2007年黑龙江高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年黑龙江高考文科数学真题及答案注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4．非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P A B 如果事件 A B，相互独立，那么 ( P A B  ( ( P A P B ) ( P A ( P B     ) ) ) ) )  球的表面积公式 2  4π R S 其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V  3 4 π R 3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) P k n n  ，，，…， 0 1 2 C p (1 n k    p k k n ) ( ) k 其中 R 表示球的半径一、选择题 1．cos330  （） A． 1 2 B．  1 2 C． 3 2 D．  3 2 2．设集合 U  {1 2 3 4} A ，，，，  {1 2} B ，，  {2 4} ，，则 ( U A B  ð  ) （） A．{2} B．{3} C．{1 2 4}，， D．{1 4}， 3．函数 y  sin x 的一个单调增区间是（） A．           ， B．    3  ，      C．      ，   D． 3 2  ，    

4．下列四个数中最大的是（） A． (ln 2) 2 B．ln(ln 2) C．ln 2 D．ln 2 5．不等式 x x   2 3  0 的解集是（） A．( 3 2)  ， B．(2 ) ， C．( 6．在 ABC△ A． 2 3 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 1 3 1 3 B． C．  3)   ，  AD  2 (3   ， ) D．(  CA  2)   ，  CB ，则（） ) (2   ，   DB CD ， D．  1 3  2 3 7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） A． 3 6 B． 3 4 C． 2 2 D． 3 2 8．已知曲线 y  的一条切线的斜率为 2 x 4 1 2 ，则切点的横坐标为（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．把函数 ex y  的图像按向量 (2 3)  ，a 平移，得到 y  ( ) f x 的图像，则 ( ) f x  （） A．e x  2 B．e 2x  C． 2ex D． 2ex 10．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ A．10 种 D．32 种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ B．20 种 C．25 种）） A． 1 3 B． 3 3 C． 1 2 D． 3 2 12．设 1 F F，分别是双曲线 2 2 x  2 y 9 1  的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 1   PF PF  2  0 ，   PF PF 则 1 2  （） A． 10 B． 2 10 C． 5 D． 2 5 本卷共 10 题，共 90 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．第Ⅱ卷（非选择题）

13．一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为． 14．已知数列的通项 na   5 n  ，则其前 n 项和 nS  2 ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2 ． 16． 2   (1 2 ) 1   x 8 1 x    的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）设等比数列{ }na 的公比 1q  ，前 n 项和为 nS ．已知 3 a ，求{ }na 的通项公式． 2 ， 5  S S 4 2 18．（本小题满分 12 分）在 ABC△ 中，已知内角 A    ，边 BC  2 3 ．设内角 B x ，周长为 y ． y  （1）求函数的解析式和定义域； ( ) f x （2）求 y 的最大值． 19．（本小题满分 12 分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ；（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B ：“取出的 2 件产品中至少有一件二等品”的概率 ( ) 0.96 )P B ． P A  ． S  中， 20．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD ⊥底面 ABCD E F，，分别为 AB SC，的中点．（1）证明 EF ∥平面 SAD ；（2）设，求二面角 A EF D  的大小． DC SD 2   F C D A E B 21．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，以O 为圆心的圆与直线（1）求圆O 的方程； x  3 y  相切． 4

（2）圆 O 与 x 轴相交于 A B，两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB   PA PB  的取值范围．，，成等比数列，求 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  1 3 3 ax 2  bx  (2  ) b x  1 在 x x 处取得极大值，在 1 x x 处取得极小值，且 2 0  x 1 1   x 2  ． 2 （1）证明 0 （2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 a  ；参考答案评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题 1．C 7．A 二、填空题 5．C 11．D 6．A 12．B 4．D 10．D 2．B 8．A 3．C 9．C 13． 1 20 14．  n  25 n 2 15． 2 4 2  三、解答题 17．解：由题设知 a 1  0 S ， n  n ) a 1 (1 q  1 q  ，则      2 2 a q  ， 1 4 (1 ) q a  1 1 q  5   2 ) a 1 (1 q  1 q  ． ② 由②得 1  q 4  5(1 2  ， 2 q q ) (  2 4)( q 1) 0   ， ( q  2)( q  2)( q  1)( q 1) 0   ，因为 1q  ，解得 q   或 1 q   ． 2 当 q   时，代入①得 1 1 a  ，通项公式 2 na    2 ( 1)n 1  ；

1 2   1 ( 2)    2 A  B ，    0 C ，  0 得 0 B   2   ．当 q   时，代入①得 1 2 a  ，通项公式 na n 1  ． 18．解：（1） ABC△ 的内角和 A B C   ，由应用正弦定理，知 AC  BC sin A sin B  2 3  sin  sin x  4sin x ， AB  BC sin A sin C  4sin 2     x    ．因为 y AB BC AC    ，所以 y  4sin x  4sin 2      x      2 3 0     x 2  3    ，（2）因为 y   4 sin    x    cos x  1 2 sin x      2 3  4 3 sin x          ，即 x  所以，当 x          2 3         x   5      ，时， y 取得最大值 6 3 ． 19．（1）记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”． A A，互斥，且则 0 1 A A 0   ，故 A 1 ( ) P A  ( P A 0  A 1 ) ( ) P A 1 1 p  2 ( ) P A   0 2 (1 ) C (1 p   2 1 p    p ) 于是 0.96 1 p   ． 2 p 解得 1  0.2  ， p 2 0.2 （舍去）．（2）记 0B 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”，则 B B ． 0

若该批产品共 100 件，由（ 1 ）知其中二等品有 100 0.2   件，故 20 ( P B  ) 0 2 C 80 2 C 100  316 495 ． ( P B )  ( P B 0 ) 1   ( P B 0 ) 1   316 495  179 495 20．解法一：（1）作 FG DC∥ 交 SD 于点G ，则G 为 SD 的中点．连结 AG FG ∥， CD ，又CD AB ∥ ， 1 2  2 SD ∥ ， 4 ， DG 为平行四边形．平面 SAD ． DC  ，则 AG∥ ，又 AG  平面 SAD EF ，故 FG AE AEFG EF 所以 EF ∥平面 SAD ．（2）不妨设腰直角三角形．取 AG 中点 H ，连结 DH ，则 DH 又 AB ⊥ 平面 SAD ，所以 AB DH⊥ ，而 AB AG A 所以 DH ⊥面 AEF ．取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM EF⊥ ．连结 DM ，则 DM EF⊥ ．故 DMH 为二面角 A EF D  的平面角 AG⊥ ． ADG 2 ，△    为等 tan  DMH  DH HM  2 1  ． 2 所以二面角 A EF D  的大小为 arctan 2 ．  解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 D xyz ．设 ( 0 0) ，，，，，，则 ( (0 0 A a B a a S b ) 0) ，，，，，， C (0 a 0)  E a   a ，，，，，， 2 a b 2 2 F          0 0  EF a    0 ，，． b 2    取 SD 的中点 0 0 ，，，则 G    b 2     AG a    0 ，，． b 2    S H D F G M C A E B z S F G M D E B C y A ， A x    EF AG EF 所以 EF ∥平面 SAD ．， ∥ ， AG AG  平面 SAD EF ，平面 SAD ，

（2）不妨设 (1 0 0) A ，，，则 B (11 0) ，，，，，，，，，，，，，，． (0 0 2) (0 1 0) C E F 0 0 1 S  1   1 2       1 2    EF 中点 M    1 1 1 ，，， 2 2 2     MD      1 2  EF  ，，，    ( 1 0 1) ，，，   MD EF   0 ， ⊥ MD EF 1 2 1 2    又  EA  0   ，，，  1 2 0   EA EF   0 ， ⊥ ， EA EF     和 EA  所以向量 MD 的夹角等于二面角 A EF D  的平面角．    MD EA ，  cos    MD EA   MD EA    所以二面角 A EF D  的大小为  arccos 3 3 3 3 ．． 21．解：（1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点O 到直线 x  3 y  的距离， 4 即 r  4 1 3   2 ．得圆O 的方程为 2 x 2 y  ． 4 ( 0) A x （2）不妨设 1 x ，，，， 1 ( B x 0) 2 x 2 ( 2 0) A  ，，，． (2 0) B ．由 2 x  即得 4 设 ( P x y，，由 PA PO PB ，，成等比数列，得 ) ( x  2 2)  2 y  ( x  2 2)  2 y  2 x  2 y ， 2 即 2 x y   PA PB   ． 2     ( 2 x ， ) (2 y x   ， y ) 2   2 x 2( 4 y   2 1). y  由于点 P 在圆 O 内，故 2 2     x x   2 2 y y   4 ， 2. 由此得 2 1 y  ．

  所以 PA PB  的取值范围为[ 2 0)  ，． 22．解：求函数 ( ) f x 的导数  ( ) f x  2 ax  2 bx   ． b 2 （Ⅰ）由函数 ( ) f x 在 x x 处取得极大值，在 1 x 的两个根．所以  ( ) f x  ( a x  x 1 )( x  x 2 ) x 处取得极小值，知 1 x 2 x，是 ( ) 0 f x  2 当 x x 时， ( ) f x 为增函数， ( ) 0 f x  ，由 1 x x 1  ， 0 x x 2  得 0 a  ． 0 （Ⅱ）在题设下， 0  x 1 1   x 2  等价于 2  (0) 0 f     (1) 0 f     (2) 0 f   即 0 2 b      2 0 2 a b      4 4 a b b      2 b ． 0 化简得 2 0 b      2 0 3 a b     4 5 2 0 b a     ．此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线：2 所围成的 ABC△ 的内部，其三个顶点分别为： A        3 b   0 a ， 2 0 4 a ， b 4 6 ，，，，，． 7 7 (2 2) (4 2) C B    z 在这三点的值依次为所以 z 的取值范围为    ，，． 16 6 8 7 16 8 7    ，． b 2 1 O (2 2) B ， A   4 6 ， 7 7    2 5 b   2 0 ． (4 2) C ， 4 a

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