2015上海高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2015 上海高考文科数学真题及答案一、填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分） 1．（4 分）函数 f（x）=1﹣3sin2x 的最小正周期为． 2．（4 分）设全集 U=R，若集合 A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则 A∩B= ． 3．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= 4．（4 分）设 f﹣1（x）为 f（x）= 的反函数，则 f﹣1（2）= ．． 5．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则 c1﹣c2= ． 6．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= ． 7．（4 分）抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= ． 8．（4 分）方程 log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为． 9．（4 分）若 x，y 满足，则目标函数 z=x+2y 的最大值为． 10．（4 分）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 11．（4 分）在（2x+ ）6 的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）． 12．（4 分）已知双曲线 C1、C2 的顶点重合，C1 的方程为 ﹣y2=1，若 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2 的方程为． 13．（4 分）已知平面向量、、满足 ⊥ ，且| |，| |，| |}={1，2，3}，则| + + | 的最大值是． 14．（4 分）已知函数 f（x）=sinx．若存在 x1，x2，…，xm 满足 0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则 m 的最小值为．二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分. 第 1页（共 20页）

15．（5 分）设 z1、z2∈C，则“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5 分）下列不等式中，与不等式＜2 解集相同的是（） A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3） C．＜ D．＞ 17．（5 分）已知点 A 的坐标为（4 ，1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转至 OB，则点 B 的纵坐标为（） A． B． C． D． 18．（5 分）设 Pn（xn，yn）是直线 2x﹣y= （n∈N*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限 =（） A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12 分）如图，圆锥的顶点为 P，底面圆为 O，底面的一条直径为 AB，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知 PO=2，OA=1，求三棱锥 P﹣AOC 的体积，并求异面直线 PA 和 OE 所成角的大小．第 2页（共 20页）

20．（14 分）已知函数 f（x）=ax2+ ，其中 a 为常数（1）根据 a 的不同取值，判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若 a∈（1，3），判断函数 f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由． 21．（14 分）如图，O，P，Q 三地有直道相通，OP=3 千米，PQ=4 千米，OQ=5 千米，现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f（t）（单位：千米）．甲的路线是 OQ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 OPQ，速度为 8 千米/小时，乙到达 Q 地后在原地等待．设 t=t1 时乙到达 P 地，t=t2 时乙到达 Q 地．（1）求 t1 与 f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米，当 t1≤t≤t2 时，求 f（t）的表达式，并判断 f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过 3？说明理由． 22．（16 分）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A、B 和 C、D，记△AOC 的面积为 S．（1）设 A（x1，y1），C（x2，y2），用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S= |；（2）设 l1：y=kx，，S= ，求 k 的值；（3）设 l1 与 l2 的斜率之积为 m，求 m 的值，使得无论 l1 和 l2 如何变动，面积 S 保持不变． 23．（18 分）已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求{an}的通项公式；（2）设{an}的第 n0 项是最大项，即 an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第 n0 项是最大项；（3）设 a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意 m，n∈N*，an≠0，且．第 3页（共 20页）

2015 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分） 1．（4 分）函数 f（x）=1﹣3sin2x 的最小正周期为 π ．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数 f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3 =﹣ + cos2x， ∴函数的最小正周期为 =π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题． 2．（4 分）设全集 U=R，若集合 A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则 A∩B= {2，3} ．【分析】由 A 与 B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集 U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}， ∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= ．【分析】设 z=a+bi，则 =a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设 z=a+bi，则 =a﹣bi（a，b∈R），又 3z+ =1+i， ∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为 4a+2bi=1+i， ∴4a=1，2b=1，第 4页（共 20页）

解得 a= ，b= ． ∴z= ．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题． 4．（4 分）设 f﹣1（x）为 f（x）= 的反函数，则 f﹣1（2）= ﹣ ．【分析】由原函数解析式把 x 用含有 y 的代数式表示，x，y 互换求出原函数的反函数，则 f ﹣1（2）可求．【解答】解：由 y=f（x）= ，得 x，y 互换可得，，即 f﹣1（x）= ，． ∴ ．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题． 5．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则 c1﹣c2= 16 ．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则 c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 6．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 4 ．第 5页（共 20页）

【分析】由题意可得（ •a•a•sin60°）•a=16 ，由此求得 a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为 •a•a•sin60°，正棱柱的高为 a， ∴（ •a•a•sin60°）•a=16 ，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． 7．（4 分）抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= 2 ．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，所以 =1，所以 p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 8．（4 分）方程 log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为 2 ．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]， ∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0， ∴3x=3，3x=9，解得 x=1 或 2．经过验证：x=1 不满足条件，舍去． ∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．第 6页（共 20页）

9．（4 分）若 x，y 满足，则目标函数 z=x+2y 的最大值为 3 ．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由 z=x+2y 得 y=﹣ x+ z，平移直线 y=﹣ x+ z，由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 B 时，直线 y=﹣ x+ z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即 B（1，1），代入目标函数 z=x+2y 得 z=2×1+1=3 故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 10．（4 分）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有 3 名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师，在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，有 C9 5=126 种；其中只有女教师的有 C6 5=6 种情况；第 7页（共 20页）

则男、女教师都有的选取方式的种数为 126﹣6=120 种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． 11．（4 分）在（2x+ ）6 的二项式中，常数项等于 240 （结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 0 求得 r 值，则答案可求．【解答】解：由（2x+ ）6，得． = ．由 6﹣3r=0，得 r=2． ∴常数项等于故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题． 12．（4 分）已知双曲线 C1、C2 的顶点重合，C1 的方程为 ﹣y2=1，若 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2 的方程为．【分析】求出 C1 的一条渐近线的斜率，可得 C2 的一条渐近线的斜率，利用双曲线 C1、C2 的顶点重合，可得 C2 的方程．【解答】解：C1 的方程为 ﹣y2=1，一条渐近线的方程为 y= ，因为 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，所以 C2 的一条渐近线的方程为 y=x，因为双曲线 C1、C2 的顶点重合，所以 C2 的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．第 8页（共 20页）

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