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2010黑龙江考研数学三真题及答案.doc
2010 黑龙江考研数学三真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)若
lim[
0
x
1
x
(
1
x
（Ａ）０
x
)
a e
] 1
，则 a 等于
（Ｂ）１
(2) 设 1y , 2 y 是一阶线性非齐次微分方程
y
（Ｃ）２
p x y
q x
（Ｄ）３
的两个特解. 若常数,
y
使 1
y
2
是该方程的解,
是对应的齐次方程的解, 则
2
（A）
1
2
,
1
2
(B)
y
y
1
1
2
,
(C)
1
2
g x
2
3
,
,
(D)
2
3
1
2
3
3
a 是 ( )g x 的极值，则
（3）设函数 ( ),
f x g x 具有二阶导数，且 ( ) 0
( )
。若 0(
g x
)
f g x 在 0x 取极大值的一个充分条件是
(A)
f a
0
(B)
f a
0
(C)
f
a
0
(D)
f
a
0
10
（4）设
f x
g x
h x
(A)
ln
x
,
f x
g x
x
,
h x
.
(C)
f x
g x
h x
.
x
10
，则当 x 充分大时有
e
(B)
h x
g x
f x
.
(D)
g x
f x
h x
.
(5) 设向量组
:
I
r
,
,
,
1
2
可由向量组
II :
线性表示, 则列命题正确的
1
,
,
,
2
s
是
(A) 若向量组 I 线性无关, 则 r
(C) 若向量组 II 线性无关, 则 r
s
s
(B) 若向量组 I 线性相关, 则 r
(D) 若向量组 II 线性相关, 则 r
s
s
(6)设 A 为 4 阶对称矩阵,且 2
A
A 若 A 的秩为 3,则 A 相似于
0
(A)
(C)
1
1
1
1
0
1
1
0
(B)
(D)
1
1
1
0
1
1
1
0
1
x
0
0,
1
2
1
,0
x
1
，则
P X
1
e
x
,
x
(C)
1
1
2
上均匀分布的概率密度,
e
(D)
1
1 e
1
(7) 设随机变量 X 的分布函数
( )
F x
(A) 0
(B) 1
(8) 设 1( )
f x 为标准正态分布的概率密度 2( )
f x 为[ 1,3]
( )
f x
(A) 2
a
1
( ),
af x x
( ),
bf x x
2
4
3
b
(
a
0,
0
0
(B) 3
a
b
0)
为概率密度,则 ,a b 应满足
2
b
4
(C)
a b
1
(D)
a b
2
二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
（9）设可导函数
y
y x
由方程
x y
0
2
te dt
x
0
x
sin
2
t dt
确定，则
dy
dx
x
0 ______
（10）设位于曲线
y
1
(1 ln
x
2
x
)
(
e
x
)
下方, x 轴上方的无界区域为 G , 则 G
绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为 _________ 。
（11）设某商品的收益函数为
1 p
R p ，收益弹性为
3
, 其中 p 为价格, 且 1
R
1
, 则
R p
_______
（12）若曲线
y
3
x
2
a x
bx
有拐点
1
1, 0
, 则 ________
b
。
(13) 设 ,A B 为 3 阶矩阵, 且
A
3
,
B
2
, |
A
1
B
|
2 则|
,
A B
1
|
_______ .
（ 14 ） 设 1
X X
,
,
2
X 是 来 自 总 体
,
n
N 的 简 单 随 机 样 本 。 记 统 计 量
0)
)(
(
,
2
T
1 n
，则 ( )
E T
n
1
i
X
2
i
_______
。
三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)
（15）(本题满分 10 分)
求极限
lim (
x
x
1
x
1
ln
x
1)
（16）(本题满分 10 分)
(
计 算 二 重 积 分
D
x
3
)
y dxdy
,其 中 D 由 曲 线
x
1
2
与 直 线
y
x
2
y
及
0
x
2
y
围成.
0
2
（17）(本题满分 10 分)
求函数
u
xy
2
yz
在约束条件 2
x
2
y
2
z
下的最大值和最小值 .
10
(18) (本题满分 10 分)
(1)比较
(2)记
nu
1
0
ln [ln(1
t
t
)]n
dt
1
0
ln [ln(1
t
t
)]
n
1
0
与
,(
dt n
nt
ln
t dt n
(
1,2,
的大小,说明理由。
)
1,2,
求极限 lim n
u
)
n
。
（19）(本题满分 10 分)
设函数
f x 在闭区间
0, 3 上连续, 在开区间
0, 3 内存在二阶导数, 且
2 (0)
f
0, 2
, 使得
(I) 证明存在
2
0
f
( )
f x dx
f
(2)
f
(3)
( )
f
0
；
(II) 证明存在
0, 3
(20) (本题满分 11 分)
, 使得 ( ) 0
f
。
已知线性方程组 AX b 存在两个不同的解.
设
A
0
1
1
1
1
1 0
，
b
a
1
1
(1) 求 ,a ；
(2) 求方程组 AX b 的通解.
(21) (本题满分 11 分)
设
A
0
1
4
1 4
3
a
0
a
求 ,a Q .
,正交矩阵 Q 使得 TQ AQ 为对角矩阵.若 Q 的第一列为
1 (1,2,1)
6
T ,
(22)(本题满分 11 分)
设 二 维 随 机 变 量 (
)X Y 的 概 率 密 度 为
,
( ,
f x y
)
Ae
2
2
x
2
xy y
2
，
，
x
求常数 A 以及条件概率密度
y
Y Xf
|
|
y x 。
(23) (本题满分 11 分)
箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球, 记
X 为取出红球的个数, Y 为取出白球的个数 .
(I) 求随机变量
,X Y 的概率分布；
(II) 求
Cov X Y .
,
3
参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a.
【详解】由于
lim[
0
x
1
x
(
1
x
x
)
a e
]
lim
0
x
1
x
e
x
axe
x
lim(
0
x
1
x
e
x
ae
x
)
lim
0
x
1
x
e
x
lim
0
x
x
ae
a
1
从而由题设可得 1 1
a ，即 2
a ，故应选（C）
(2) 【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构
【详解】因为 1y , 2 y 是一阶线性非齐次微分方程
y
p x y
q x
的两个特解，所以
y
1
p x y
1
y
2
p x y
2
q x
---------------------------（1）
y
由于 1
y
2
是该方程的解,则
(
y
y
1
2
)
p x
(
y
y
1
)
2
q x
即
(
y
1
p x y
1
)
(
y
2
p x y
2
)
q x
将（1）代入上式可得：
——————————————（2）
1
由于
y
y
1
2
是对应的齐次方程的解
则
(
y
y
1
2
)
p x
(
y
y
1
) 0
，即
(
2
y
1
p x y
1
)
(
y
2
p x y
2
) 0
将（1）代入上式可得：
——————————————（3）
0
由（2）、（3）可得
。故应选（A）
1
2
评注：设 1
,
y y
,
2
y 是一阶线性非齐次微分方程
,
s
y
p x y
q x
的解，则对于常数
,
k k
1
2
,
k ，有下列结论：
,
s
k
⑴ 若 1
k
2
k
s
1
k y
，则 1 1
k y
2
2
k y
s
s
是方程
y
p x y
q x
的解；
k
⑵ 若 1
k
2
k
s
0
k y
，则 1 1
k y
2
2
k y
s
s
是方程
y
p x y
的解。
0
（3）【分析】本题主要考查导数的应用.求
要条件及充分条件。
【详解】令
( )F x
f g x
，则
f g x 的一、二阶导数，利用取得极值的必
4
( )
F x
f g x
f
g x
g
x
,
( )
F x
f g x
{ [
f g x
]
g x
}
f
g x
[
g x
]
2
f g x
g
x
由
0
g x
a 是 ( )g x 的极值知
0
g x
。于是有
0
F x
0(
) 0
，
(
F x
0
)
(
( )
f a g x
0
)
由于 ( ) 0
g x
, 要使
(
F x
0
)
f g x
0
0
, 只要
f a
0
.
因此应选(B)
（4）.【分析】计算两两比的极限便可得到答案
【详解】因为
lim
x
( )
f x
( )
g x
lim
x
10
ln
x
x
10 lim
x
x
9
ln
x
10 9 lim
x
x
8
ln
x
10! lim
x
x
ln
x
lim
x
( )
g x
( )
h x
lim
x
x
x
10
e
lim
x
,
0
1
x
10
e
1
10
10! lim
1
x
x
0
,
由此可知当 x 充分大时, ( )
f x
( )
g x
( )
h x
，故应选（C）。
(5) 【分析】本题考查向量组的线性相关性。
【详解】因向量组 I 能由向量组 II 线性表示，所以 I
(
1
s
(
）
r
r
r（ ） （ ），即
,
,
II
r
r
s
)
,
,
,
,
,
1
2
2
若向量组 I 线性无关，则 1
(
)r
r
,
,
,
2
，所以 r
r
s . 故应选(A).
评注：“若 1
r
,
,
,
2
线性无关且 1
r
,
,
,
2
可由 1
线性表示，则 r
,
,
,
s ”
2
s
这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案.
(6) 【分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。
【详解】由于 2
A
A ，所以 (
A A E
0
) 0
，由于 A 的秩为 3，所以 A E 不可逆，
从而
A
0,
A E
，所以 1
20,
0
是矩阵 A 的特征值。
1
假设是矩阵 A 的特征值，则 2
，则只能是 0 或 1 。
0
由于 A 是实对称矩阵，且 A 的秩为 3，所以其全部特征值为 1, 1, 1,0
，因此应选（D）
(7) 【分析】考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。
【详解】由分布函数的性质可知：
5
P X
1
P X
1
P X
1
F
(1)
lim ( )
F x
1
x
1
2
1
e
故应选（C）
(8) 【分析】考查概率密度的性质① ( ) 0
f x ，②
【详解】由已知可得：
( )
f x
1
21
x
2
1
2
e
( )
f x
， 2
( )
f x dx
1
x
1 , 1
4
其他
0,
3
由概率密度的性质可知：
( )
f x dx
所以
1
a
0
( )
f x dx b
1
f x dx
2
( )
0
1
1
2
a
( )
f x dx b
1
3
0
1
4
dx
1
2
a
3
4
b
因此应选（Ａ）
二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
（9）【分析】先由方程求出 0
x 时 0
y ，再两边对 x 求导或两边微分。
2
t dt
，令 0
x 得 0
y
(
x
0
sin
2
t dt
)
x
sin
2
x
x y
【详解】法一：由
等式两端对 x 求导得
0
2
te dt
(
x y
e
将 0
x ， 0
y 代入上式得：
x y
法二：由
2
0
te dt
等式两端对 x 微分得
x
0
x
2
)
0
)
x
sin
dy
dx
(1
dy
dx
2
t dt
0
x
1
x
sin
，令 0
x 得 0
y
(
x y
)
2
e
(
dx dy
)
(
x
0
)
sin
2
t dt dx
) 0
，从而
x
sin
2
x dx
dy
dx
0
x
1
将 0
x ， 0
y 代入上式得：
(
dx dy
x
0
（10）【分析】利用旋转体的体积公式即得。计算时须注意这是一个反常积分。
【详解】
V
e
2
y x dx
( )
e
1
(1 ln
x
2
x
)
dx
lim[
x
arc
tan(ln )
x
2
4
4
]
（11）【分析】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，利用弹性的定义列方程，
然后解此微分方程
【详解】由弹性的定义知，收益弹性为
p dR
R dp
，由题设可得
p dR
R dp
1
p
)
dp
分离变量可得
dR
R
2
(
p
，且 1
1
R
p
3
1
，两端积分得
ln
R
31
p
3
ln
p
ln
C
6
从而方程通解为：
3
p
3
R Cpe
由 1
R
1
可得
C e 。从而方程的特解为
1
3
p
3 1
3
R pe
由此可得收益函数为
（12）【分析】利用
1, 0
(
R p
p
3 1
3
。
)
pe
是曲线拐点的条件列方程解出b .
【详解】
y
3
x
2
a x
bx
1
在整个实数区间上可导, 且
y
3
x
2
2
a x b
，
y
6
x
2
a
因
1, 0
是曲线的拐点，有 6 2
a
即 3
a . 又点
0
1, 0
在曲线上, 于是
0
( 1)
3
3 ( 1)
2
，得 3b .
( 1) 1
b
(13) 【分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质.
【详解】由于
|
A B
1
AB E B
1
(
)
AB AA B
1
1
(
)
A B A B
1
1
|
A A
|
1
B
|
|
B
1
| 3 2 2
1
3
。因此应填 3。
评注： 也可以由|
A
|
|
A
1
B
E AB
A B
1
|
B
得|
A B
1
|
3
.
（14）【分析】本题考查重要统计量的数字特征，是一道非常基本的题.
【详解】根据简单随机变量样本的性质， 1
X X
,
,
2
X 相互独立且与总体同分布，即
,
n
iX
2
N
(
,
)
，于是
E X
(
i
)
,
D X
(
)
i
，
2
E X
(
2
i
)
D X
(
i
)
(
E X
(
2
))
i
2
2
，
因此
( )
E T
E
(
1
n
n
i
1
X
2
i
)
1
n
n
i
1
E X
(
2
i
)
2
2
。
三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)
（15）【分析】化为指数形式，用洛必达法则及等价无穷小替换求极限。
【详解】
1
x
1
ln
x
1)
lim (
x
x
lim
x
e
ln(
1
1)
x
x
ln
x
ln(
lim
e
x
x
ln
e
x
ln
x
1)
1
x
ln
x
e
lim
x
x
ln
x
(
e
)
1
1
x
lim
x
x
1 ln
ln
x
1
e
e
e
lim
x
x
x
ln
x
e
1
x
ln
x
e
x
1 ln
2
x
lim
x
x
1 ln
2
x
x
x
ln
x
e
e
（16）【分析】被积函数展开，利用二重积分的对称性。
7
【详解】显然 D关于 x 轴对称 , 且
D D D
2
其中
1
D
1
( ,
x y
) 0
y
1, 2
y
x
1
y
2
D
2
(
x
D
3
)
y dxdy
，
2
2
y
x
1
y
2
xy
3
y dxdy
)
3
(
y
( ,
) 1
0,
x y
2
x y
2
x y
(3
3
x
D
3
3
y dxdy
)
D
3
(
x
3
D
2
xy dxdy
)
由于被积函数 2
3x y
3
y 是关于 y 的奇函数， 3
x
23
xy
是关于 y 的偶函数，所以
(
x
3
)
y dxdy
D
3
x
3
2
xy dxdy
)
2
1
dy
0
2
1
y
2
y
3
(
x
3
2
xy dx
)
2 (
D
1
1
4
(1
1
2 (
0
4
x
y
1
1
2 [
0
1[
2
(1 2
2
3
5
3
0
1
(1
2
3
2
2 2
)
2
2
x y
)
2
y
1
2
y
dy
( 2 )
y
4
4
3
2
y
2
(1
2
y
2
y
2
)]
dy
2
y
) 3(
2
2
4
y
3 ) 3 (1
y
y
6
1 1
8
15 15
3 5
)
)]
dy
14
15
评注：二重积分的对称性的考查一直是研究生考试的重要测试内容.
（17） 【分析】本题为条件极值问题, 用拉格朗日乘数法。
,
xy
2
yz
x
2
2
y
z
2
10
，
方
程
组
0
-------------------------------------------------（1）
【详解】令
,
F x y z
,
解
0
2
x
F
y
x
2
2
F
x
y
z
y
2
2
0
y
F
z
z
2
2
2
F
x
z
y
10 0
当 0
2
2
z
x
y 时，从方程组（1）可得 2
5
y
x
2
2
z
y
x
1
x
y
2
z
1
x
y
2
z
和
5
2
5
；
此时解得
10 0
8
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