2020年天津高考数学试题及答案.doc-资料库

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2020 年天津高考数学试题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：第Ⅰ卷 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．参考公式： ·如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 ( P A B  )  ( ( P A P B  ) ) ． ·如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么 ( P AB )  ( ( P A P B ) ) ． ·球的表面积公式 S  2 4π R ，其中 R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集 U     { 3, 2, 1,0,1,2,3} ，集合 { 1,0,1,2},   A B { 3,0,2,3}   ，则  A ∩ ð U  B  A．{ 3,3}  B．{0,2} C．{ 1,1} D．{ 3, 2, 1,1,3}    2．设 a  R ，则“ 1a  ”是“ 2a a ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数 y  4 2 x  x 1 的图象大致为 A B

C D 4．从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为 9 组：[5.31,5.33),[5.33,5.35), , [5.45,5.47),[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47) 内的个数为 A．10 B．18 C．20 D．36 5．若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A．12π B． 24π C．36π D．144π 6．设 a  0.7 3 , b  1 ( ) 3 0.8  , c  log 0.7 0.8 ，则 , ,a b c 的大小关系为 A． a b c   B．b   a c C．b c   a D． c   a b 7．设双曲线C 的方程为 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  ，过抛物线 2 y 0) x 的焦点和点 (0, )b 的直线为 l ．若C 的 4

一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线C 的方程为 A． 2 x 4 2 y 4  1 B． 2 x  2 y 4  1 C． 2 x 4 2 y  1 D． 2 x 2 y  1 8．已知函数 ( ) f x  sin( x  ．给出下列结论： ) π 3 ① ( ) f x 的最小正周期为 2π ； π( 2 f x 的最大值；是 ( ) ② ) f ③把函数 sin  y x 的图象上所有点向左平移 π 3 个单位长度，可得到函数 y  ( ) f x 的图象．其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 9．已知函数 ( ) f x     3, x x , x x    0, 0. 若函数 ( ) g x  ( ) f x  2 kx  2 ( x k R 恰有 4 个零点，则 k 的取值范围是 ) A． ( C．( , )   1 2 ,0)    (2 2,  ) (0,2 2) B． ( D． ( ) 1 2 ,0)     , (0,2 2)  (2 2,  ) 第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 11 小题，共 105 分．二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10．i 是虚数单位，复数 11．在 ( x  2 2 x 8 i  2 i   _________． 5 ) 的展开式中， 2x 的系数是_________． 12．已知直线 x  3 y 8 0   和圆 2 x  2 y  r 2 ( r  相交于 ,A B 两点．若| 0) AB  ，则 r 的值为 | 6 _________． 13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知 0, b a  ，且 0 ab  ，则 1 1 2 a  1 2 b  8 a b  的最小值为_________．

15．如图，在四边形 ABCD 中，   B 60 ,  AB  ， 3 BC  ，且的值为_________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点，且|  AD ,     BC AD AB   ，则 DM DN  6  | 1 MN    3 2 ，则实数 的最小值为_________．三．解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 14 分）在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 2 2,  a b  5, c  13 ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值； π 4 17．（本小题满分 15 分）（Ⅲ）求 sin(2 ) A  的值．如图，在三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中， 1CC  平面 ABC AC BC AC BC   , ,  ， 1 CC  ，点 ,D E 2 3 分别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 AD  ,1 CE  2 , M 为棱 1 1A B 的中点．（Ⅰ）求证： 1 C M B D 1 ；（Ⅱ）求二面角 B B E D  的正弦值；  1 （Ⅲ）求直线 AB 与平面 1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分 15 分）

已知椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( a 点．   的一个顶点为 (0, 3) A  ，右焦点为 F ，且| 0) b OA OF | | | ，其中O 为原（Ⅰ）求椭圆的方程；  （Ⅱ）已知点C 满足3OC OF  ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程． 19．（本小题满分 15 分）已知 na 为等差数列， nb 为等比数列， a 1  b 1  1, a 5  5  a 4  a 3  , b 5  4  b 4  ． b 3  （Ⅰ）求 na 和 nb 的通项公式；（Ⅱ）记 na 的前 n 项和为 nS ，求证： S S n n  2 2 S  1 n  n * N ；  （Ⅲ）对任意的正整数 n ，设 c n       2  b n , , n 为奇数  3 a  n a a n n  2 1  , . n 为偶数 a n b n 1  求数列 nc 的前 2n 项和． 20．（本小题满分 16 分）已知函数 ( ) f x  3 x  k ln ( x k （Ⅰ）当 6 k  时，  R ， ( ) f x 为 ( ) f x 的导函数． ) （i）求曲线 y  ( ) f x 在点(1, (1)) f 处的切线方程；（ii）求函数 ( ) g x  ( ) f x   ( ) f x  的单调区间和极值； 9 x （Ⅱ）当 k   时，求证：对任意的 1 , x x   ，且 1 x [1, 3 ) 2 x ，有 2 f    x 1  x 2    f 2   f x 1 x 1    f x x 2 2  ．

一．选择题：每小题 5 分，满分 45 分． 1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D 参考解答二．填空题：每小题 5 分，满分 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10．3 2i 11．10 12．5 13． 1 6 ； 2 3 14．4 15． 1 6 ； 13 2 三．解答题 16．满分 14 分．（Ⅰ）解：在 ABC△ 中，由余弦定理及 2 2,  a 因为 C  (0,π) ，所以 C  ． π 4 （Ⅱ）解：在 ABC△ 中，由正弦定理及 b  5, c  13 ，有 cos C  2 a 2 c 2 b   2 ab  2 2 ．又 C  π , 4 a  2 2, c  13 ，可得 sin A  C a sin c  2 13 13 ．（Ⅲ）解：由 a c 及 sin A  ，可得 cos A  进而 sin 2 A  2sin cos A A  A  2cos 2 A 1   ． 2 13 13 ,cos2 12 13 2 A  3 13 13 ， 1 sin  5 13 2 2  所以， sin(2 A  π 4 )  sin 2 cos A π 4  cos 2 sin A π 4  17．满分 15 分． 12 13  5 13  2 2  17 2 26 ．依题意，以C 为原点，分别以 C (0,0,0), （如图），可得 M (1,1,3) ．    CA CB CC 1 , (2,0,0), A B , (0,2,0), 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 (0,0,2) (2,0,3), (0,2,3), (2,0,1), D C (0,0,3) 1 A ， 1 B 1 E ，（Ⅰ）证明：依题意， 1  C M  (1,1,0)  B D  ， 1 (2, 2, 2)     C M B D 1 ，从而 1     2 2 0 0 ，所以

C M B D 1 1 ．（Ⅱ）解：依题意，  CA  (2,0,0)  是平面 1BB E 的一个法向量， 1 EB  (0,2,1) ，  ED  (2,0, 1)  ．设 n ( , , ) x y z 为平面 1DB E 的法向量，则  EB 1  ED   n   n     0, 0, 即 2 2 y x        z z 0, 0. 因此有     , CA cos  n    CA   || C A | n n |  6 6  , CA sin n   ，于是 30 6 ．不妨设 1x  ，可得 (1, 1,2) n   ．所以，二面角 B B E D  的正弦值为  1 30 6 ．  AB   （Ⅲ）解：依题意，   n AB  || n AB  AB cos n  , |   | 3 3 ． ( 2,2,0) ．由（Ⅱ）知 (1, 1,2) n   为平面 1DB E 的一个法向量，于是所以，直线 AB 与平面 1DB E 所成角的正弦值为 3 3 ． 18．满分 15 分．（Ⅰ）解：由已知可得 3b  ．记半焦距为 c ，由| 2 18 a  ．所以，椭圆的方程为 2 x 18 2 y 9  ． 1 OF OA | | | 可得 c b  ．又由 2 a 3  2 b 2  ，可得 c （Ⅱ）解：因为直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，所以 AB CP ．依题意，直线 AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线 AB 的方程为 y kx 3 y   ．由方程组 2 x 18     kx  2 y 9  3,  1, 消去 y ，可得     2 2 k   1 2 x  12 kx 12 2 k k  6 k , 1 2 k 2 2 2  3  1    ，解得 0 x  ，或 0 x  12 2 2 k k  1 .依题意，可得点 B 的坐标为．因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为 (0, 3) ，所以点 P 的坐标为    6 k 2 k  2 3  2 k  1    , 1 2   ．由3OC OF ，得点C 的坐标为 (1,0) ，故直线 CP 的斜率为，即 3 6 k  1 2 2 k ．又因为 AB CP ，所以 k  3 6  k  1 2 2 k 1   ，整理得 22 k 3 k k  ， 1 2 0 1  1 2 3  2 k  6 k 2 2 k  1 0   ，解得 1 

或 1k  ．所以，直线 AB 的方程为 y x 1 2  ，或 3 y x  ． 3 19．满分 15 分．（Ⅰ）解：设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q ．由 1 1 a  ， a 5  5  a 4  ，可 a 3  得 1 d  ，从而 na 的通项公式为 na n ．由 b 1  1, b 5  4  b 4  ，又 0 b 3 q  ，可得 2 q  4 q   ， 4 0 解得 2 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 q  ，从而 nb 的通项公式为 nb ( 1) n n  2 n    2 S  1 n S S n 1)(  n  2  n n S 1 ( 2 从而  1)( n  2)( n 2 nS  ，   1 3) 1 ( n 4 2  1)  n  ， 2 2 12n  ．，故 nS S n   2 1 ( n n 4 S S n 2  n 2) 0  ，所以 2 S  1 n ．（Ⅲ）解：当 n 为奇数时， c n   c n  a n b n 1   1  1 n  n 2 ． 2  b n 3 a  n a a n n  2  1  (3 n  ( n n n 2)2 2)   n 2 n  1  2  1  n 2 n ；当 n 为偶数时，对任意的正整数 n ，有 n  k 1  c 2 k 1   n  k 1     2 2 k 2 k  2 2  1 2 k k  2 1      和 n  k 1  c 2 k  n  k 1  1 2  k k 4   1 4 3 2 4  5 3 4    1 2  n n 4 ．由①得 1 4 n  k 1  c 2 k  1 2 4  3 3 4    2 3  n n 4  1  1  2 n n 4 ． 2 n 2 2 n  1 ① ②  1 ，由①②得 3 4 n  k 1  c 2 k   1 4 2 2 4    2 n 4  1  1  2 n n 4     2 4  1   1  1 n 4 1 4   1 4 1  1  2 n n 4 ，从而得 n  k 1  c 2 k   5 6 9 n  9 4  5 n ．因此， n 2 n   c k  k 1  k 1  c 2 k 1   n  k 1  c 2 k  4 n 2 n  1  6 n  9 4  5 n  4 9 ．所以，数列 nc 的前 2n 项和为 4 n 2 n  1  6 n  9 4  5 n  4 9 ． 20．满分 16 分．（Ⅰ）（i）解：当 6 k  时， ( ) f x  3 x  6ln x ，故  ( ) 3 f x  x 2  ．可得 (1) 1  ， (1) 9  ，所 f  f 6 x

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