则 S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜
的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________．
16．已知双曲线 C：
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C的两条渐近线分
0)
别交于 A，B两点．若 1F A AB
F B F B
2
， 1
0
，则 C的离心率为____________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)
ABC△
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设
(sin
B
sin )
C
2
sin
2
A
sin sin
B
C
．
（1）求 A；
（2）若 2
18．（12 分）
a b
，求 sinC．
c
2
如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是 BC，BB1，A1D
的中点．
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求二面角 A−MA1−N的正弦值．
19．（12 分）
已知抛物线 C：y2=3x的焦点为 F，斜率为
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程；
（2）若
AP
3
PB
，求|AB|．
3
2
的直线 l与 C的交点为 A，B，与 x轴的交点为 P．
20．（12 分）
已知函数 ( )
f x
sin
x
ln(1
， ( )
f x 为 ( )
f x 的导数．证明：
x
)
（1） ( )
f x 在区间 ( 1,
2
)
存在唯一极大值点；
（2） ( )
f x 有且仅有 2 个零点．
21．（12 分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案
如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以
乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X．
（1）求 X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， (
ip i 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认
0,1,
,8)
为甲药比乙药更有效”的概率，则 0
p ， 8
p ，
0
1
p
i
ap
i
1
bp
i
cp
i
1
(
i ，其中
1,2,
,7)
a P X
(
，
1)
b P X
(
，
0)
c P X
(
．假设
1)
0.5 ，
0.8 ．
(i)证明： 1
p
i
{
p
i
}
(
i
0,1,2,
为等比数列；
,7)
(ii)求 4p ，并根据 4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为
，
（t为参数）．以坐标原点 O为极点，x轴的
x
y
1
1
1
2
2
2
t
t
4
t
t
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 2 cos
3 sin
11 0
．
（1）求 C和 l的直角坐标方程；
（2）求 C上的点到 l距离的最小值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1．证明：
2
a
2
b
2
；
c
1
1
a
b
(
a b
3
)
（1）
（2）
1
c
(
b c
)
3
(
c a
)
3
24
．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
理科数学•参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．B
8．A
9．A
10．B
11．C
12．D
二、填空题
13．y=3x
三、解答题
14．
121
3
15．0.18
16．2
17．解：（1）由已知得 2
sin
B
sin
2
C
sin
2
A
sin sin
B C
，故由正弦定理得 2
b
2
c
2
a
．
bc
由余弦定理得
cos
A
2
b
2
a
2
c
2
bc
．
1
2
因为 0
A
180
，所以
A
．
60
（2）由（1）知 120
B
C
，由题设及正弦定理得
2 sin
A
sin 120
C
2sin
C
，
即
6
2
3
2
cos
C
1
2
sin
C
2sin
C
，可得
cos
C
60
2
2
．
由于 0
C
120
，所以
sin
C
60
2
2
，故
sin
C
sin
C
sin
C
60
60
60 cos60
cos
C
60 sin 60
6
4
2
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=
1
2
B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND=
1
2
A1D．
由题设知A1B1 DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN 平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点， DA
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则
， A1(2 ， 0 ， 4) ， (1, 3,2)
M
， (1,0,2)
N
A A
， 1
(0,0, 4)
A M
， 1
( 1, 3, 2)
，
(2,0,0)
A
A N
1
( 1,0, 2)
MN
，
(0,
3,0)
．
设
m
( ,
, )
x y z
为平面A1MA的法向量，则
A M
1
A A
1
0
0
m
m
，
所以
z
x
4
3
y
0
．
2
z
0
，
可取
m
( 3,1,0)
．
设 ( ,
n
, )
p q r
为平面A1MN的法向量，则
所以
3
q
2
r
p
0
，
可取 (2,0, 1)
0
．
n
．
MN
A N
1
n
n
0
，
0
．
于是
cos
m n
,
m n
m n
‖
|
|
2 3
2
5
15
5
，
所以二面角
A MA N
1
的正弦值为 10
5
．
19．解：设直线
:
l y
3
2
,
x t A x y B x y
2
,
,
1
1
2
,
．
（1）由题设得
F
3 ,0
4
，故
|
AF
|
|
BF
|
x
1
x
2
x
，由题设可得 1
3
2
x
2
．
5
2
由
x t
3
y
2
3
y
2
x
，可得 2
x
9
12(
t
1)
x
4
t
2
x
，则 1
0
x
2
1)
12(
t
9
．
从而
1)
12(
t
9
，得
5
2
t ．
7
8
所以l 的方程为
y
x
3
2
．
7
8
（2）由
AP
PB
3
y
可得 1
．
23
y
由
x t
3
y
2
3
y
2
x
，可得 2 2
y
y
2
t
．
0
y
所以 1
y
2
y
．从而 2
2
3
y
2
y
，故 2
2
11,
y
．
3
x
代入C 的方程得 1
3,
x
2
．
1
3
故
|
|
AB
4 13
3
．
20．解：（1）设 ( )
g x
( )
f ' x
，则
( )
g x
cos
x
1
1
x
，
'
g x
(
)
sin
x
1
x
2
)
(1
.
1,
2
时， ( )
g' x 单调递减，而 (0) 0,
g'
g'
(
2
，可得 ( )
) 0
g' x 在 1,
2
有唯一零点，
x
当
设为.
则当 ( 1,
)
x
时， ( ) 0
g' x ；当
x
,
2
时， ( ) 0
g' x .
所以 ( )g x 在 ( 1,
)
单调递增，在 ,
2
单调递减，故 ( )g x 在 1,
2
存在唯一极大值点，即 ( )
f ' x
在 1,
2
存在唯一极大值点.
（2） ( )
f x 的定义域为 ( 1,
)
.
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