第1页 / 共9页
第2页 / 共9页
第3页 / 共9页
第4页 / 共9页
第5页 / 共9页
第6页 / 共9页
第7页 / 共9页
第8页 / 共9页
具有饱和治疗率的SIQS传染病模型的后向分支 .pdf
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
具具具有有有饱饱饱和和和治治治疗疗疗率率率的的的SIQS传传传染染染病病病模模模型型型的的的后后后向向向分分分支支支
朱凌峰 , 李维德
( 兰州大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730000 ）
摘摘摘 要要要: 本文讨论了一类具有隔离项和饱和治疗率的传染病模
型的后向分支，其中饱和治疗率是一个描述延迟治疗效应的连
续可微函数。发现当患病延迟治疗效应参数增加时，系统会产
生后向分支。得到了系统平衡点存在且局部渐近稳定的阈值条
件，还给出了无病平衡点全局渐近稳定的充分条件。
关关关键键键词词词：：：SIQS传染病系统；饱和治疗率；后向分支；全局渐近
稳定
Backward bifurcation of an SIQS epidemic model with saturated treatment
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China
ZHU Ling-feng , LI Wei-de
Abstract: An epidemic model with quarantine and saturated treatment of infec-
tious individuals is proposed to understand the effect of delayed treatment when the
number of infected individuals is get large and the medical condition is limited.
It
is shown that a backward bifurcation will take place and there exist bistable en-
demic equilibria if the effect of the delayed treatment is strong. Furthermore, the
threshold condition for the endemic equilibria being locally asymptotically stable
and the sufficient condition for the disease-free equilibrium being globally asymp-
totically stable are obtained.
Keywords: epidemic model; saturated treatment; backward bifurcation; global
asymptotical stable
作作作者者者简简简介介介：：：朱凌峰(1985- )，男，湖北荆州人，硕士研究生，研究方向为数学生态
学，email：hubeizhulingfeng@126.com； 李维德(1967-)，男，甘肃武威人，兰州大学数学与
统计学院副教授，e-mail：weideli@lzu.edu.cn，通信联系人。
1
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
1 系系系统统统介介介绍绍绍
利用动力学方法建立传染病的数学模型，对研究某种传染病在某一地
区是否会蔓延持续下去而成为本地区的”地方病”，或者这种传染病终将消
除，具有重要意义。早在1927年，Kermark和Mokendrick首先利用动力学的
方法建立了传染病的数学模型，即所谓的KM仓室模型，还提出了区分疾病
流行与否的”阈值理论”。近20年来，国际上传染病动力学发展迅速，人们
建立了大量的传染病模型。
通常情况下，基本再生数是决定疾病流行与否的阈值。如果它小于1，
无病平衡点是全局稳定的且疾病灭绝，如果它大于1，地方病平衡点是全局
稳定的且疾病会持续[1−3]。在这种情况下，从无病平衡点到地方病平衡点引
起的分支是向前的。近些年来，由于不同的发生率、治疗率和年龄分层结
构等原因，使得传染病系统发生后向分支，目前讨论后向分支的文章也越
来越多[4−8]。
文献[4]讨论了具有双线性发生率和治疗率T(I)的SIR模型的后向分支；
文献[5]研究了具有饱和发生率和饱和治疗率的SIR模型的后向分支；文
献[6]讨论了具有饱和发生率和治疗率T(I)的SIR模型的后向分支；文献[7]讨
论了具有标准的发生率和治疗函数T(I)的SIR模型的后向分支；文献[8]讨论
了具有双线性发生率和饱和的治疗率的SIS模型的后向分支。其中：
rI 0 I I0
K I > I0
T(I) =
目前的文章都只是在SIS或者SIR传染病模型上研究后向分支，本文在
具有隔离项的传染病模型SIQS的基础上讨论后向分支。
本文以文献[10]中的模型(1)为基础，将总人口N(t)分成三个仓室：易感
者S(t))，染病者I(t)，隔离者Q(t)，考虑如下SIQS流行病传播模型：
dS (t)
dI(t)
dQ(t)
σI
1 + αI + γQ
dt = A − βS I − dS +
dt = βS I − (d + + w)I − σI
dt = wI − (d + + γ)Q
1 + αI
N(t) = S (t) + I(t) + Q(t)
2
(1)
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
其中A为总人口的常数输入率，并假设新生儿均是易感者；βS I为疾病
的发生率； σI
1+αI 为疾病的治疗率，σ为单位时间内疾病的最大治疗率，α为
延迟治疗效应参数；γ为隔离者的康复率；d为自然死亡率；为感染者
或隔离者的因病死亡率，w为单位时间内感染者向隔离者的转移率，假
设A, β, d, , α, γ, σ, w均为正常数。显然
dN(t)
dt = A − dN − (I + Q)，
d 。 根 据 系 统(1)的 生 物 学 意 义 ， 我 们 只 需 在 闭
d}内研究系统(1)，易证D为系统(1)的正
+|0 ≤ S + I + Q ≤ A
由 比 较 原 理 知 N(t) ≤ A
集D = {(S , I, Q) ∈ R3
向不变集。
文章第二节描述了系统(1)的平衡点的存在性以及分歧产生的条件；
第3节描述了系统(1)的平衡点局部渐近稳定的阈值条件；最后给出了无病平
衡点全局渐近稳定的充分条件以及相关讨论。
2 平平平衡衡衡点点点的的的存存存在在在性性性
显然，系统(1)总有一个相应于疾病消亡的无病平衡点E0( A
d , 0, 0, )，对于
系统(1)的地方病平衡点E(S , I, Q)：S , I和Q应满足:
A − βS I − dS +
βS I − (d + + w)I − σI
wI − (d + + γ)Q = 0
σI
1 + αI + γQ = 0
1 + αI = 0
(2)
由方程组(2)可知：S = d++w
化简得到:
β +
σ
β(1+αI) ，Q = w
d++γ I，代入到第一个方程中，
a0I2
+ a1I + a2 = 0
(3)
Aβ
其中：基本再生数R0 =
a0 = αβ(d + )(d + + w + γ) > 0，
a1 = β(d + )(d + + w + γ) + dα(d + + w)(d + + γ) − dα(d + + γ)(d + +
d(d++w+σ) ，系数:
w + σ)R0，
a2 = d(d + + γ)(d + + w + σ)(1 − R0)。
由 于a0 > 0， 当R0 > 1时 ，a2 < 0， 方 程(3)有 唯 一 的 正 实 根 ， 即 系
统(1)有唯一的地方病平衡点。当R0 = 1时，a2 = 0，若a1 < 0，则方程(3)有
3
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
唯一的正实根I = − a1
a0
若a1 < 0，则方程(3)可能有两个正实根I1和I2。
，若a1 > 0，则方程(3)无实根。当R0 < 1时，a2 > 0，
定定定理理理 1:系统(1)在R0 = 1处发生后向分支的充要条件是a1 < 0 。
证 明 ： 充 分 性 ， 考 虑 函 数 f (x) = a0x2 + a1x + a2， 当R0 = 1时 ， 方
程 f (x) = 0 只有唯一的正根。在R0 = 1处的一个充分小的左邻域(1 − δ, 1)内，
有a2 ∈ (0, dδ(d + + γ)(d + + w + σ))。由于δ充分小，可以使得方程 f (x) = 0
1 − 4a0a2 > 0，所以在R0 ∈ (1 − δ, 1), a1 < 0时，方程 f (x) = 0
的判别式∆ = a2
有两个互异的正根，从而系统(1)在R0 = 1处发生后向分支。
≤ 0，两根之
必要性，假设a1 ≥ 0，在R0 < 1时，方程两根之和− a1
> 0，方程没有正实根，系统(1)在R0 = 1处不可能发生后向分支，证
a0
积 a2
a0
毕。
若 方 程(3)有 两 个 正 实 根 ， 则a1 < 0, a2 > 0且∆ = a2
其 中 ：a1 < 0等 价 于R0 > P0
则R0 < 1。由P0 < 1，得到α > β(d+)(d++γ+w)
dσ(d++γ) 。
∆
=
β(d+)(d++w+γ)+dα(d++w)(d++γ)
dα(d++γ)(d++w+σ)
方程(3)的判别式：∆ = a2
1 − 4a0a2，
1 − 4a0a2 > 0。
；a2 > 0，
= [dα(d + + γ)(d + + w + σ)]2R2
∆ = [β(d + )(d + + w + γ) + dα(d + + w)(d + + γ) − dα(d + + γ)(d + +
w + σ)R0]2 − 4[αβ(d + )(d + + w + γ)][d(d + + γ)(d + + w + σ)(1 − R0)]
0 + 2dα(d + + γ)(d + + w + σ)[β(d + )(d +
+ γ + w) − dα(d + + w)(d + + γ)]R0 + [β(d + )(d + + w + γ) − dα(d +
+ w)(d + + γ)]2 − 4αβ(d + )(d + + γ + w)dσ(d + + γ)。
∆ > 0等价于R0 > P2或者R0 < P1，其中:
dα(d++γ)(d++w)−β(d+)(d++γ+w)−2
αβdσ(d+)(d++γ)(d++γ+w)
dα(d++γ)(d++w+σ)
dα(d++γ)(d++w)−β(d+)(d++γ+w)+2
αβdσ(d+)(d++γ)(d++γ+w)
1
。
dα(d++γ)(d++w+σ)
P2
= 2[−
P1 − P0 =
Q1
P2 − P0 =
∆
= 2[
Q2
√
2β(d+)(d++γ+w)[dασ(d++γ)−β(d+)(d++γ+w)]
dαβσ(d+)(d++γ)(d++γ+w)+β(d+)(d++γ+w)
dα(d++γ)(d++w+σ) Q1,
dαβσ(d + )(d + + γ)(d + + γ + w)− β(d + )(d + + γ + w)] < 0。
dα(d++γ)(d++w+σ) Q2,
dαβσ(d + )(d + + γ)(d + + γ + w) − β(d + )(d + + γ + w)]
。
=
1
由于dασ(d + + γ) > β(d + )(d + + γ + w)，可知:P1 < P0 < P2。
P1
∆
=
∆
=
∆
√
√
,
4
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
定定定理理理 2:当P2 < R0 < 1且α > β(d+)(d++γ+w)
dσ(d++γ) 时，方程(3)要有两个正实
−a1−√
根，即系统(1)有两个地方病平衡点E1(S 1, I1, Q1),E2(S 2, I2, Q2)。其中：I1 =
−a1+
, S i = d++w
β +
σ
β(1+αIi) , Qi = w
d++γ Ii, i = 1, 2。
√
1−4a0a2
a2
2a0
1−4a0a2
a2
2a0
, I2 =
3 平平平衡衡衡点点点的的的局局局部部部渐渐渐近近近稳稳稳定定定性性性
定定定理理理 3:当R0 < 1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定；当R0 > 1时，E0不
稳定。
证明：系统(1)在E0( A
d , 0, 0)的Jacobian矩阵为：
−d
0
0
d − (d + + w) − σ
J(E0) =
d + σ
− βA
w
βA
γ
0
−(d + + γ)
容易知道，这个矩阵的特征方程的其中三个特征根为:
1
λ1 = −d, λ2 = −(d + + γ) < 0, λ3 =
d++w+σ(R0 − 1)。
当R0 < 1时，λ3 < 0，无病平衡点E0是局部渐近稳定的；当R0 > 1时，λ3 >
0，无病平衡点E0是不稳定的。
定定定理理理 4:若地方病平衡点E1存在，则E1(S 1, I1, Q1)是不稳定的。
证明：系统(1)在E1处的Jacobian矩阵为：
γ
0
−(d + + γ)
J(E1) =
−βI1 − d −(d + + w) − ασI1
(1+αI1)2
ασI1
(1+αI1)2
w
βI1
0
−a1−√
1−4a0a2
a2
2a0
根据方程(3)和I1 =
，化简行列式det J(E1):
det J(E1) = − I1
(1+αI1)2 [(2a0 − αa1)I1 + a1 − 2αa2]
=
I1
(1+αI1)2
√
∆(
√
∆−a1+2αa2)
√
∆−a1
。
当E1存在时，a2 > 0 , a1 < 0，det J(E1) > 0，矩阵J(E1)有特征根具有正
实部，故地方病平衡点E1只要存在就是不稳定的。
定定定 理理理 5:若 地 方 病 平 衡 点E2存 在 ， 且2αβa2 + 2(d − σ)a0 > (β + dα)a1
时，E2(S 2, I2, Q2)是局部渐近稳定的。
证明见附录B。
5
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
4 无无无病病病平平平衡衡衡点点点E0的的的全全全局局局渐渐渐近近近稳稳稳定定定性性性
为了证明E0的全局稳定性，需要以下引理(文献[9])，考虑如下两系
统：
(a)
dx
dt = f (t, x),
(b)
dx
dt = g(x)
其中x, y ∈ Rn, f ∈ C(R × Rn), g ∈ C(Rn)且关于x满足局部Lipschitz条件。如
果limt→+∞ f (t, x) = g(x)，则称系统(b)是系统(a)的极限系统。
引引引理理理 :若系统(a)是有界的且极限系统(b)的平衡点e全局渐近稳定，则系
统(a)的任何解x(t)满足limt→+∞x(t) = e。
类似文献[7]的分析,可以证明如下定理：
定定定理理理 6:当βA < d(d + + w)时，系统(1)的无病平衡点E0(S 0, I0, Q0)是全
局渐近稳定的。
证明：由系统(1)可知： dI(t)
d − (d + + w))I(t)。
在 系 统(1)的 正 不 变 集D内 定 义 初 值(S (t0), I(t0), Q(t0))， 令Imax(t)是 微 分 方
程 dImax(t)
dt + θImax(t) = 0的解，其中θ = d + + w − βA
dt ≤ βS I − (d + + w)I ≤ ( βA
d > 0，得到：
t
t0
dt
= 0，
dImax(t)eθt
dt = 0，
limt→∞ Imax(t) = limt→∞ Imax(t0)e−θ(t−t0) = 0。
dImax(t)eθt
dt
由比较原理可知I(t) ≤ Imax(t)，limt→∞ I(t) = 0，(S (t), I(t), Q(t)) → (S ∗, 0, Q∗)，
则系统(1)的极限系统为 dQ(t)
dS (t)
dt = −(d + + γ)Q(t)
dt = A − dS (t) + γQ(t)
(4)
直接解得：Q(t) = Q(t0)e−(d++γ)(t−t0)，limt→∞ Q(t) = 0；
S (t) = S (t0)e−d(t−t0) + A
d (1 − e−d(t−t0))，limt→∞ S (t) = A
根据引理，系统(1)的无病平衡点E0(S 0, I0, Q0)全局渐近稳定。
d 。
5 讨讨讨论论论
若将系统(1)中的饱和治疗率 σI
1+αI 改为线性治疗率rI，则文中模型(1)与
文献[10]中的模型(1)一致。从文献[10]的分析可知，基本再生数Rq是决定疾
病流行与否的阈值,如果Rq < 1，无病平衡点是全局渐近稳定的且疾病灭
绝，如果Rq > 1，地方病平衡点是全局渐近稳定的且疾病会持续。
6
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
当考虑医疗资源有限，疾病延迟治疗效应等因素时，采用饱和治疗率
更加合理。本文讨论了一类具有隔离项和饱和治疗率的SIQS模型的后向分
支，却发现当基本再生数P2 < R0 < 1时，地方平衡点也有可能存在，且
在一定的条件下，地方病平衡点与无病平衡点都是局部渐近稳定的。从定
理(2)中可知，若我们增加医疗资源的投入，改进我们的医疗水平，就能减
小因染病者过多而产生的延迟治疗效应参数α，从而使得地方病平衡点不存
在。
虽然隔离是控制疾病传播的有效方法，但是从本文的分析可知，基本
再生数R0不再是决定疾病流行与否的阈值。为了能更有效的控制疾病的传
播，必须防止在疾病传播过程中产生后向分支。
附附附录录录
附附附录录录A ：：： 第二加性复合矩阵(文献[11])
若A = (ai j)是3 × 3矩阵：则A得第二加性复合矩阵A[2]为：
a11 + a22
a32
−a31
A[2]
=
a23
a11 + a33
−a13
a12
a21
a22 + a33
定定定理理理:若矩阵A的三个特征值是λ1, λ2, λ3，则A的第二加性复合矩阵A[2]的
三个特征值为λ1 + λ2, λ1 + λ3, λ2 + λ3。
附附附录录录B ：：： 定理5的证明
证明：系统(1)在E2处的Jacobian矩阵为：
−βI2 − d −(d + + w) − ασI2
(1+αI2)2
J(E2) =
βI2
0
ασI2
(1+αI2)2
w
−a1+
√
1−4a0a2
a2
2a0
γ
0
−(d + + γ)
根据方程(3)和I2 =
，化简行列式det J(E2):
det J(E2) = − I2
(1+αI2)2 [(2a0 − αa1)I2 + a1 − 2αa2] = − I2
(1+αI2)2
√
∆(−√
∆−a1+2αa2)
−√
∆−a1
。
当E2存在时，a2 > 0 , a1 < 0，det J(E2) < 0。
矩阵J(E2)的迹：tr(J(E2)) = −βI2 − d + ασI2
(1+αI2)2 − (d + + γ)。
7
中国科技论文在线
http://www.paper.edu.cn
矩阵J(E2)的第二加性复合矩阵J[2]
2 ：
J[2]
2 =
−βI2 − d + ασI2
(1+αI2)2
w
0
0
−γ
−βI2 − (2d + + γ) −(d + + w) − ασI2
(1+αI2)2
(1+αI2)2 − (d + + γ)
βI2
ασI2
(1+αI2)2 )2 − (βI2 + d − ασI2
(1+αI2)2 )[(w + )βI2 +
化简矩阵J[2]
det(J[2]
2 的行列式det(J[2]
2 )，得到：
2 ) = −(2d + + γ)(βI2 + d − ασI2
( + γ)(2d + + γ)] − wγβI2。
(1+αI2)2 > βI2 + d − σ
[αβI2
[αβ(−a1I2−a2
= 1
= 1
1+αI2
1+αI2
βI2 + d − ασI2
1+αI2
a0
2 + (β + dα)I2 + d − σ]
) + (β + dα)I2 + d − σ]
令函数g(I) = αβ(−a1I−a2
)+(β+dα)I+d−σ，I > 0。当E2存在时，a1 < 0，
a0
2a0
函数g(I)是关于I的单调增函数。
g(I2) > g(−a1
1−2a0a2
2a2
0
+ αβ a2
a0
) + (β + dα)−a1
2a0
+ (β + dα)−a1
2a0
) = αβ( a2
= αβ ∆
2a2
[2αβa2 + 2(d − σ)a0 − (β + dα)a1]。
0
> 1
2a0
若2αβa2 +2(d−σ)a0 > (β+dα)a1，则βI2 +d− ασI2
+ d − σ
+ d − σ
0，det(J[2]
2 ) < 0。假设矩阵J(E2)的三个特征根是λ1, λ2, λ3，则：
(1+αI2)2 > 0时，有tr(J(E2)) <
tr(J(E2)) = λ1 + λ2 + λ3 < 0
det J(E2) = λ1λ2λ3 < 0
det(J[2]
2 ) = (λ1 + λ2)(λ1 + λ3)(λ2 + λ3) < 0
由第二个不等式可知，特征值λ1, λ2, λ3都有负实部或者只有一个有负实
部。记Re(λ)为λ的实部，假设Re(λ1) < 0，Re(λ2) > 0，Re(λ2) > 0，由第一个
不等式可知，Re(λ1 + λ2) < 0，Re(λ1 + λ3) < 0，Re(λ2 + λ3) > 0，这与第三个
不等式矛盾。故λ1, λ2, λ3都有负实部，则E2(S 2, I2, Q2)是局部渐近稳定的。
参参参考考考文文文献献献
[1]
Korobeinikov,A., Global properties of basic virus dynamics models.
Bulletin of Mathematical Biology. Bulletin of Mathematical Biol-
ogy．2004，66：879-883．
8
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
