第 卷 第 期 年 月 文 章 编 号 一 一 长 春 工 业 大 学 学 报 , 距 离 加 权 反 比 插 值 法 和 克 里 金 插 值 法 的 比 较 靳 国 栋 , 刘 衍聪 , 牛 文 杰 石 油 大 学 华 东 机 电 工 程 学 院 , 山东 东 营 摘 要 首 先 给 出 了 距 离 加 权 反 比 插 值 法 和 克 里 金 插 值 法 的原 理 , 然 后 对 这 两 种 方 法 在 理 论 和 实 际 应 用 上 进 行 了 比 较 , 其 结 论 是 克 里 金 插 值 法 的效 果 优 于 距 离加 权 反 比插 值法 的效 果 。 关 键 词 数 据 场 可 视 化 距 离 加 权 反 比 插 值 法 克 里 金 插 值法 变 异 函数 中 图 分 类 号 文 献 标 识 码 引 言 科学计算 可 视 化 研究 的对 象是 三 维 数据 场 , 而 图形仿 真方 法 的 数 据 场 可 视 化 需要 通 过 对 离 散 数据场进 行 区 域 剖 分 , 插 值 后 建 立 数学 模 型 , 再 从 中提取 曲线 、 曲 面 等 中 间几 何 信 息 , 利 用 传统 的计 算机 图形 学方 法 加 以显 示 , 从 而 获 取 对 数 据 场 内部 信息 的观察 。 运 用 图形 仿真方法 , 插 值 是 其 中非 常 关 键 的一 步 , 插 值 的过 程 就 是 建 立 所 研究 变 量 完 整 的数 学模 型 的过 程 。 采 用 不 同 的插 值 方 法 建 立 的 数 学模 型 会 有 差 别 , 后 期 对 其 规 律 的显 示 , 从 效 果 上 看也 是 不 相 同 的 。 数 据 场 可 视 化 常 用 的 插 值方 法 一般 有 距 离 加 权 反 比 法阁 、 多 项 式 最 小 二 乘 法 等 , 而 地质统计 学 中的克里 金 插 值 方 法 近 年 来 在许 多领 域 的 可 视 化 中 得 到 了 应 用 。 克 里 金 插 值 方 法 〔 〕最早 是 由南 非 金 矿 工 程 师 克 里 金 于 世 纪 年代 提 出来 的 , 依 据 不 同 的条 件 又 分 为普通 克 里 金 法 、 泛 克 里 金 法 、 协 同 克 里 金 法 等 。 目前 , 已 有 的文 献很 少 研 究 克 里 金 插 值 方 法 与其 它 插值 方法 的 比较 。 为此 , 文 中 以 煤 层 数据 可 视 化 过 程 中插 值建 立层 面数学 模 型 为例 , 对 普通 克 里 金 法 和 距 离 加权 反 比法 在 理 论 和 实 际 应 用 效果 上 进 行 了 比较 。 下 面 首 先 给 出这 两 种插值 方 法 的原 理 , 然 后 在理论 上 进行 比较 , 以 实 际应 用 效果 论 述 两 方 法 的优缺 点 , 最 后 给 出结论 。 距 离 加 权 反 比 法 插 值 原 理 距 离 加 权 反 比 法 对 尸 点 的 属 性 值 尸 进 行 插 值 。 其插 值 原 理 是 待 插 点 的属 性 值 是 待插 点 邻 域 内 已 知 散 乱 点 属 性 值 的 加 权 平 均 , 权 的 大 小 与 待 插 点 与邻 域 内散 乱 点 之 间 的距 离 有 关 , 是 距 离 的 。 簇 镇 一 般 取 次 方 的倒 数 。 即 户 乙一衅·习间 ·习同 一礴 其 中 ‘ 为 待 插 点 与 其 邻 域 内 第 个 点 之 间 的距 离 。 普 通 克 里 金 法 插 值 原 理 设 研 究 区 域 为 , 区 域 化 变 量 即欲研 究 的 物 理 属 性 变 量 为 任 , 表 示 空 间 位 置 一 维 、 二 维 或 三 维 坐 标 , 在 采 样 点 一 , , … , 动 处 的 属 性 值 或 称 为 区 域 化 变 量 的 一 次 实 现 为 一 , , … , , 则 根 据 普 通 克 里 金 插 值 原 理 , 未 采 样 点 。 处 的属 性 值 。 估 计 值 是 个 已 知 采 样 点 属 性 值 的加 权 和 , 即 。 一 云“‘ 、 “。 ‘ 一 , , … , 为 待求 权 系数 。 假 设 区 域 化 变 量 在 整 个 研 究 区 域 内满 足 二 阶平 稳 假 设 的 数 学 期 望 存 在 且 等 于 常 数 设 空 间 待插 点 为 尸 尸 , 尸 , 尸 , 尸 点 邻 域 内 一 常 数 。 有 已 知 散 乱 点 ‘ 、 ‘ , 夕 , , 一 , , … , , 利 用 的协 方 差 、 , , 存 在 且 只 与两 收 稿 日期 作 者简 介 靳 国栋 一 一 只 一 , 男 , 山 西 运 城 人 , 石 油 大学 华 东 硕 士 研 究 生 , 主 要 从 事 计算 机 辅 助 设 计研 究 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

长 春 工 业 大 学 学 报 第 卷 点 之 间 的相 对 位 置 有 关 。 或 满 足 本 征 假 设 仁 ‘ 一 , 〕一 。 增 量 的 方 差 存 在 且 平 稳 「 一 , 〕 , 一 , 〕。 依 据 无 偏 性 要 求 ‘ 。习 一 。 」经 推 导 可 得 ·艺间 、人 一上 一一 在 无 偏 条 件 下 使 估 计 方 差 达 到 最 小 , 即 、 ‘ , 。 , 尸 , 、 , 、 二 , 、 一 万 川 乙 气 , 少 一 以 少」“ 少 一 个 空 间 变 量 的空 间 变 异 性 是 指 这 个 变 量 在 空 间 中如何 随着 位 置 的不 同 而 变 化 的性 质 。 变 异 函 数 通 过 其 自身 的 结 构 及 其 各 项 参 数从 不 同 的角 度 反 映 空 间变 异 性 , 确 定 变 异 函 数 的 过 程 就 是 一 个对 空 间 变异 性 进 行 结 构 分 析 的过 程 。 设 是 一 个 模 为 一 , 方 向 为 的 向 量 , 如 果 存 在 着 被 向 量 所 隔 开 的 对 观 测 数 据 点 , 则 在 方 向上 相 应 于 向 量 的 实 验 变 异 函 数 ‘ 可 表 示 为 如下 形 式 仁 · 。 一 。 一 。艺 ‘、 一 , 一 ‘ , 一 , 么 二 其 中 沼 为 拉 格 朗 日乘 子 。 可 得 求 解 权 系 数 又‘ 一 , , … , 的方 程 组 了之、 艺久伽 , 一 。 一 伽 知 间·艺间 一 , , … , 入 求 出诸 权 系 数 久、 一 , , … , 后 , 就 可 求 出未 采 样 点 。 处 的属 性 值 ’ 。 。 上 述 求 解 解 权 系 数 又‘ 一 , , … , 的 方 程 组 中协 方 差 , , 若 用 变 异 函 数 ‘ , , 表 示 时 , 形 式 为 ‘、 艺凡, ‘ , 二 一 , 一 , 、 , , … , 习‘、 一 变异 函 数 的定 义 为 二 , 二 , 一 二 一 二 , 一 告二 二 一 二 〕 由克 里 金 插 值所 得 到 的方差 为 护 一 ’ 。 一 。 〕 二 。 , 。 一 艺“、 。 , 、 召 护 一 艺“ , 。 , ‘ 一 。 , 。 。 克 里 金 插 值 法 中的 变 异 函 数 变 异 函 数 是 克 里 金 插 值 法 插 值 的基 础 。 插 值 中需 要 首 先 确 定 所 研 究 的 区 域 化 变 量 的 变 异 函 数 。 假设 研 究 的 区 域 为 , 区 域 中有 一 区 域 化 变 量 , 它在 位 置 、 , 一 , , … , 上 的 一 次 采样 为 , 一 , , … , , 则 的 变 异 函 数 的定 义 为 乏瓦 白 乙 戈若 一 」 其 中 、 和 ‘ 分 别位 于 点 ‘传一 和 、 , 一 , , … , 上 的 观 测 数 据 。 变 异 函 数 理 论 模 型 当获取 实 验 变 异 函 数 值 后 , 需 要 先 选 择 变 异 函 数 理 论 模 型 , 然 后 对 所 选 择 的 变 异 函 数 理 论 模 型 进 行 参 数 拟 合 , 这 一 过 程 被 称 作 “ 结 构 分 析 ” 。 变 异 函 数 理 论 模 型 参 数 一 般 包 括 变 程 , 一 般用 表 示 、 基 台 , 一 般 用 表 示 、 拱 高 一 般 用 表 示 块 金 常 数 一 般用 。 表 示 , 如 图 所 示 。 , 厂厂厂 图 变 异 函 数 图 变 程 表 示 了 从 空 间 相 关 性 状 态 镇 向不 存在 相关 性 状 态 川 异 函 数 在 原 点 处 的 间 断 性 称 为 “ 块 金 效 应 ” , 相 应 的常数 一 称 为 “ 块 金 常数 ” 基 台 转 变 的 分 界 线 变 具 有 协 方 差 函 数 一 一 的 二 阶平稳 区 域 化 变 量 的先 验 方 差 一 了 拱 高 为 变 异 函 数 中基 台 」二 与 块 金 常数 之 差 一 一 。 变 异 函 数 理 论 模 型 分 类 变 异 函数 理 论 模 型 一 般 分 为有 基 台值 和 无 基 台值 两 大类 。 有基 台值 的变 异 函 数 理 论 模 型 包 括 球 状 模 型 、 指 数 模 型 、 高斯 模 型 等 。 最 常用 的是 球 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

第 期 靳 国 栋 等 距 离 加 权 反 比插 值 法 和 克 里 金 插 值法 的 比较 状 模 型 。 球 状 模 型 公 式 为 已 知 点 , , ‘一 , , … , 的 属 性值 ‘ , 一 , , “ … , 的加 权 和 。 一 习 入 ‘ , 且 两 者 的权 系 了又九 一 悦七 。 十 七 才 一 不不于 一 、乙 。 乙 人 任 , 〕 〔二 球 状 模 型 、 指 数模 型 、 高 斯 模 型 所 对 应 的 图 形 如 图 所 示 。 户户户少少尸声一一一一一 图 变 异 函数 中 的球 状 模 型 、 指 数模 型 、 高斯模 型 变 异 函 数 对 空 间 变 异 性 结 构 的反 映 变 异 函 数作 为定 量 描 述 空 间 变 异 性 的一 种统 计 学 工 具 , 通 过 其 自身 的结 构 及 其 各 项 参 数 , 从 不 同角 度 反 映 了空 间 变异 性 结 构 。 利 用 变 异 函数 可 以 对 空 间 变 量 的 连 续 性 、 相 关 性 、 变 量 的 影 响 范 围 、 尺 度 效 应 、 原 点 处 的 间 断 性 、 各 向异 性 等 要 素 进 行 描述 圈 。 变 异 函 数 理 论 模 型 参 数 拟 合 变 异 函 数 理 论 模 型 参 数 拟 合 就是 利 用 原 始 采 样 点 数 据 或 实 验 变异 函 数 取 值 对 所 选 定 的理论 模 型 参 数 以 特 定 的方 法 进 行 估计 。 拟 合方 法 一 般 采 用 手 工 拟合 法 。 手工 拟 合就 是 依 据 实 验 变 异 函 数 的 取 值 , 一 方 面 通 过 观 察 实 验 变 异 函 数 图 另 一 方 面 对 所 研 究 的 区 域 化 变 量 进 行 必 要 的 分 析 , 采 用 肉 眼 观 察 来 确定 变异 函 数 模 型 参 数 , 并 对 参 数 反 复 进 行 交 叉 验 证 , 最 终 确 定 模 型 参 数 。 其 拟 合 的 大 致 过 程 如下 首 先 对 所 研 究 的 区 域 化 变 量 进 行 必 要 的 结构 、 背 景 等 方 面 的分 析 , 结 合 专 家 经 验 , 确 定 变 异 函数 理 论 模 型 。 利 用 实 验 变 异 函 数 散 点 图 确 定 变 异 函 数 参 数 中 的块 金 常 数 、 基 台 值 、 变 程 、 各 向异 性 角 度 以 及 各 向异 性 比值 。 交 叉 验 证 。 克 里 金 插 值 法 和 距 离 反 比 加 权 法 比 较 距 离 反 比加权 法 的表 达 式 也 可 以 表 示 成 与 克 , , , 、 , , … , 是 直 接 得 到 的 , 是 , 数 都是 归 一 化 的 。 但 是 , 距 离 反 比 加 权 法 的权 系 数 又、 , … , 与 。 之 间 距 离 平 方 的倒 数 。 这 种 权 系数 与 , … , 相 互 之 间 没 有 任 何 关 系 , 也 就 是 , … , 的 构 形 没 有 任 何 关 系 。 只 , … , 和 。 之 间 的 距 离 一 定 , 则 对 , … , 之 间 的 任 何 构 性 , 其 权 系数 都 说 和 ‘ , 一 , 要 , , 一 , , 一 , 于 , , , 是 相 同 的 。 , , 而 对 于 克 里 金 插 值 法 的 权 系 数 久、 , 乞一 , , … , 。 与 … , 、 来 说 , 它 不 仅 取 决 于 、 , 之 间 的距 离 , 而 且 取 决 于 ‘ , 一 , 性 。 这 种 构 性 集 中体 现 在 差 函 数 中 。 克 里 金 插 值 法 的 权 系 数 几‘ , 一 , … , 是 通 过 求 解 基 于 变 异 函 数 协 方 差 函 数 的 克 里 金 方 程 组 得 到 的 。 的 变 异 函 数 协 方 , … , 的 构 , 但 距 离 反 比 加 权 法 的 效 率 最 高 , 插 值 中所 需 存 储 空 间最 小 。 在 克 里 金 法 和 距 离 反 比 加 权 法 比 较 的 基 础 上 , 可 以 将 距 离 反 比加 权 法 改 写 为下 面 形 式 ·习间 。 ‘ , 。 。 一 。 , 、 , 一 , 艺令 , … , 为 待 插 点 。 与 已 知 。 , 采样 点 ‘ , 一 , , … , 之 间 的变 异 函 数值 。 这 种形 式 的距 离 反 比 加 权 法 具 有 以 下 性 质 加 权 系 数 仍 为距 离 的 函 数 因 为变 异 函 数 是距 离 的 函 数 。 当 。 与 其 邻 域 内 的某 一 已 知 采 样 点 之 间 的距 离 越 大 , 对 应 于该 点 的权 系数 越 小 , 但 不 是 按 距 离 平 方 的 倒 数 方 式 减 小 , 而 是 按 变 异 函 数 的性 质 来 减 小 。 如 果 变 异 函 数 具 有 基 台值 , 则 减 小 到 基 台值 的 倒 数 值 后 就 不 在 减 小 , 而 保 持 这 个 常数不 变 。 权 系数 具 有 归 一 化 的性 质 。 与 克里 金 法 相 比 , 该 方 法 不 需 要 对 每 一 个 待插 点 求 解 一 个 线 性 方 程 组 , 且 效 率 较 高 。 与 原 距 离 反 比加 权 法 相 比 , 该 方 法 对 不 同 的采 样 数 据 点 构 形 可 以 采 用 不 同的 变异 函 数 形 式 以 及 不 同 的 变 异 函 数 参 数 , 因此 , 具 有 一 定 的灵 活 性 。 但 采用 该 方 法 时 , 需 要 先 确 定 变异 函 数 形 式 , 拟 合变 异 函数 参 数 , 失 去 了 原 距 离 反 比加 权 法 效 里 金 插 值法 类 似 的形 式 , 即待插 点 。 邻 域 中 个 率 高 的特 点 。 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

长 春 工 业 大 学 学 报 第 巷 当选 取 的 变 异 函 数 模 型 为 幂 指 数 形 式 且 指 数 为 时 , 该 插 值 形 式 就 完 全 对 应 于 距 离 反 比 加 权 法 。 而 对 于 小 于 的 其 它 指 数 , 可 根 据 实 际 数 据 利 用 变 异 函 数 参数 拟 合 的方 法 得 到 。 两 种 插 值 方 法 在 实 际 应 用 中效 果 比 较 采 用 文 献 给 出 的 我 国 某 煤 矿 一 矿 区 煤 层 数据 将 原 始 数 据 放 大 倍 , 现 利 用 距 离加 权 反 比法 和 普通 克 里 金 方 法 对 其 插 值 建 立 数 学 模 型 。 煤 层 的空 间采 样 点 分 布 如 图 所 示 。 图 距 离 反 比 加 权 法 结 果 图 交 叉 验 证 结 果 比较 。 所 谓 交 叉 验 证 就 是 假 在 采样 点 , , 依 次删 去 设 研 究 变 量 为 , , , … , 处 的 属 性 值 ‘ , ￡ , , 一 , , 其 它点 的属 性 值 保 持 不 变 , 利 用 剩 下 的 一 个 点 的属 性值 , 插 值 计 算 被 删 除 的 采 样 点 上 的 属 性 ‘ 值 ‘ , 并 对 个 插 值 计 算 结 果 与 实 际 的 结 果 作 比较 , 进 行 误 差 的 统 计 学 分 析 。 用 上 述 煤 层 图 煤 层 数 据 点 分 布 图 表 。 数 据 对 这 两 种 方 法 进 行 交 叉 验 证 比 较 , 其 结 果 见 普 通 克 里 金 采 用 的 变 异 函 数 模 型 为 球 状 模 型 一 各 向异 性 角 度 为 为 。 —一丝 一 一一 、 西 。 各 向 异 性 比 距 离 反 比加 权 法 、 普 通 克 里 金 法 对 煤 层 数 据 建 模 结 果 的 等值 线 图 如 图 和 图 所 示 。 图 普 通 克 里 金 法结果 图 表 煤 层 数 据 对 两 种 方 法 进 行 交 叉 验 证 比较 方法 均方 误 差 误差 和 的 平均值 绝对误差 和 的平均值 距离反 比加权法 普通 克 里 金 法 一 一 方法 绝对误差 的最 大值 绝对误差的最小值 距离反 比加权法 普通 克里 金 法 从 建 模 等 值 线 图 、 交 叉 验 证 结 果 总 体 比 较 可 以 看 出 , 普 通 克 里 金 法 建 模 效 果 以 及 各 项 指 标 均 优 于 距 离 加 权 反 比法 的效 果 和 指 标 。 结 论 数 据场 可 视 化 中插 值建 立 所 研究 变 量 的数学 模 型 是 至 关 重 要 的一 步 。 通 过 对 距 离加权 反 比法 和 普通 克里 金 法 插 值 的 原 理 分 析 , 在 理 论 和 实 际 应 用 上 的 比较 说 明 , 普 通 克 里 金 法 的插 值 结 果 要 优 于 距 离 加 权 反 比 法 的插 值 结 果 。 参 考 文 献 〔习 唐 泽圣 清华 大学学 术专 著 —三 维 数据场 可 视 化 北 京 清华 大 学 出版 社 , © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 

第 期 靳 国 栋 等 距 离加 权 反 比 插 值 法 和 克里 金 插值 法 的 比较 〔 〕 王 家 华 , 高海 余 , 周 叶 克 里 金 地 质 绘 图 技 术 —计 算机 的模 型 和 算 法 〔 〕 北 京 石 油 工 业 出 版 社 , 〔 口 一 , , 「 」 孙 洪 泉 地 质 统 计 学 及 其 应 用 「 北 京 中 国 矿 业 〔 〕 大 学 出版 社 , 一 , 一 , 弓 , , , 习 , © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net