2018 全国卷Ⅲ高考理科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合
A
|
x x
≥ ,
1
0
B , , ,则 A B
0 1 2
A. 0
B. 1
C.
1 2,
D.
0 1 2, ,
2.
1 i 2 i
A. 3 i
B. 3 i
C. 3 i
D. 3 i
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图
中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长
方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4.若
sin
A. 8
9
,则 cos2
1
3
B. 7
9
5.
2
x
5
2
x
的展开式中 4x 的系数为
C. 7
9
D. 8
9
A.10
B.20
C.40
D.80
6.直线
x
y 分别与 x 轴, y 轴交于 A , B 两点,点 P 在圆
2 0
x
2
2
2
y
上,则
2
ABP△ 面积的取值范围是
A.
2 6,
B.
4 8,
C. 2
3 2
,
D. 2 2
3 2
,
7.函数
y
x
4
2
x
的图像大致为
2
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式相互独立,设 X 为
该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,
DX ,
P X
2.4
4
P X
,则 p
6
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
9. ABC△ 的内角 A B C, , 的对边分别为 a ,b ,c ,若 ABC△
的面积为
a
A. π
2
B. π
3
C. π
4
2
c
,则 C
2
2
b
4
D. π
6
10.设 A B C D
, , , 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, ABC△
为等边三角形且其面积
为 9 3 ,则三棱锥 D ABC
体积的最大值为
A.12 3
B.18 3
C. 24 3
D. 54 3
F
11.设 1
F, 是双曲线
2
x
C
:
a
2
2
2
2
y
b
1
( 0
a
,
b
0
)的左,右焦点,O 是坐标原点.过 2F
作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若 1
PF
6
OP
,则 C 的离心率为
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
12.设
a
log 0.3
0.2
,
b
log 0.3
2
,则
A.
a b
ab
0
B.
ab
a b
0
C.
a b
0
ab
D.
ab
a b
0
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知向量
= 1,2
a
,
= 2, 2
b
,
= 1, λ
c
.若
2∥c
a + b ,则 ________.
14.曲线
ax
y
在点
1 ex
0 1, 处的切线的斜率为 2 ,则 a ________.
15.函数
f x
π
6
在
0 π, 的零点个数为________.
x
cos 3
1 1
16.已知点
M , 和抛物线
4
C y
x:
2
,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A ,B 两
点.若
∠
AMB
90
,则 k ________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
等比数列 na 中, 1
a
1
,
a
5
4
a
3
.
(1)求 na 的通项公式;
(2)记 nS 为 na 的前 n 项和.若
mS ,求 m .
63
18.(12 分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的
生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组
20 人。第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成
生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ,并将完成生产任务所需时间超
过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表:
超过 m
不超过 m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:
2
K
n ad
2
bc
a b c d a c b d
,
P K
2
k≥
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12 分)
如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直, M 是 CD 上异
于 C , D 的点.
(1)证明:平面 AMD ⊥平面 BMC ;
(2)当三棱锥 M ABC
体积最大时,求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.
20.(12 分)
已 知 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 椭 圆
2
x
C
:
4
2
y
3
1
交 于 A , B 两 点 , 线 段 AB 的 中 点 为
M
1
,
m m
0
.
(1)证明:
k ;
1
2
(2)设 F 为 C 的右焦点,P 为 C 上一点,且 FP FA FB
.证明: FA
, FP
, FB
0
成等差数列,并求该数列的公差.
21.(12 分)
已知函数
f x
2
x ax
2
ln 1
x
.
2
x
(1)若 0
a ,证明:当 1
时, 0
f x ;当 0
x 时, 0
f x ;
0
x
(2)若 0
x 是
f x 的极大值点,求 a .
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
cos
sin
,
( 为 参数), 过点
一题计分。
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在 平面 直角 坐标 系 xOy 中 , O⊙ 的 参数 方程 为
x
y
0
2,
且倾斜角为的直线 l 与 O⊙ 交于 A B, 两点.
(1)求的取值范围;
(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
设函数
f x
2
x
1
.
1
x
(1)画出
y
f x
的图像;
(2)当
∈ , ,
f x
0
x
ax b≤
,求 a b 的最小值.
参考答案:
2
D
3
A
4
B
5
C
6
A
7
D
8
B
9
C
10
B
11
C
12
B
14. 3
15.3
16.2
1
C
13. 1
2
17.(12 分)
解:(1)设{ }na 的公比为 q ,由题设得
na
1n
q
.
由已知得 4
q
24
q
,解得 0
q (舍去),
q 或 2
q .
2
故
na
( 2)n
1
或
na
12n
.
(2)若
na
( 2)n
1
,则
nS
n
1 ( 2)
3
.由
m
mS 得 ( 2)
63
,此方程没有正
188
整数解.
若
na
综上,
,则
12n
6m .
18.(12 分)
nS
2
1n
.由
mS 得 2
63
m ,解得
64
6m .
解:(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时
间至少 80 分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至
多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5
分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二
种生产方式的效率更高.
(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80
分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟,因此第二种
生产方式的效率更高.
(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的
最多,关于茎 8 大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布
在茎 7 上的最多,关于茎 7 大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所
需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第
一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知
m
列联表如下:
79 81 80
2
.
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)由于
2
K
40(15 15 5 5)
20 20 20 20
超过 m
15
5
不超过 m
5
15
2
10 6.635
,所以有 99%的把握认为两种生产方
式的效率有差异.
19.(12 分)
解:(1)由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所以
BC⊥平面 CMD,故 BC⊥DM.
因为 M为 CD 上异于 C,D的点,且 DC为直径,所以 DM⊥CM.
又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC.
而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)以 D为坐标原点, DA
的方向为 x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−
xyz.
当三棱锥 M−ABC体积最大时,M为 CD 的中点.
D
由题设得 (0,0,0),
AB
AM
( 2,1,1),
(2,0,0),
A
C
(0,2,0),
M
(0,1,1)
,
(2,2,0),
B
DA
(2,0,0)
(0,2,0),
, )
x y z
是平面 MAB的法向量,则
n
设 ( ,
AM
AB
n
n
0,
0.
即
n
可取 (1,0,2)
DA
2
2
y
z
y
x
0.
0,
.
是平面 MCD的法向量,因此
cos
,
n
DA
DA
DA
|
n
n
||
|
5
5
,
sin
,
n
DA
2 5
5
,
所以面 MAB与面 MCD所成二面角的正弦值是 2 5
5
.
20.(12 分)
解:(1)设
1(
A
x
,
y
1
),
B
(
,
x y
2
2
)
,则
2
x
1
4
2
y
1
3
2
x
21,
4
2
y
2
3
1
.
两式相减,并由
1y
x
1
2
y
x
2
k
得
y
1
y
2
3
0
k
.
x
1
x
2
4
y m
2
,于是
k
3
4
m
.①
x
由题设知 1
x
2
2
1,
y
1
2
由题设得
0
m
,故
3
2
k .
1
2
(2)由题意得 (1,0)
F
,设 3
(
P x y ,则
)
,
3
(
x
3
1,
y
3
)
(
x
1
1,
y
1
)
(
x
2
1,
y
2
)
(0,0)
.
x
由(1)及题设得 3
3 (
x
1
x
2
) 1,
y
3
(
又点 P在 C上,所以
m ,从而
3
4
(1,
P ,
)
3
2
2
y
y
1
|
FP
|
)
2
m
0
.
3
2
.
于是
同理
所以
|
|
故 2 |
FA
|
|
(
x
1
2
1)
2
y
1
(
x
1
2
1)
3(1
2
x
1
4
)
2
x
1
2
.
.
| 2
x
FB
2
2
|
| 4
FA
FB
FA
FP
FB
|
|
|
|
|
(
x
1
1
2
|
,即|
.
) 3
x
2
FA FP FB
|,|
|,|
|
成等差数列.
设该数列的公差为 d,则