高等数学反例集.pdf-资料库

目录高等数学部分：第一章函数与极限……………………………………………………………………… 2 第二章一元函数的连续性………………………………………………………………11 第三章一元函数的导数…………………………………………………………………15 第四章中值定理与导数的应用…………………………………………………………20 第五章多元函数…………………………………………………………………………28 第六章积分………………………………………………………………………………40 第七章级数…………………………………………………………………………‥…48 线性代数部分：第一章 n 阶行列式………………………………………………………………………53 第二章矩阵…………………………………………………………………………… 53 第三章 n 维向量、线性方程组………………………………………………………‥56 第四章特征值………………………………………………………………………… 61 第五章二次型………………………………………………………………………… 62 概率统计部分：第一章随机事件及其概率……………………………………………………………63 第二章随机变量极其分布……………………………………………………………66 第三章独立性与相关性相容性………………………………………………………70 第四章随机变量的数字特征…………………………………………………………76 第五章参数估计与假设检验…………………………………………………………79 1

高等数学部分：第一章函数与极限 1. 周期函数未必存在最小正周期。例 1：常数函数 ( ) f x C= , 它以任意数为周期，故不存在最小正周期。例 2：狄利克雷函数 D x ( ) ⎧ = ⎨ ⎩ 1 0 x 为有理数 x 为无理数 , 它以任意有理数（或无理数）为周期，从而也没有最小正周期。 2. 周期函数之和未必是周期函数。 f x 例： ( ) = − g x ( ) x [ ], = x x cos . g x ( ) = − x x [ ] cos + x 却不是周期函数。 f x ( ) 1 以为周期，g(x)以2 为周期， ( ) f x +而 π 3. 有界函数与无界函数之积未必无界。 = x ，在区间( 例 1： ( ) 0, g x ( ) f x = ,−∞ +∞ 内 ( ) f x 有界，无界，而 ( )g x f x g x = ( ) ( ) 0 ) 却在区间( ,−∞ +∞ ) 内有界。 f x 例 2： ( ) e −= x , g x ( ) = ，在区间( x 0, +∞ 内 ( ) f x < , 而 1 ) ( )g x 是无界的， f x g x ( ) ( ) = x xe− ，因为 lim →+∞ x x xe− = ，从而易见 ( ) ( ) f x g x 在区间( 0 0, +∞ 内是有界的。 ) 4. 无界函数之和（差，积，商）未必无界。例 1： f x ( ) 1 = − , 1 x 内有界。区间 (0,1) g x ( ) = ，两函数均在区间( 1 x )0,1 内无界，而 f x ( ) + g x ( ) 1 = 却在 f x 例 2： ( ) = x tan , g x ( ) = cot x ，两函数均在区间 0, π⎛ ⎞ ⎟ 内无界，而 ⎜ 2 ⎝ ⎠ f x g x = ( ) ( ) 1 却在区间 π⎛ ⎞ 0, ⎟ 内有界。 ⎜ 2 ⎠ ⎝ 例 3： f x ( ) 1 == x , g x ( ) 1 x 2 ，两函数均在区间( )0,1 内无界，而 f x ( ) g x ( ) = 却在区间( x ) 0,1 内有界。 5. 有单值反函数的非单调函数。 2

例： xf )( = x , x − ⎧ ⎨ ⎩ , x ; 为有理数 x . 为无理数 )(xf 是非单调函数，但是存在单值反函数； f x )(1 − = x , x − ⎧ ⎨ ⎩ , x ; 为有理数 x . 为无理数可见函数在区间上上单调只是存在反函数的充分条件，并非必要。 6. 由于使用极限“ε─δ”定义不准确产生的反例。函数 )(xf 定义在 ),( ba 上， x ∈ 0 ba ),( ，对任给 ,0>ε 存在 ,0>δ 当 x − 0x δ< 时，恒有 xf )( − A ε< ，其中是常数。但是 A xf )( ≠ A 。 lim x x → 0 例： xf )( = sin Ax , = 1 在 0 =x 0 点，对作给 ,0>ε 存在 ,0>δ 当 x − 0x δ< 时，总有 xf )( − A = sin x 01 ε<≤− 但是 lim x x → 0 xf )( = 0sin ≠= 。 10 上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。 7. 函数在点附近有界，但不存在。 xf )( )(xf 0x lim x→ x 0 函数如果在某一点的极限存在，则在该点附近一定有界，但是反之结论不真。例 xf )( = x +− ,0 x −− ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ,1 ,1 1 0 << x 0 1 <<− x = x 0 在（-1，1）内恒有

如果函数在某一点的极限存在，那么收敛于这一点的任何一个子序列所对应的函数序列，必收敛到同一极限。但是一旦极限不存在，收敛于这一点的各子序列所对应的函数序列就可能出现各种性态。 sin1 x 1 例： xf )( 1 x = 因为 xk = 时， xf ( k ) = 2 k π + , k = 2,1 ,......, π 2 xk = 时， xf ( k ) −= 2 k π − 3 π 2 , k = 2,1 ,......, 2 k π+ 1 2 k π+ π 2 3 π 2 故 lim x→ 0 xf )( 不存在。而对任何一个实数，总存在正整数，使 a k k >π2 a 。假定是使不等式成立的最小 0k 正整数，记 kn = k 0 + nn , = 3,2,1 ,......, 显然，在)(xf ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 k π n , 2 k − 2( −nk ) ππ+ 1 3 2 。因为 − 2 k n n 1 ⎤ ⎥ − π ⎦ 1 3 2 上连续且最大值为 2 −nk π+ 1 −< 2 k π 0 << a 2 k π 0 < 2 k π 1 − + n π 2 π 2 ，最小值为， ππ 1 − − 所以由连续函数的介值定理知存在 x n ∈ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 k π n , 1 ⎤ ⎥ − π ⎦ 1 n 2 k ，使得 xf ( n =) a 显然，对于数列{ 有}nx x lim = ∞→ n n ,0 且 lim n ∞→ xf ( n ) = a , 1) 满足 x lim ∞→ n n ∞≠ 的无界数列。例： nx −+= nn ])1(1[ 。对任意正数 M，只要取 N= log ，当M2 n = 2 Nk > 时，就有 x n −+= )1(1[ 2 k 2 k ] 2 k = 2 > 2 log 2 M = M ，所以数列无界。但对 n=2k+1,k=1,2,…… nx 时 =0，即不收敛，所以 nx nx x lim ∞→ n n ∞≠ 。 2) 数列 }{ nx ， }{ ny ， }{ nz 存在关系： y n ≤ x n ≤ nz , n = 2,1 ,....., lim n ∞→ ( z n − y n ) = ,0 但是极限 x lim n ∞→ n 却不存在. 4

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ y 例：数有 x y n ,)1( n −= n )1( −= − n 1 n )1( −= + n z n 1 n n=1,2,3,…… ≤ x n ≤ nz , n n = 2,1 ,....., lim n ∞→ ( z n − y n ) = lim n ∞→ 2 n = ,0 但是极限 lim n ∞→ x n = lim n ∞→ )1( − n 不存在. 本例说明,极限存在准则 1 中条件 lim n ∞→ y n = lim ∞→ n z n 不能更换成 lim n ∞→ ( z n − y n ) = ,0 9. ϕ x )( lim x a → = A lim, An → ψ x )( = B , 但是 (( lim ϕψ x → a x )) ≠ B 的复合函数. 例： x )(ϕ = xψ )( = ,1 q ,0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ,1 ⎧ ⎨ ,0 ⎩ x = p q , x x ≠ = ;0 .0 , 是互质整数 qp , x 为无理数 q > ;0 因为对任给 ,0>ε 存在 ,εδ= 对 0=a 的δ邻域内的任何一点 x, 若 x 为无理数,则 ϕ <=−=−x 0)( 00 0 ; ε p 若 x 为有理数 , q 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, ϕ x )( lim x 0 → = 0 . 则 ϕ x 0)( =− 1 q ≤ p q = x <− 0 , εδ = 所以对于 (xψ 显然有 ), lim ψ n 0 → x ,1)( = 然而 ((ϕψ x )) = 1 ⎧ ⎨ 0 ⎩ x ; 为有理数 x 为无理数因此 (( lim ϕψ x 0 → x )) 不存在. 10.数列收敛于零, 是另一数列,而 ny nx lim n ∞→ yx n n ≠= k 0 例： x n = 显然 lim n ∞→ x n 1 n 2 = , y n = n 2 lim,0 ∞→ n y n 不存在 , 然而 lim n ∞→ yx n n = 1 , 即数列 n yx n 收敛于 1. 11.两数列 n y x , n , 有 lim n ∞→ yx n n = 0 , 但是数列 n y x , n 都不收敛于零. 两个数列对应项乘积作成的新数列收敛于零 , 并不意味着这两个数列本身也必须收敛于 5

零. 因为乘积趋于无穷小,往往只需其中一个因子趋于无穷小, 而另一个保持有界就足够了. 例： x n 1 += cos n , π y n −= 1 cos n π . 数列 n y x , 都不收敛, 但是 n lim n ∞→ yx n n = lim n ∞→ 2 sin πn = 0 . 12. lim n ∞→ xn = a , 而 ≠ a 的数列. xn lim n ∞→ π ) 4 例： xn = sin( n π+ lim n ∞→ x n = lim n ∞→ sin( πn + . π ) 4 = 2 2 , 但是 lim n ∞→ x n 不存在. 因为 n = kk ,2 = 2,1 ,...... 时， nx = 2 2 , n = 2 k + ,1 k = 2,1 ,...... 时， nx −= 2 2 13. 关于无穷小量、非无穷小量四则运算的反例． a. 由无限多个无穷小量之和生成的非无穷小量．有限多个无穷小量之和是无穷小量，这个性质不能推广到无限多个．将无限多个无穷小量累加起来，就可能根本改变它们原有的特性．例１： x ni i i ( ⎧ ⎪ ⎪= ⎨ ⎪ ⎪⎩ 1) 1 + 1 n n ≤ i n > i n=1,2,……, i 是确定的正整数．显然 x lim = ∞→ ni n 0 ．当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量 x n x , 1 n 2 ,...... ．但是这无限多个无穷小量的和 = ∞ ∑ 1 = x ni = n 1 − ∑ i 1 = x ni + ∞ ∑ ni = x ni = n 11 − ∑ n 1 = i + lim k ∞→ k ∑ ni = 1 + ii ( 1 + 1 n ) + 1( n + 1 − 1 + n 2 ) + ...... + s n = = n n i − n − n − lim1 + k ∞→ 1 1 n + = 1[( n 1 . )1 1( k − 1 + 1 k )] 因此，这无限多个无穷小量之和是一个收敛于１的数列．例２： xni = 由于 x lim = ∞→ ni n n=1,2,……, i 是确定的正整数． 1 in + 0 ．当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．但是这无限多个无穷小量的和是正无穷大，即 ns ∞ ∑ i 1 = x ni = s n = ∞ ∑ i 1 = 1 in + +∞= ． 6

这是因为上面的级数只不过是将调和级数删去前几项． b.由无限多个无穷小量之积生成的非无穷小量．例１： x ni = 1 n ⎧ ⎪ ⎪ ( ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ n − ,1 i 2 )1 + 1 n 1 − n n n < = > i i i n=1,2,……, i 是确定的正整数．由于 x lim = ∞→ ni n 0 ．当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．而这无限多个无穷小量之积 D n = ∞ ∏ i 1 = x ni = n 1 − ∏ ( i 1 = x ni ) ⋅ x nn ⋅ ( ∞ ∏ ni 1 += x ni ) = n 1 − ∏ ( i 1 = ()1 ⋅ n n + )1 n 1 − ⋅ ( ∞ ∏ ni 1 += i ( − i )(1 i 2 + ))1 因为 ∞ ∏ ni 1 += + )1 i ( − i )(1 i 2 = lim k ∞→ k ∏ ni 1 += i ( − i )(1 i 2 + ))1 = lim k ∞→ nn ( )2 + n )1 ( 2 + ⋅ ( n )(1 + n ( + n + )2 2 ( n )3 ⋅ )4 )(2 + n ( + n )3 + 2 ..... ⋅ k ( k ( − − k 2 )2 )1 ⋅ ( k − + )1 k )(1 k 2 = lim k ∞→ kn ( n ( + )1 + k )1 = n + 所以 D n = 而 lim n ∞→ D n = ， n 1 (1 1 − )11( + n n lim n ∞→ n n + n 1 − )1 ⋅ n + 1 )11( += n n n − 2 ， n − 2 = e 因此这无限多个无穷小量的积是一个收敛于 e 的数列．例２： x ni = ⎧ 1 − ⎪ ⎪ n ( ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ,1 i 2 )1 + 1 n n n n n < = > i i i n=1,2,……, i 是确定的正整数．当 i=1,2,…… 时，同样得到无限多个无穷小量，这时 (1 D n = = = x x x x ) ( ) ⋅ ⋅ ∞ ∞ ni nn ni n ∏ ni 1 += ni n 1 − n ∏ i 1 = n 1 − ∏ ( i 1 = n + )1 ⋅ n + 1 n = ( n + )11)(1 n + n − 2 ，而 lim n ∞→ D n = lim n ∞→ ( n + )11)(1 n + n − 2 +∞= ．即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列． 7

有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大的序列，同时，适当选取这时刻前变量的值，这样，对应每一个子 n，只有有限多个无穷小量在这个时刻已进入任意小，而有无限多个无穷小量仍处在可以取较大值的阶段（这种特性是有限多个无穷小量的乘积所没有的），于是就可能出现性质上的变异． c. 由两个非无穷小量之和生成的无穷小量．例： x n = ,1 y n −= cos 2 = 2,1 ,...... 这里 lim n ∞→ x n = lim,1 ∞→ n y n 而 x n + y n −= 1 cos 2 显然 lim n ∞→ ( x n + y n ) = ( − cos 2 π ) n n = ,1 −= 2,1 ,...... ,0 n = 2,1 ,...... n = π , n lim n ∞→ π n lim n ∞→ = sin 2 sin 2 π , n π = n d. 由两个非无穷小量之积生成的无穷小量．例： x n −= 1 cos n + π ,1 n y n 1 += cos π n 这两个数列都是发散．但是 1)(1 lim n n ∞→ 即它们的积是无穷小量． n + π lim n ∞→ yx n cos = 1( − n + cos n ) π = 1[( lim n ∞→ − 2 cos n ) π + 1(1 n + cos n )] π = 0 e. 由一个无穷小量与一个非无穷小量之积生成的非无穷小量．例： x n = sin π , n y n = n . 显然 lim n ∞→ x n = lim,0 ∞→ n y n +∞= 但是 lim n ∞→ yx n n = n sin lim n ∞→ π ⋅ π n = lim n ∞→ π n sin π n = π １4．由无穷大量与有界函数之积生成的非无穷大量．例：显然 lim x 0 → xf )( ∞= , xg )( 在 x=0 领域内有界．而 lim x 0 → xgxf )()( = lim x 0 → 1 x 2 x = 0 １5．不存在与任何无穷小相比都是低价的无穷小，也不存在与任何无穷小相比都是高阶的无穷小．例：若取 xf )( ≡ ,0 +∞<<−∞ x ，则当 0→x 时，f(x)是无穷小．显然，没有一个无穷小与它相比是高阶无穷小．但是却存在与 f(x)无法相比的无穷小，如 xg )( = ,0 x , ⎧ ⎨ ⎩ 当当 x 为无理数 x 为有理数 xg )( = 0 ，所以当 0→x 时 g(x) 是无穷小．但是极限因为 lim x 0 → lim x→ 0 xf )( xg )( 不存在，所以 f(x) 8

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