1990年黑龙江高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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1990 年黑龙江高考理科数学真题及答案一、选择题（共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分） 1．（4 分）方程 = 的解是（） A． x= B． x= C．x= D．x=9 2．（4 分）把复数 1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（） A． B． i C． D． 3．（4 分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S，那么圆柱的体积等于（） A． B． C． D． 4．（4 分）方程 sin2x=sinx 在区间（0，2π）内的解的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（4 分）已知如图是函数 y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（） A．ϖ= ，φ= B．ϖ= ，φ=﹣ C．ϖ=2，φ= D．ϖ=2，φ=﹣ 6．（4 分）函数的值域是（） A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4}D．{﹣4，﹣2，0， 4} 7．（4 分）如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x﹣b 关于直线 y=x 对称，那么（） A． a= ，b=6 B． a= ，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6 8．（4 分）极坐标方程 4sinθ=5ρ表示的曲线是（）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 9．（4 分）设全集 I={（x，y）|x，y∈R}，集合 M={（x，y）| =1}，N=（x，y）|y≠ x+1．那么等于（） A． B．{（2，3）} C．（2，3） D．{（x，y）|y=x+1} 10．（4 分）（2010•建德市模拟）若实数 x、y 满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（） A． B． C． D． 11．（4 分）如图，正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于（） A．90° B．60° C．45° D．30° 12．（4 分）已知 h＞0．设命题甲为：两个实数 a，b 满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数 a，b 满足|a﹣1|＜h 且|b﹣1|＜h．那么（） A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4 分）A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（A，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（） A．24 种 B．60 种 C．90 种 D．120 种 14．（4 分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（） A．70 个 B．64 个 C．58 个 D．52 个 15．（4 分）设函数 y=arctgx 的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 C．又设图象 C'与 C 关于原点对称，那么 C'所对应的函数是（） A．y=﹣arctg（x﹣ B．y=arctg（x﹣2）C．y=﹣arctg D．y=arctg（x+2） 2）（x+2）二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）

16．（5 分）双曲线的准线方程是 _________ ． 17．（5 分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5 的展开式中，x2 的系数等于 _________ ． 18．（5 分）（2011•上海模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果 sn 是{an}的前 n 项的和，那么等于 _________ ． 19．（5 分）函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是 _________ ． 20．（5 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分，那么 V1：V2= _________ ．三、解答题（共 6 小题，满分 65 分） 21．（10 分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数． 22．（10 分）已知 sina+sinB= ，cosa+cosB= ，求 tg（a+B）的值． 23．（10 分）如图，在三棱锥 SABC 中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC．DE 垂直平分 SC，且分别交 AC、SC 于 D、E．又 SA=AB，SB=BC．求以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的二面角的度数． 24．（11 分）设 a 为实数，在复数集 C 中解方程：z2+2|z|=a．

25．（12 分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e= ，已知点 P（0 ）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于的点的坐标． 26．（12 分）f（x）=lg ，其中 a 是实数，n 是任意自然数且 n≥2．（Ⅰ）如果 f（x）当 x∈（﹣∞，1]时有意义，求 a 的取值范围；（Ⅱ）如果 a∈（0，1]，证明 2f（x）＜f（2x）当 x≠0 时成立．参考答案一、选择题（共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分） 1．考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．分析：根据指数式与对数式的互化可知， ⇔ ，进而得到答案．解答：解：∵ ∴ ∴ 故选 A．点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化． 2．考点：复数代数形式的混合运算．把复数 1+i 乘以 cos（﹣ ）+isin（﹣ ），化简为代数形式即可．解：复数 1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+i）[cos（﹣ ）+isin（﹣ ）]=（1+i） = ，故选 D．复数旋转，实际上复数乘以一个模为 1 的辅角为﹣ 复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题．分析：解答：点评： 3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：计算题．分析：设圆柱高为 h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解答：解：设圆柱高为 h，则底面半径为．由题意知，S=πh2， ∴h= ， ∴V=π（）2•h= ．故选 D．点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型． 4．考点：正弦函数的图象；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过二倍角公式化简的 2sinxcosx=sinx，进而推断 sinx=0 或 cosx= ，进而求出 x 的值．解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinx ∴sinx=0 或 cosx= ∵x∈（0，2π） ∴x=π或或故选 C 点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题． 5．考点：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合法．分析：解答：由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知 ω• + =2π，求出ω．解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ= ，∵|φ|＜， ∴φ= ，故函数 y=2sin（ωx+ ），又∵函数图象过点（，0）， ∴0=2sin（ω• + ），由五点法作图的过程知，ω• + =2π， ∴ω=2，综上，φ= ，ω=2，故选 C．点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标

分别为：0，，π，，2π． 6．考点：函数的值域；三角函数的化简求值．专题：计算题；分类讨论．分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解答：解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠ ，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当 x 是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故 y=4；当 x 是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故 y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；当 x 是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故 y=﹣1﹣1+1+1=0；当 x 是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故 y=﹣2；所以函数的值域是{﹣2，0，4}．故选 B．点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值． 7．考点：反函数．分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出 y=ax+2 的反函数令其与 y=3x﹣b 的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．解答：解：法一：由题意，函数 y=3x﹣b 的反函数为 y= ，与 y=ax+2 对照可得 a= ，b=6；法二：在 y=ax+2 上取点（0，2），则点（2，0）在 y=3x﹣b 上，故得 b=6；又 y=3x﹣6 上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在 y=ax+2 上，代入得 a= ，由此可得 a= ，b=6 答案：a= ，b=6 点评：本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁． 8．考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先在极坐标方程 4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．

解答：解：将方程 4sinθ=5ρ两边都乘以 p 得：4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为 5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．故选 A．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 9．考点：交、并、补集的混合运算．分析：先化简集合 M，再计算解答：解：∵M={（x，y）|y=x+1 或（x，y）≠（2，3）}，． ∴ 又∵ ∴ 故答案选 B．．．，点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素． 10．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为 k 则 y=kx 由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选 A 点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．

11．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 AC 的中点 D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取 AC 的中点 D，连接 DE、DF，∠DEF 为异面直线 EF 与 SA 所成的角设棱长为 2，则 DE=1，DF=1，根据 SA⊥BC，则 ED⊥DF ∴∠DEF=45°，故选 C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 12．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．解答：解：由|a﹣1|＜h 且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令 h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选 B 点评：|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法． 13．考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有 A5 而其中 B 站在 A 的左边与 B 站在 A 的右边是等可能的，则其情况数目是相等的， 5 种情况，则 B 站在 A 的右边的情况数目为 ×A5 5=60，故选 B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．

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