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2010年河北高考文科数学真题及答案.doc

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2010 年河北高考文科数学真题及答案 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)cos300°=( ) A. B.﹣ C. D. 2.(5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,4},N={1,3,5},则 N∩(∁UM)=( C.{3,5} D.{4,5} A.{1,3} B.{1,5} ) 3.(5 分)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=x﹣2y 的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.(5 分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A. B.7 C.6 D. 5.(5 分)(1﹣x)4(1﹣ )3 的展开式 x2 的系数是( ) A.﹣6 B.﹣3 C.0 D.3 6.(5 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成 的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.(5 分)已知函数 f(x)=|lgx|.若 a≠b 且,f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 8.(5 分)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2﹣y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则 |PF1|•|PF2|=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 9.(5 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D. 10.(5 分)设 a=log32,b=ln2,c= ,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 11.(5 分)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 的最小值为( ) A. B. C. D. 12.(5 分)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为( ) A. B. C. D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)不等式 的解集是 . 14.(5 分)已知α为第二象限的角, ,则 tan2α= . 15.(5 分)某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求 两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答) 16.(5 分)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 ,则 C 的离心率为 . 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,设 S3=12,且 2a1,a2,a3+1 成等比数列,求 Sn. 18.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=acotA+bcotB,求内角 C. 19.(12 分)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评 审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设 稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3.各专家
独立评审. (Ⅰ)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (Ⅱ)求投到该杂志的 4 篇稿件中,至少有 2 篇被录用的概率. 20.(12 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC⊥平面 SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A﹣DE﹣C 的大小. 21.(12 分)求函数 f(x)=x3﹣3x 在[﹣3,3]上的最值. 22.(12 分)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 K(﹣1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 ,求△BDK 的内切圆 M 的方程.
参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)cos300°=( ) A. B.﹣ C. D. 【分析】利用三角函数的诱导公式,将 300°角的三角函数化成锐角三角函数求值. 【解答】解:∵ 故选 C. . 2.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,4},N={1,3,5}, 则 N∩(∁UM)=( A.{1,3} ) B.{1,5} C.{3,5} D.{4,5} 【分析】根据补集意义先求 CUM,再根据交集的意义求 N∩(CUM). 【解答】解:(CUM)={2,3,5},N={1,3,5},则 N∩(CUM)={1,3,5}∩{2,3,5}={3, 5}. 故选 C 3.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=x﹣2y 的最大 值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣2y 表示直线在 y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 【解答】解:画出可行域(如图),z=x﹣2y⇒y= x﹣ z, 由图可知, 当直线 l 经过点 A(1,﹣1)时, z 最大,且最大值为 zmax=1﹣2×(﹣1)=3.
故选:B. 4.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6= ( ) A. B.7 C.6 D. 【分析】由数列{an}是等比数列,则有 a1a2a3=5⇒a2 【解答】解:a1a2a3=5⇒a2 a7a8a9=10⇒a8 2=a2a8, 3=10, 3=5; a5 3=5;a7a8a9=10⇒a8 3=10. ∴ ,∴ , 故选 A. 5.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)(1﹣x)4(1﹣ )3 的展开式 x2 的系数是( ) A.﹣6 B.﹣3 C.0 D.3 【分析】列举(1﹣x)4 与 可以出现 x2 的情况,通过二项式定理得到展开式 x2 的系数. 【解答】解:将 看作两部分 与 相乘,则出现 x2 的情况有: ①m=1,n=2;②m=2,n=0; 系数分别为:① =﹣12;② =6; x2 的系数是﹣12+6=﹣6 故选 A
6.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面 直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【分析】延长 CA 到 D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成 的角,而三角形 A1DB 为等边三角形,可求得此角. 【解答】解:延长 CA 到 D,使得 AD=AC,则 ADA1C1 为平行四边形, ∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角, 又 A1D=A1B=DB= AB, 则三角形 A1DB 为等边三角形,∴∠DA1B=60° 故选 C. 7.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)已知函数 f(x)=|lgx|.若 a≠b 且,f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【分析】由已知条件 a≠b,不妨令 a<b,又 y=lgx 是一个增函数,且 f(a)=f(b),故可 得,0<a<1<b,则 lga=﹣lgb,再化简整理即可求解;或采用线性规划问题处理也可以. 【解答】解:(方法一)因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|, 不妨设 0<a<b,则 0<a<1<b,∴lga=﹣lgb,lga+lgb=0 ∴lg(ab)=0 ∴ab=1, 又 a>0,b>0,且 a≠b ∴(a+b)2>4ab=4 ∴a+b>2 故选:C.
(方法二)由对数的定义域,设 0<a<b,且 f(a)=f(b),得: , 整理得线性规划表达式为: , 因此问题转化为求 z=x+y 的取值范围问题,则 z=x+y⇒y=﹣x+z,即求函数的截距最值. 函数图象过点(1,1)时 z 有最小为 2(因为 根据导数定义, 是开区域,所以取不到 2), ∴a+b 的取值范围是(2,+∞). 故选:C. 8.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)已知 F1、F2 为双曲线 C:x2﹣y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ∠F1PF2=60°,则|PF1|•|PF2|=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】解法 1,利用余弦定理及双曲线的定义,解方程求|PF1|•|PF2|的值. 解法 2,由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等,解出|PF1|•|PF2|的值. 【解答】解:法 1.由双曲线方程得 a=1,b=1,c= , 由余弦定理得 cos F1PF2= ∠ ∴|PF1|•|PF2|=4. 法 2 ; 由 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 得 :
∴|PF1|•|PF2|=4; 故选 B. 9.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 BB1,上下底面中心的连线与平面 ACD1 所成角, 即为 BB1 与平面 ACD1 所成角, 直角三角形中,利用边角关系求出此角的余弦值. 【解答】解:如图,设上下底面的中心分别为 O1,O,设正方体的棱长等于 1, 则 O1O 与平面 ACD1 所成角就是 BB1 与平面 ACD1 所成角,即∠O1OD1, 直角三角形 OO1D1 中,cos∠O1OD1= = = , 故选 D. 10.(5 分)(2010•大纲版Ⅰ)设 a=log32,b=ln2,c= ,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 【分析】根据 a 的真数与 b 的真数相等可取倒数,使底数相同,找中间量 1 与之比较大小, 便值 a、b、c 的大小关系. 【解答】解:a=log32= ,b=ln2= , 而 log23>log2e>1,所以 a<b,
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