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代数学引论第二版第四章答案.pdf
代数学第四章部分习题答案
1. 设 D 为一个主理想整环而且包含在一个整环 R 内，设 a; b ∈ D. 证明，若 d
是 a; b 在 D 中的最大公因子，则 d 也是 a; b 在 R 内的最大公因子.
证明 在 R 中，设 d|c; c|a; c|b，则 (c) ⊂ (d). 但因为 d ∈ D，所以 (d) ⊂ D，
即 (c) ⊂ D，于是 c ∈ D. 因为 d 是 a; b 在 D 内的最大公因子，所以 c|d. 故
d ∼ c. 所以 d 也是 a; b 在 R 上的最大公因子.
2. 设 D 为一个主理想整环，a ∈ D; a ̸= 0. 若 a 为素元，则 D/(a) 为一域.
证明 因为 D 为主理想整环，所以 a 为素元等价于 a 为不可约元，所以 (a)
为极大理想，所以 D/(a) 为一域.
√
√
4. 设 m 是一个无平方因子的整数且 m ̸= 0; 1. 令 F = Q(
m|a; b ∈
m) = {a+b
Q}，则 F 为一个域，叫做有理数域 Q 上的二次域.F 中有一个子环 R 定义如
下：
当m ≡ 2或3 (mod 4)时; R = {a + b
当m ≡ 1 (mod 4)时; R = {a + b · 1 +
2
√
m]; Z[
√
m|a; b ∈ Z};
√
m
|a; b ∈ Z}:
√
m
1 +
2
].R 叫做 F 的代数
证明 R 是 F 的一个子环.R 以后分别记作 Z[
整数环.
证明
当 m ≡ 2 或 3 (mod 4) 是，R = {a + b
√
√
设 r1 = a1 + b1
m; r2 = a2 + b2
m，则
√
m|a; b ∈ Z}.
√
r1 − r2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)
√
m)(a2 + b2
√
√
m ∈ R
m) = (a1a2 + b1b2m) + (a1b2 + a2b1)
m ∈ R;
r1r2 = (a1 + b1
所以 R 是 F 的子环.
√
m
设 c1 = a1 + b1 · 1 +
当 m ≡ 1 (mod 4) 时，R = {a + b · 1+
; c2 = a2 + b2 · 1 +
r1 − r2 = (a1 − a2) + (b1 − b2) · 1 +
2
2
m
p
|a; b ∈ Z}.
√
m
, 则
√
2
∈ R;
m
√
m
2
)
2
√
m
)(a2 + b2 · 1 +
r1r2 = (a1 + b1 · 1 +
2
m − 1
4
m − 1
= (a1a2 +
因为 m ≡ 1 (mod 4)，所以
4
√
m
2
b1b2) + (a1b2 + a2b1 + b1b2) · 1 +
∈ Z，故 r1r2 ∈ R. 所以 R 是 F 的子环.
1
即
{
故 可逆当且仅当
√−1 ∈ R
√−1)(a + b
(ac − bd) + (ad + bc)
{
(c + d
1，则 ∃ = a + b
√−1) = 1
√−1 = 1
a = c/(c2 + d2)
b = −d/(c2 + d2)
⇒
ac − bd = 1
{
ad + bc = 0
c2 + d2|c
c2 + d2|d
c = ±1; d = 0
c = 0; d = ±1
或
代数学第四章部分习题答案
] 统记作 Rm.Rm 的单位乘法群记作 R
m. 证明：
√−3)，! 是一个本原三次单位根；
√
m
1 +
2
√
m]; Z[
5.Z[
1 = {±1;±√−1}；
(1)R
(−1 +
3 = {±1;±!;±!2}，其中 ! =
(2)R
M = {±1}.
(3) 当 m < 0 且 m ̸= −1;−3 时，R
证明
(1)R1 = Z[
= 1，即
√−1]. 设 = c + d
1
2
√−1 ∈ R
1，使得
或
c2|c
d = 0
⇒
但 c2 + d2 > |c|; c2 + d2 > |d|，所以
{
{
c = 0
d2|d
1 = {±1;±√−1}.
√−3
所以 R
1 +
(2)R3 = Z[
3，使得 = 1，即
R
2
]. 设 = a + b
1 +
√−3
2
√−3
1 +
(a + b
)(c + d
(ac − bd) + (ad + bc + bd)c + d
2
{
即
ac − bd = 1
{
ad + bc + bd = 0
故 可逆当且仅当
1 +
√−3
2
∈
∈ R
3，则 ∃ = c + d
√−3
√−3
) = 1
2
1 +
1 +
= 1
2
⇒
c = (a + b)/(a2 + b2 + ab)
b = −b/(a2 + b2 + ab)
a2 + b2 + ab|(a + b)
a2 + b2 + ab|b
1⃝
2⃝
{
2
由 2⃝知 a2|b(a ̸= 0). 由 1⃝知 a(a + b) + b2|(a + b)，即 b2|(a + b)(b ̸= 0)；另外，
结合 1⃝和 2⃝知道 a2 + b2 + ab|a ⇒ b2|a(b = 0). 所以
代数学第四章部分习题答案
a = 0; b = ±1
或
a = ±1; b = 0
或
a = ±1; b = ∓1
而 ! = −1 +
1 +
√−3
2
; !2 = 0 − 1 +
√−3
2
(3)(i)m ≡ 2 或 3 (mod 4) 时，设设 = c + d
m，使得 = 1，即
R
, 所以 R
3 = {±1;±!;±!2}.
√
m ∈
m，则 ∃ = a + b
√
m ∈ R
√
√
m) = 1
m)(a + b
(c + d
√
(ac − bdm) + (ad + bc)
m = 1
即
{
故 可逆当且仅当
ac − bd = m1
{
ad + bc = 0
{
⇒
c = a/(a2 − mb2)
d = −b/(a2 + mb2)
由 m < 0 知{
a2 − mb2 ≥ a
a2 − mb2 ≥ b
⇒
{
或
a = 0
mb2|b
或
{
a2|a
b = 0
情况 2 时 |mb2| > b2 ≥ b 不可能，情况 3 时 a = ±1，情况 1 也不可能，因为
a2 − mb2 > a，因此 R
(ii)m ≡ 1 (mod 4) 时，同理有 = 1，即
m = {±1}.
ac +
m − 1
4
ad + bc + bd = 0
c =
a + b
a2 + 1m
4 b2 + ab
d = −
b
a2 + 1m
4 b2 + ab
a2 − mb2|a
a2 − mb2|b
a2 − mb2 = b
a ̸= 0; b ̸= 0
a2 − mb2 = a
⇒
bd = 1
3
代数学第四章部分习题答案
故 可逆当且仅当
a2 +
1 − m
4
1 − m
若 a = 0，则
若 ab ̸= 0，则
4
1 − m
4
a2|b
b2 + ab|(a + b)
b2 + ab|b
a2 +
4
1 − m
b2|b, 因为 m ̸= −3，所以 m ≤ −7;
a2 +
⇐⇒
a2 +
1 − m
4
1 − m
4
b2 + ab|a
1 − m
b2 + ab|b
4
1 − m
4
b2|a
⇒
b2 ≤ |a|
a2 ≤ |b|
显然不可能，因为 a2 ≤ |b| ⇒ |a| ≤ |b| ⇒ 1 − m
|b|.
m = {±1}.
若 b = 0，则 a2|a ⇒ a = ±1 ⇒ R
综合 (i)(ii)，m < 0 且 m ̸= −1;−3 时，R
m = {±1}.
4
b2 ≤ |b|，而
b2 > b，不可能.
1 − m
4
b2 > b2 ≥
6. 设 H 为四元数体. 令 D = {a0 + a1I + a2J + a3K|a0;··· ; a3 或全为整数或
全为奇整数的一半 }. 证明：D 是 H 的一个子环，并确定 D 的单位群.
证明 取 ha = a0 + a1I + a2J + a3K; hb = b0 + b1I + b2J + b3K; ha; hb ∈ D.
则
因为
所以
ha − hb = (a0 − b0) + (a1 − b1)I + (a2 − b2)J + (a3 − b3)K
ai ∈ Z; i = 0; 1; 2; 3或ai ∈ Z +
bi ∈ Z; i = 0; 1; 2; 3或bi ∈ Z +
1
2
1
2
; i = 0; 1; 2; 3
; i = 0; 1; 2; 3
ai − bi ∈ Z; i = 0; 1; 2; 3或ai − bi ∈ Z +
1
2
; i = 0; 1; 2; 3
故 ha − hb ∈ D.
再考虑 hahb，有
hahb = (a0 + a1I + a2J + a3K)(b0 + b1I + b2J + b3K)
= c0 + c1I + c2J + c3K
4
其中
代数学第四章部分习题答案
c0 = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3
c1 = a0b1 + a1b0 + a2b3 − a3b2
c2 = a0b2 + a2b0 + a3b1 − a1b3
c3 = a0b3 + a3b0 + a1b2 − a2b1
(1)ai ∈ Z; bi ∈ Z 时，ci ∈ Z.
(2)ai ∈ Z; bi ∈ Z + 1/2 时，若 ai 为奇数，则 ci ∈ Z + 1/2; i = 0; 1; 2; 3；若
ai 为偶数，则 ci ∈ Z; i = 0; 1; 2; 3.
(3)ai ∈ Z + 1/2; bi ∈ Z 时，若 bi 为奇数，则 ci ∈ Z + 1/2; i = 0; 1; 2; 3；若
bi 为偶数，则 ci ∈ Z; i = 0; 1; 2; 3.
(4)ai ∈ Z + 1/2; bi ∈ Z + 1/2 时，若 ai + bi 为奇数，则 ci ∈ Z + 1/2; i =
0; 1; 2; 3；若 ai + bi 为偶数，则 ci ∈ Z; i = 0; 1; 2; 3.
总之 hahb ∈ D, 所以 D 是 H 的子环. 单位为 {±1;±I;±J;±K}.
7. 设 H; D 如题 6，证明 D 的每个理想都是主理想.
证明 取 d() = N () = a2 + b2 + c2 + d2，其中 = a + bI + cJ + dK ∈ D.
设 ; ∈ D，则函数总满足 d() ∈ N. 设
= (a0 + a1I + a2J + a3K); a0; a1; a2; a3 ∈ Q
取 b0; b1; b2; b3 ∈ Z ∪ Z + 1/2，使得
|b0 − a0| ≤ 1
4
;|b1 − a1| ≤ 1
2
;|b2 − a2| ≤ 1
2
;|b3 − a3| ≤ 1
2
其中 bi; i = 0; 1; 2; 3 满足 D 的系数条件. 记
u = b0 + b1I + b2J + b3K
v = (a0 − b0) + (a1 − b1)I + (a2 − b2)J + (a3 − b3)K
于是 = (u + v) = u + v. 因为 ; u; ∈ D，所以 v ∈ D
d(v) = N (v) ≤ 1
16
+
1
4
+
1
4
+
1
4
< 1
d(v) = N (v) = N (v)N () < N () = d()
故右除满足欧几里得环条件，同理可得做除也满足.
考虑 D 的理想 I，若 I = (0)，显然是主理想. 若 I ̸= (0)，则存在 b ∈ I，
使得 N (b) 最小. 对 ∀a ∈ I;∃q; r ∈ D; s:t
a = qb + r
5
代数学第四章部分习题答案
故 r = 0 或 N (r) < N (b). 由 N (b) 的 定 义 知 N (r) = 0, 即 r = 0. 所 以
a = qb ⇒ a ∈ (b) ⇒ I ⊆ (b). 显然 (b) ⊆ I，所以 I = (b).
9. 证明 Z[x] 的任一个主理想非极大.
证明
f = f1f2 ··· fn，因为 Z[x] 是 UFD，所以分解唯一，(f (x)) ⊂ (fk(x)); k =
1; 2;··· ; n. 若能证 (fk(x)) 非极大，(f (x)) 自然非极大.
只需考虑主理想整环的生成元为不可约多项式，因为若生成元为
设 f (x) 是 Z[x] 上的不可约多项式，deg f (x) ≥ 1. 记 k 为使得 f (k) ̸= 0;±1
的正整数（这样的正整数是存在的）. 考虑 f (k); f (x) 生成的理想 (f (k); f (x)).
显然 (f (k); f (x)) ⊇ (f (x)).
假设 1 ∈ (f (k); f (x)), 则 ∃u(x); v(x) ∈ Z[x]; s:t
1 = f (k)u(x) + f (x)v(x)
取 x = k，得 1 = f (k)[u(k) + v(k)]，因为 f (k) ̸= 0;±1，所以这是不可能的. 于
是 (f (k); f (x)) ̸= Z[x]. 显然 f (k) /∈ (f (x))，否则 f (x)|f (k) ⇒ degf (x) = 0, 矛
盾. 故 (f (k); f (x)) % (f (x))，即 (f (x)) 不极大.
若 deg f (x) = 0，则 f (x) ≡ C，所以 (C; x) % (C)，所以 (f (x)) 也不极大.
√−5] 满足因子链条件. 进一步证明，习题 5 中的环 Rm 都满足因子
10. 证明 Z[
链条件.
证明 对 Z[
√−5] 的一条因子链
√−5] 中的范数 N. 对 ∀ ∈ Z[
a0; a1; a2;··· ; an;··· 其中an+1|an
√−5]，若 = a + b
考虑 Z[
√−5，且 ̸= 0，则
N () = a2 + 5b2 ≥ 1;
等号当且仅当 a = ±1 且 b = 0 时成立. 由 an+1|an 知 N (an+1)|N (an). 因此可
以得到另一个 Z 上的因子链
N (a0); N (a1); N (a2);··· ; ; N (an);··· 其中N (an+1)|N (an)
因为 Z 是主理想整环，所以 ∃m ∈ N
; s:t
N (am) = N (am+1) = N (am+2) = ··· ;
考虑 an = an+1bn; n ≥ m，因此有 N (an) = N (an+1)N (bn) = N (an+1)，故
N (bn) = 1，即 an ∼ an+1. 所以当 n ≥ m 时
an ∼ an+1 ∼ an+2 ∼ ··· ;
6
代数学第四章部分习题答案
√−5] 满足因子链条件，同理可证 Rm 均满足因子链条件.
即 Z[
√
(1 +
5)] 为欧几里得整环.
12. 证明 Z[
证明 取函数 d(x) = |N (x)|. 对 ; ∈ Z[
Q. 取 v ∈ Z 使得 |2t − v| ≤ 1
√
2
偶. 则令 q =
5); r1 =
(u + v
5)]，令
5; s; t ∈
. 取 u ∈ Z 使得 |2s − u| ≤ 1 且保持 u; v 同奇或同
1
2
√
(2s − u + (2t − v)
5). 故
√
= s + t
(1 +
√
1
2
1
2
1
2
√
5)] 知 r1 ∈ Z[
= q + r1
√
5)].
(1 +
1
2
(2s − u)2
4
≤ 1
4
+
5
4
· 1
4
< 1
由 ; q; ∈ Z[
1
2
(1 +
d(r1) = |N (r1)| =
(2s − v)2
− 5
4
所以 d(r1) = |N (r1)| = |N (r1)N ()| < |N ()| = d()，所以 = q + r1
满足条件.
7
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