(important)数理方程公式大全.doc-资料库

1. 考察两端固定的弦的自由振动问题（分离变量法）数理方程公式大集合 2 u tt    ),0( tu    ua  )0,( xu xx 0(  ),( tlu ,0   ( x  cos ), a ( n  1n  ),( txu ),0  ,  ,0 tlx  xu )0,( t   ( x ), n at  l  b n sin n at  l sin) xn  l a n  2 l  )( x l  0 sin  xn l , dx b n  2 an  l  0  sin)( x xn  l dx (, n  , , 321 ...)  可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表 2-1). 容易发现如下的规律:  (1)若齐次边界条件含 X(0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含 X‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数  (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为有界弦的强迫震动： l ( t) 0 ),( tlu , 0 , t x  , 0  ),( , 0 0 xu t  ), 0  tt (1)  u     ),( txu f n )( t )( tu n  sin)(  u tu n 2 f(x, ua  xx ),( , 0 0 t  ),( 0 xu   1n  2   l 2 an    f 0 0 n l l xn  l xn  l sin),( txf dx (, n  ), , 321 sin)(   ( ) tan  l (, d  n  , , 321 ...) (2) tt  u     2 ua  xx ),( 0 t u ),( 0 xu l f(x, ( t) 0  ),( , 0 tlu  ( ), x   , 0 t x   , 0  ),( ( ), 0 xu x  t  ),

),( txu  ),( txwtxv ),(  用（1）求下面方程的解  ( ),( , 0 txf v x t   tt  , ),( , 0 0 tlv     ),( ),( 0 0 xv xv    t 2 va  xx ),( 0 v t 0 l , ), 0  用自由震动方法求下面方程的解即可 2 ) , ( 0 0 l t x wa w   tt xx ),( ),( , , 0 0 0 tlw tw   ),( ),( ( ), )( 0 0 xw x xwx      t      2. 无热源有界长杆的热传导问题（分离变量法） tlx ,  ),0 0( xx  ),( tlu   ,0 ,0 2 uau t     )0,( xu    ),0( tu   ( x  ),( txu eC n  n 1  ),  ( xn  l n  ) l sin t 2 , C n l 2   l 0  sin)( x xn  l dx (, n  ,, 210 ...)  2 , ( 0 ua u l x t   t xx  , ),( ),( 0 0 0 t u tlu    x x  ),( ( ), 0 xu x    ),( txu n  ) l ea n   0 ),  , cos  ( t 2 a 0 2 n 1  xn  l , a n l 2   l 0  )( x cos xn  l dx (, n  ,, 210 ...) 有热源有限长杆的导热问题 , t f(x, ), ( t), 0 0 x l   ),( , , 0 0 tlu  , 0  sin)( xn  l （1） t  u     ),( txu 2 ua   xx ),( 0 u t  ),( 0 xu  1n  2   l  tu n 0 l f n )( t sin),( txf xn  l dx (, n  , ), 321 )( tu n l   0  ( an  l 2 () t )   f n )( e  (, d  n  , , 321 ...) （2） t  u     2 ), ( t), f(x, 0 0 x l ua     xx ),( , ),( , 0 0 0 tlu t u   ),( )( 0 x xu  , t

),( txu  ),( txwtxv ),(  用（1）求下面方程的解   v    v t ),( 0 t 2 va  , 0  ),( 0 xv ),( txf  xx ),( , 0 tlv  ),( 0 xv   t 0 , 用无热源有界长杆的热传导问题求下面方程的解 ),( 0 tw  2 wa w  tt xx ),( , , 0 0 tlw  )( ),( 0 xw x       3. 矩形域二维拉普拉斯方程的边值问题（分离变量法） u u   xx yy  ),( 0 xu    ,( ) 0 u y   yxu ),(  b ( ), , y 0 0 0 a x    ( ), ( ),( ), bxu xf xg  , ,( ) . 0 0 yau    n n   a a ( ea eb sin )  y n y n ba n n    1 n 2 a a )( xf 0 sin  n a xdx ,  n a x n  b a ea n  n  b a   eb n 2 a a  0 sin)( xg n  a xdx (, n  , , 321 ...) 4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标) （分离变量法） 0rr  0(  ), u  0 rr  u 1 r u rr  | 0 u r  f ( 1 2 r ).   等效于 2 1 1 u u    2 2 r r r r    u rr  f ( ). | 0 0  1   ),( ru 2  n  cos ) ( f  a  a 2  ( a n n 1 0  1 n r  0 1 n r  0 b n  2   0 f (  sin) dn  2 u 2   0 0(    )2 0(  0rr  ), 0(    )2 cos  bn n  sin  n rn .) dn  n ( n ( ,2 ,1 ,0  ), ,2 ,1  ), 或圆域内的泊松公式（分离变量法）5 5. 圆域内的泊松公式（分离变量法）  ),( ru  1  2  2  0 f  )( 2 rr  2 0   2 2 rr 0 rr 2 cos 0  rrd 0  ( ) n (   ),

6. 无限长弦自由振动问题（行波法） u tt  2 ua xx (   x  , t  ),0 (3) )0,( xu   ( x ), xu )0,( t   )( x 的达朗贝尔解为公式 ),( txu   ( ) atx   ( atx )    2 atx 1    2 a atx  .)( d 其中方程(3)的通解形式为 ),( atxftxu ) (    atxg ( ).  7. 无限长弦强迫振动问题（行波法） ( ),( txf ua 2   u tt xx   x  , t  ),0 )0,( xu  的解为公式  txu ),(  ( x ), xu )0,( t   )( x  ( atx )   2  ( atx )   1 a 2 atx    atx  )( d  1 2 a  tax  (  ) ..),( dd f t   0   ) tax  ( 8. 积分变换法 9. Green 函数（1）上半空间内的 Green 函数及 Dirichlet 问题 u    u   xx z  0 u  u  yy zz ,( yxf , 0 0 z   ), , yx   MMG ( , )  0 1 4      1 r MM 0  1 r MM 1     ( zyxu 0,0 , 0 )  1 2       ,( yxfz 0 ( y y   0 ) ) dxdy 2  z 0 2/32 ] [( x  x 0 2 ) 例求解下列定解问题 2 u  2 y  ), 3   2 u  2 z  ,( yxf 0  ), ,  , z  x x , , y y 2   u   2  x   ,( yxu 解： , zyxM ( , 0 0 0 ) 0 MMG ( , )  0 0 1 4 r  MM 1 y    2  1 ( , yxM 0 1 4 r  MM  , 6 z  ) 0 0 1 2    z y 0  z 0 2   4   x  x 0 ( u M )     3 z G M M  ( , n  ) 0 ( )d f M S     4   x  x 0 G M M  ( , z  0 3 2  ) | 1    y 2    z y 0  6 2 z 0 ( , )d f x y S z  3 （2）球域上的 Green 函数及 Dirichlet 问题

u   u  u   xx |  0 u   yy zz ), ,( zyxf ,(, ), zyx  ( , zyxu , 0 0 )  0 1 4 R    2 ( R  2 ( R 2 r  OM 0 2 r OM 2  0 ) Rr ), ,( zyxf ) cos  OM 0 dS 2/3 和差化积 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 积化和差 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2