第 1 页 共 5 页（东方国信内部资料） FDC 故障诊断与分类算法总结 1.样本数据向量化的实现方法 在建模数据采集的模块中，所有选取的样本数据必须先经过噪声处理，再按照如下 方法进行矩阵向量化： x 11 x 21  x 1 n       x 12 x 22  x n 2     m m x 1 x 2  x nm       建模样本 按列平均    1[ n n  i 1  x i 1 1, n n  i 1  x i 2 ,  1, n n  i 1  x im ] 各数据样本经上述操作后，均可转化成一行向量，最后把所有的行向量按照既定的 顺序组成一个矩阵，即可得到建立主元模型的样本矩阵。 2.建模样本矩阵的三种滤波方法 [1]算术平均滤波法，基本原理：连续取 N 个采样值进行算术平均运算。当 N 值较 大时，信号平滑度较高；当 N 值较小时，信号平滑度较低，但灵敏度较高。 [2]限幅平均滤波法，基本原理：相当于“限幅平均滤波法+递推平均滤波法”，每次 采样到的新数据先进行限幅处理，再送入队列进行递推平均滤波处理。 限幅滤波法，基本步骤：根据经验判断，确定两次采样允许的最大偏差值(不妨设为 A)，每次检测到新值时判断： 如果本次值与上次值之差<=A，则本次值有效；如果本次值与上次值之差>A，则本 次值无效，放弃本次值，用上次值代替本次值。 递推平均滤波法，基本步骤：把连续的 N 个采样值看成一个队列(队列的长度固定为 N )，将每次采样到的新数据放入队尾，并仍掉原来队首的一次数据(先进先出原则)，把 队列中的 N 个数据进行平均算术运算，就可以获得新的滤波结果。 [3]一阶滞后滤波法，基本原理：取 )1,0( ，则本次滤波结果=(1-)*本次采样 值+*上次滤波结果。 3.建模样本矩阵的相关系数矩阵 1 

第 2 页 共 5 页（东方国信内部资料） 设 X  ( ijx ) mn  为建模样本矩阵，其中 n 为数据样本数，m 为工艺的变量个数，则 X 的相关系数矩阵可按照如下方法求解： X  x 11 x 21  x 1 n       m m   x x 12 1 x x 22 2  x x  2 n nm        [ x 1 i , x 2 i ,  , x ni ] T ，则矩阵 X  [ x 1 , x 2 ,  , mx ] ，矩阵 X 的相关系数矩阵可 设 x 表示为： i Corrcoef ( X )  x 2 ) (  x 1 , 2  x 1 ) (  , x 1 1  (  x m , x 1 ) (  x m , x 2 )           (  (  x 1 x , , 2  1 x x m m ) )       mm  式中 , ( i xx j ) 为向量 ix 与 jx ( i , j  ,2,1  , m )之间的相关系数，其具体的计算公 式如下： ( x , i x j ) = Cov ( xs i i , ( x x (*) xs j j ) ) 式中 Cov ( , i xx j ) 为向量 ix 与 jx 的协方差， ) ( ixs 与 ( jxs 为向量 ix 与 jx 的标准差，其 ) 具体的计算公式如下： Cov ( x i , x j )  (( xE i  ( xE i ))  ( x j  ( xE ))) j ( ixs ) = sqrt ( ( xD i ))  sqrt 1( n n  j 1  ( x ji  1 n n  j 1  x ji 2 )) 由上式可以看出： ) ( xD 相关系数矩阵都具有一共同特点：对角线上的元素全为 1。 Cov ( xE ( xE ))    x x ) ( , 2 i i i i i  (( xs i 2 )) ，因此所有矩阵的 设 x  [ x 1 , x 2 ,  , nx ] 、 y  [ y 1 , y 2 ,  , ny ] ，则 n 维向量 x 与 y 的标准差、协方差 以及相关系数的计算公式为： )( xE  1 n n  i 1  ix )( yE  1 n n  i 1  iy xyE ( )  1 n n  i 1  i yx i )( xD  1  1 n n  i 1  ( x i Ex  2) )( yD  1  1 n n  i 1  ( y i Ey  2) 2 

第 3 页 共 5 页（东方国信内部资料）  ,( yx )  ,( yx ) Cov )(*)( yDxD  xyE (  n 1 n  i n 1  ( i 1  yx i i x i   1 n 4.矩阵特征值与特征向量的求解 )(*)( ) yExE  )(*)( yDxD 1(*) n y ( yE  ))  y ( ) 1  2 n i i i x i n   1( n 1 i  ( *)) xE 2 n  i 1  求解矩阵特征值与特征向量的方法主要有：直接法，奇异值分解方法(SVD)，雅可 )求解出矩阵的所有特征 比方法。直接法是指先通过矩阵的特征多项式方程(  AE 0 值，然后再通过线性方程组求解出各特征值所对应的特征向量；奇异值分解是一种通过 矩阵分解和多次迭代来求解特征值与特征向量的方法，与直接法一样，它适合于所有的 方阵。 雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩 阵逐步化为对角阵，从而得到实对称矩阵的全部特征值及其相应的特征向量。 考虑到建模样本矩阵的相关系数矩阵都是实对称矩阵，在求解其特征值与特征向量 时，建议采用雅可比方法。雅可比方法的基本步骤如下： Step1：在相关系数矩阵 X 的非对角线元素中选取一个非零元素 ijx ，一般来说，取 绝对值最大的非对角线元素，设所取非零元素的行列为( row , col )。 Step2：构造一个单位矩阵 P ，要求单位矩阵 P 的维数必须与相关系数矩阵 X 的维数 相同； Step3：判断相关系数矩阵 X 的元素 X ( row , row ) 与 X ( col , col ) 是否相等，若二者 相等，则有： 若二者不相等，则有： k sin   22 ， cos   22 (*2 X  nis   cos  row k k , col sqrt sqrt [) X (*2[ (*2[ ( row k 2 k , 1  1  2 )  sqrt sqrt )] ( col X ( k 2  ( k  , col )])1 )])1 2 row Step4：构造平面旋转矩阵，对于 Step2 中已经生成的单位矩阵 P ，其中的部分元素 按照如下方法进行变换，其它的元素保持不变： ( rowP ( rowP , , ) row ) col   cos nis   P P ( col ( col , , ) col  ) row  cos sin   3 

第 4 页 共 5 页（东方国信内部资料） Step5：令 Step4 中生成的新矩阵为 1P ( 1P 即为平面旋转矩阵)，令 X 1 XPP T 1 1 ，计算 矩阵 1X ； Step6：以 1X 代替 X ，重复 1-5 步求出 2X 及 2P ，继续重复这一过程，直到 mX 的非 对角线元素全部满足： Step7： mX 的对角线元素即为相关系数矩阵 X 的全部特征值，矩阵 PPD 1 2 mP 的 ,( iX m j ) (为允许的误差精度) 第t 列向量即为对应特征值 t的特征向量。 5.主元个数及负荷向量的求解 设  1   2  m 为相关系数矩阵 X 的 m 个特征值，为用户所设置的信息覆盖 率，若存在最小的正整数 k ( mk 1    1 2  1 2 )满足：        k  m   则正整数 k ( mk 1 )为主元的个数，而特征值 1、 2 、 k、 所对应的特征向量 则为主元的负荷向量。 6. Hotelling 故障诊断方法实现 2T Hotelling 2T 故障诊断方法的基本原理：对于满足正态分布的测量样本 x 和主元模 型 M ，它们之间存在如下关系： MUCL MUCL ，则认为检测样本正常； ，则认为检测样本异常； [1]若 [2]若 )(2 )(2 xT xT )(2 xT 公式如下： 式中 为检测样本 x 的 2T 统计量，UCL 为主元模型 M 的控制限，其各自的计算 2  T (*) 统计量： 式中， X 为检测样本( X 必须经过标准正态化)， *) SDinv XP *  S ( T T ( ( *) Dinv ) XP P  为对角矩阵， XP knkF kn   ( , [ pp 1 2  kp ] 为主元的负荷向 S  为检测样本的得分矩阵。 /( )] ) 量矩阵， D  , , ( diag   1 2 (*[ n k UCLM  , )  m *)1  控制限： 式中，k 为主元的个数，n 为建模样本的个数，为工艺检验的显著性水平， F 为 F  分布在显著性水平下的临界值。 4 

第 5 页 共 5 页（东方国信内部资料） 7.Q (又称 SPE )故障诊断方法实现 Q (又称 SPE )故障诊断方法的基本原理：对于一般情况下的测量样本 x 和主元模型 M ，它们之间存在如下关系： [1]若 [2]若 式中 SPE SPE SPE ，则认为检测样本正常； )( x 2 )( x 2 )(x (平方预测误差)为检测样本 x 的Q 统计量， 2 ，则认为检测样本异常；  为 SPE 的置信限，其各 自的计算公式如下： ( X 统计量： SPE )  ~ X E 2  2 ˆ XX   T ( EX  T PP ) X 式中，X 为检测样本( X 必须经过标准正态化)，Xˆ 与 EX~ 分别为 X 的估计值和估计 偏差， E 为单位矩阵， P 为主元的负荷向量矩阵。 控制限： 2  1   [ C  2  1 h 2 0 / 2 1   2 ( hh 0 0  /)1 ] 0/12 h  1 式中，  i  m   i j 1 kj  ( 3,2,1i 、 k 为主元的个数)， h 2 0 2 21 3/ 31 验的显著性水平， C 为正态分布在显著性水平下的临界值。 ，为工艺检 5