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大学生数学建模论文题.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.28M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    安全跳伞
    一、问题的提出
    二、模型的假设
    三、符号说明
    三、问题的分析
    五、模型的建立与求解
    5.1．导出运题速度与空气阻力之间的关系
    5.2．分析运动员下降过程中的运动
    5.2.1．跳伞员安全着陆时的终极速度
    5.2.2．跳伞员在下降过程中的极限速度
    5.2.3．达到极限速度时所需要的时间及下落的距离
    5.2.4．从极限速度实现软着陆下降的距离，确定最佳打开伞时间
    六、模型的评价与改进
    七、参考文献
    八、附录
    2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 安全跳伞 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 天津农学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 曹海鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 穆志民 日期：2010 年 6 月 27 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
    2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
    安全跳伞 摘要 跳伞，作为军队尤其是空军必须掌握的技术之一。飞行员和空降兵都有良好 的跳伞技术，战争中，空降兵通过伞降方式，从空中进入战斗，可以超越地面防 线和障碍，提高快速机动能力，直接在敌部署内展开攻击，易于达成战斗的突然 性和有利的战斗态势。跳伞作为航空飞行的救生手段，曾挽救了许多飞行员的宝 贵生命，当飞行员在空中遇特殊情况，危及人身安全时，可以达到救生的目的。 在和平时期，跳伞可作为部队的重要训练科目。 现在，由于跳伞具有的挑战性和观赏性，作为一项运动、娱乐和表演项目吸 引越来越多爱好者和勇敢者加入其中。因此，跳伞是否安全将会在比赛前做仔细 的检查。当出现意外时，有备用伞作保障，做到万无一失。 跳伞的者技术的优良，关键在他判断打开伞的时机，以达到快速到达地面且 是安全着陆。因此，跳伞有着相当的技术性。在高空中从飞机跳伞，整体分为两 个过程，开始时自由落体过程，经过一段时间，打开伞完成软着陆过程。对于跳 伞者来说至关重要的是打开降落伞的时机，显然不能打开太晚，否则着陆时速度 过大，会造成伤害乃至致命。另一方面，由于高空空气稀薄，自由下落速度迅猛， 能大大增强跳伞的乐趣，有时可能由于跳伞者与飞机或其他跳伞者太近，由于气 流的影响，以致无法打开降落伞，影响跳伞人员的生命安全。 本题中，我们将利用数学模型来解决最佳打开降落伞的问题。在本题过程中 计算过程中，我们采用运动学分析公式来分析，同时我们将用到牛顿第二定律等 物理知识，同时还有数学积分公式等来分析问题。 首先，我们利用相关力学知识导出相关运动中的问题与空气中阻力的关系， 得到空气阻力与物体速度的平方成正比关系，即 , R bv b  2  1 2 c A . 其次，我们分析跳伞员在落下的过程中的运动情况。跳伞员在下落的过程中， 因受到空气阻力的影响，阻力随着下落速度的增大而逐渐增大，最终会达到一个 mv 平衡状态。在达到平衡时，运动员的速度将会达到一个极限值，即 '  54 / m s 。 达到平衡后，在适当时机打开伞，因阻力特别大，运动员做减速运动，当到达地 面时，要想安全着陆，与地面接触的收尾速度必须控制在一定范围内。经过计算 得到收尾速度 mv  5.0 / m s 时，跳伞员与地面实现软着陆，能保障他的生命安全。 再次，我们求出跳伞员从高空跳下达到极限速度是下落的距离 1H ，经计算 H 1  387 m ，同时计算出由极限速度开伞安全到达地面时的距离 2H , H 2  128 m 。 最后，我们利用 matlab 画出达到极限速度与时间的关系图，结合图形分析， 来比较我们计算最假开伞时间与理论上的偏差，便于改进。 【关键字】：空气阻力 收尾速度 极限速度 1
    一、问题的提出 在高空中从飞机上跳伞，下降的第一个阶段是自由落体运动，持续一段时间 后，跳伞者打开降落伞完成软着陆。对于跳伞者来说至关重要的是打开降落伞的 时机，显然不能打开太晚，否则着陆时速度过大，会造成伤害乃至致命。另一方 面，由于高空空气稀薄，自由下落速度迅猛，能大大增强跳伞的乐趣，有时可能 由于跳伞者与飞机或其他跳伞者太近，以致无法打开降落伞。 能否建立一个跳伞运动模型，据此讨论是否存在打开伞的最佳位置。应考虑 跳伞者的重量；准确估计空气阻力及打开散后空气阻力的明显变化，着陆速度。 可设想飞机以 125m/s 的速度在 500m 的高空水平飞行。 怎样来确定最佳开伞位置，使得跳伞者安全着陆不受伤，这将是我们要做的。 因此，确定好最佳位置对跳伞者有极大的指导意义。 二、模型的假设 在实际跳伞的过程中，我们不可能把跳伞当做一个自由落体运动。因为在跳 伞的过程中，有外界条件的影响，比如，跳伞者自身的质量，阻力的影响和当时 的天气等。在本题的过程中，我们可以采取控制变量法，因此作如下假设： 1、我们假定当天天气良好，无风无雨等，伞本身是安全的。 2、跳伞者在最佳打开位置时能准确打开伞，旋翼尾流等其他一切有关因素都不 作考虑。 3、在下降的过程中，我们只考虑空气阻力对其影响，其他作用力均不考虑，且 只有竖直方向上受到阻力。 4、空气的密度是均匀恒定的。 三、符号说明 0v   飞机的水平初速度（ 0 v  125 / m s ） mv   收尾速度（软着陆时的速度） 'mv   极限速度（最大速度） 2
    E   流体的动能 g   重力加速度（ g  9.8 / m s 2 ） m   跳伞者的质量和伞的质量之和 A   迎风截面积（ A  0.34 m 2 ） t   到达极限速度是所需的时间   空气密度(  1.25 /kg m 3 ) t   时间的改变量 R   空气阻力 c   空气阻力系数( c  1.2 ) H   飞机的飞行高度（即起跳高度， H  500 m ） 1H   到达极限速度是下降的距离 2H   打开伞到着地的距离 三、问题的分析 高空跳伞不仅是一种具有挑战性的项目，现在更多的是将该运动融入大众， 不仅仅是空降兵和飞行员的特权。由于跳伞具有的挑战性和观赏性，作为一项运 动娱乐和表演项目吸引越来越多爱好者和勇敢者加入其中。但作为一种推广运动 在推广的过程中，要考虑很多问题，安全问题当然是重要问题。 安全问题，其实就是如何实现软着陆，以确保跳伞者的安全。从高空跳下， 在打开伞之前，先是做自由落体的运动，这个过程我们考虑空气阻力，所以速度 不会一直增大，最终达到一个平衡速度。当速度达到极值后，我们再选择适当的 时机来打开伞，确保在落地时达到安全速度 5m/s，这样跳伞者就实现了安全跳 伞。 3
    如何来定位这个最佳跳伞位置，我们依据具体数据来计算。首先由两种，一 ov  ， 种是无初速度的跳伞，即跳伞者做阻力的自由落体运动。另一种是初 速度 0 这是我们运动分解为水平方向上和竖直方向两种运动，水平方法上我们不考虑其 他受力，竖直方向则考虑到空气阻力。这样问题就简化了许多。 五、模型的建立与求解 5.1．导出运题速度与空气阻力之间的关系 用一简化的模型，设一截面积为 A 的圆柱体在流通中一速度 v 运动，则在 t 的时间内前方排开的体积为 Av t ，这些流体得到的动能为 m Av t   ， 1 为流体的密度。 E    ， mv 2 1 2 由动能定理可得，流体的动能等于施与流体的力对流体所作的功 W ，即 W Fv t    ，又 W= E  ，可得  Av ……………………………(1) 2 1F= 2 由牛顿第三定律可知，流体对圆柱体的反作用了等于圆柱体运动中所受到的 1 2 阻力 R ，可得 R Av 2 ………………………………………………..(2) R c A 通常阻力 R 的大小通常与流体表面的光滑程度有关，所以通常记为 1 ， c 为阻力系数……………………………………………….(3) 2 由（3）我们把公式简化， …………………….(4) , R bv b c A   2 1 2 对于跳伞运动员，一般情况 1.20 因此，由公式(4)可知，空气阻力与运动中的物体速度的平方成正比。 ，方便计算。 c  5.2．分析运动员下降过程中的运动 5.2.1．跳伞员安全着陆时的终极速度 跳伞运动员从飞机上跳下，我们在计算的的过程中，不考虑水平方向上速度 变化对其影响，进行独立分解为两个运动。我们主要分析跳伞运动员在下降的过 程中的运动情况。 跳伞运动员和伞的质量质量之和为 m ，在竖直方向上的静止（相对于飞机）， 运动员从静止开始落下，由牛顿第二定律有： b m ,进一步化简有 dvm dt mg bv dv dt     g 2 v 2 ……………………(5) 4
    由公式(5)可知，跳伞员在下落的过程中，开始的加速度为最大及重力加速 度 g ，随着下落速度逐渐增大，所受到的阻力也逐渐增大，因而加速度也随之减 小。当下落速度增大到一定值时，阻力与重力大小相等，跳伞员所受的合力为零， 物体将以收尾速度 mv 匀速下降。 2 v m  时开始匀速下降。因此可以得到 mv 由 mg b 如下关系， v m  mg b  2 mg c A 面积 A ，空气密度有关。 。可以看出，终极速度与跳伞者的质量 m ，迎风 经资料显示，一般来说，正常人丛 1.5 米高处跳下，着地时安全的。在这种 情况下，我们忽略空气阻力，由自由落体公式可得， v  2 gh  5.4 / m s ，为了方 便计算，我们可以取 mv  5.0 / m s ，这就是跳伞员安全着陆时的速度，只有到达 地面速度不超过 mv ，才能确保安全。 5.2.2．跳伞员在下降过程中的极限速度 当跳伞员刚刚离开飞机时，跳伞员因受到重力作用而向下加速。刚开始，他 的重力加速度为 g ，为了缩短在空中的降落时间，他暂时不拉开降落伞，二是保 持自由降落，当速度增大时，他所受到的空气阻力随之增大，经过一段时间后， 空气阻力与重力的作用相平衡。此时的最大速度就是极限速度。在适当的时刻， 跳伞员会打开伞，使得空气阻力突然加大，最终实现与地面发生软碰撞，安全着 陆，即速度为 mv  5.0 / m s 。 为了分析跳伞员在空中的下坠现象，我们选取竖直向上位正方向，作用在跳 伞员上的合力可以近似写为： mg bv 其中阻力 2bv 位正值，方向向上， 1 2   F b  …………………………….(6) 2 c A ，当重力与空气阻力相平衡时， 他达到的极限速度为： v m  mg b  2 mg c A ……………………………….(7) 求解运动微分方程： F m  dv dt   mg bv  ，整理可得 2 dv dt   g (1  2 v v m 2 ' ) …(8) 进行积分： 1  0 dv 2  2 v v m '   g 2 v m ' 1 0  ……………………………………(9) dt 5
    积分过后得到： 2 1 ln v m 2 '    v m v m ' '  v  v    gt 2 v m ' …………………………………(10) 因此， v   v m ' 1 exp( 2   1 exp( 2   / gt v m / gt v m ' ' ) ) …………………………………………...(11) 我们算出 'mv ， ' v m  2 mg c A ，对于不张开伞的运动员，我们取身体下降时的 迎风面积 A  0.34 m 2 ，空气阻力系数由实验知 1.2 c  ，空气密度  1.25 /kg m 3 ， v 代入 ' m  2 mg c A v 得出 ' m  2 mg c A  自由落体时的最大速度为 54m/s。  2 75 9.8   1.20 1.25 0.34   53.7( m s / ) 54(  / ) m s ，即 5.2.3．达到极限速度时所需要的时间及下落的距离 由公式(11)知，跳伞员跳下经过t s 后达到极限速度，当 t  '2 mv g 时，根据公 式有 v   v m ' 1 exp( 4)  1 exp( 4)      0.97 v m ' ，可以算得 t  '2 mv g  11( ) s ，根据公式(11)积分 有， dx  ， vdt x  1 dx   v m ' t  0  1   2exp( 2  1 exp( 2   / gt v m / gt v ' m ) ) ' dt ……………………..(12)    积分结果是 h x   v m '  t    ' v m g ln     2 1 exp( 2   / gt v m ')         ………………..…(13) 经过 t  '2 mv g ，速度达到极限速度是已经降落的距离为 1H ， H 1  2 mv ' g    2 ln  2   1 e   4        2 54 9.8  (2 0.7) 387(   m ) ，计算得 1H =387(m) 5.2.4．从极限速度实现软着陆下降的距离，确定最佳打开伞时间 当在达到极限速度前可能已经打开了伞，也可能没有打开伞。如果距离够高， 那么打开伞肯定在达到极限速度后，且保持极限速度匀速运动一段时间再打开。 对于高度比较低的，我们则要进行计算，才能得出在结果，在极限速度前打开还 是在极限速度后打开。 根据资料显示，自动开伞到打开伞需要的时间是 4s，这段时间，伞衣张开， 6
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