2021北京考研数学二真题及答案.doc-资料库

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2021北京考研数学二真题及答案一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 2 x 3t 1.当 x  0 ，0 (e 1)dt 是 x7 的 B. 等价无穷小. A. 低阶无穷小. C. 高阶无穷小. D. 同阶但非等价无穷小. 【答案】 C. x2et3 1dt 0 2ex6 1 7x5 lim x0  0 ,故选 C. 6  lim 2x x0 7x5 【解析】 lim x0 x7 ex  1 2.函数 f (x)   x   1, , x  0, x  0 在 x  0 处 A.连续且取极大值 C.可导且导数等于零【答案】D 【解析】因为lim e x0 x 1 1  x B.连续且取极小值 D.可导且导数不为零 f (0) ，故连续；又因为lim x0 ex 1 x x  1  ex 1 x2 x2  1 ，故可 2 导，所以选 D. 3 .有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm / s ， 3cm / s ，当底面半径为 10cm，高为 5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 A. 125cm3 / s,40cm2 / s B. C. D. 125cm3 / s, 40cm2 / s 100cm3 / s,40cm2 / s 100cm3 / s, 40cm2 / s 【答案】 C. 【解析】 dr  2 ， dt dh  3 ；V  πr2h ， S  2πrh  2πr2 . dt

dV  2πrh dt dt dr  πr2 dh  100π . dt dr  2πr dt dh  4πr dt dr  40π . dt dS  2πh dt 4 .设函数 f (x)  ax bln x(a  0) 有 2 个零点，则 A.(e, ) B. (0,e) C. 1 (0, ) e b a 的取值范围 D. ( , ) 1 e 【答案】A. 【解析】 f x  ax blnx, 若b  0 ，不满足条件，舍去；若b  0 ，令 f  x  a  b =0 ，得 x  b a  , f  x   0. 0, ，+       b x  a lim f  x  , lim f  x   ， x0 0 b   ，  , f a   .在 x x 令 f  b  =b  bln b  b 1 ln b   0,得ln b  1 ，即 a a a  b  e .故选 A.  a    a    5 .设函数 f (x)  sec x 在 x  0 处的 2 次泰勒多项式为1 ax  bx2 ，则 A. a 1,b   1 2 C. a  0,b   1 2 【答案】 D. B. a  1, b  1 2 D. a  0, b  1 2 【解析】 f x  secx  f 0  f 0 x  f 0 x2  ox2 1 1 2 2 x2  ox2 . 所以可得 a  0 ， b  1 2 . 6.设函数 f (x, y) 可微，且 f (x 1, ex )  x(x 1) 2, f (x, x 2 )  2x 2 ln x, 则df (1,1) 

A. dx dy B. dx dy C. dy D. dy 【答案】选 C 【解析】由于 f ( x 1, e x )  x( x 1)2 ，两边同时对 x 求导得 f1(x 1,e x )  f2(x 1,e x )e x  (x 1)2  2x(x 1) . 令 x  0 得 f (1,1)  f (1,1)  1 0 , f (x, x2 )  f (x, x2 )2x  4x ln x  2x2  1 x 1 2 1 2 ; 令 x  1 得 f1(1,1)  2 f2(1,1)  2 .因此 f1(1,1)  0 ； f2(1,1)  1. 所以df (1,1)  dy ，故选 C. 7.设函数 f (x) 在区间[0,1] 上连续，则0 f (x)dx  1 n  2k 1 1   2n A. lim  f  n k 1 2n C. lim  f  n k1  2n  k 1 1   2n  n n  2k 1 1 B. lim  f  n k 1 2n D. lim  f  n k 1   2n  n  k  2   2n  n 【答案】选 B 【解析】将0,1的区间 n 等分，每一份取区间中点的函数值 f  k  1   2n    n ，故选 B. 8. 二次型 f (x , x , x )  (x  x ) 2  (x  x ) 2  (x  x ) 2 的正惯性指数与负惯性指数依 1 2 3 1 2 2 3 3 1 次为 A. 2，0 【答案】选 B 【解析】 B.1，1 C. 2，1 D.1，2 f  x , x , x   x  x 2  x  x 2  x  x 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1  x2  2x x  x2  x2  2x x  x2  x2  2x x  x2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 2 3 3  2x2  2x x  2x x  2x x . 1 3 2 3 1 2 2

二次型对应矩阵为 0 1 1  2 1  1 ,   1 1 0   | E A | 1 1  1  2 1 1 1 1 = 1  1 0 2 1 1 1  0  2 1 1  (1) 1 1 0 2 1  (1)(( 2)(1)  2]  (1)( 3) 则 p  1 q 1 . 9.设 3 阶矩阵 A=α1,α2, α3 , B   β1, β2, β3 , 若向量组 α1,α2,α3 可以由向量组 β1, β2, β3 线性表出，则（） A. Ax=0 的解均为 Bx=0 的解. B. AT x=0 的解均为 BT x=0 的解. C. Bx=0 的解均为 Ax=0 的解. D. BT x=0 的解均为 ATx=0 的解. 【答案】D 【解析】由题意，可知 A  BC ， BTx=0 的解均为C TBT x =0 的解，即 AT x=0 的解，D 选项正确.  1 10 .已知矩阵 A   2   1  0 1 2 1 1  ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使得 PAQ 为  5   对角矩阵，则 P、Q 分别取（）.

1 0 0  1 0 1 A.0 1 0, 0 1 3   0 0 1  0 0 1    1 C. 2   3      0 0  1 0 1 1 0, 0 1 3    1  0 0 1 2    【答案】C  1 【解析】通过代入验证  2   3  0  1 0  1 0 0 1 0, 0 1 0 B. 2     1  0 0 1  3 2     3 1 0 0  1 2   1   2 D.0 1 0, 0 1 0    1 3 1  0    0 0 1 1 0 2  1 1 2  0 1 2 0  1 0 11 0 1 0 . 1  0 1 3  0 1      0 0 10 5  0 0 1      选 C 二、填空题（11-16 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1 ln3 3 x2dx 2    0 x  2et  t 1, y  4t 1et  t 2 3  x2  0  确定，则 1 ln3 d2 y dx2 t 0 . 11.  x 3 x2 dx    . 【答案】 1 ln3 【解析】原式 2  x3 x2dx   0 12. 设函数 y  yx 由参数方程  2 【答案】 . 3 【解析】 dy dx  yt xt    d2t  dt d2 y dx2 t 0 dt dx t 0 4et  4t 1et  2t 2e t 1  2t,  2 1 2e t 1  2 3 t 0 13 .设函数 z  z(x, y) 由方程(x 1)z  y ln z arctan(2xy) 1 确定，则 z x  (0,2) . 【答案】1

【解析】将 x  0, y  2 代入得 z  1 ，又对(x 1)z  y ln z  arctan 2xy   1 两边同时求 x 的导数得 z  (x 1) z  y 1 z  z x 1 (2xy)2  0 2y x z  1 . 将 x  0, y  2, z  1 代入上式得 x xdy ，则 f    2  y 14. 已知函数 f (t)  1 dx x sin  2 t t  . 【答案】 π 2 cos 2 π . 【解析】 f t  1 dx x sin t2 t y2 t x dy  1 dy1 y sin x y t  y2 dx  1 1 sin   x dx dy, 则 y  f t  2 t 1 sin xdx ，所以 t f  π   2     π 2  2    1  sin xdx= π 2 π cos 2 2x π  π 2     2 1 π 2 cos 2 π . 15. 微分方程 y   y  0 的通解 y  【答案】C ex  e 2 C sin 1 1 x  2  x C cos 3 3 2 . 3 2  x  ，其中C ,C ,C 为任意常数.  1 2 3 【解析】设其特征方程为 r3 1  0 ，则 r 1;r   1  3 i;r   1  3 i. 故其通解为 1 2 2 2 3 2 2 1 C ex  e 2 1 x  C2  sin 3 x  C3 cos 2 3 2  x .   x x 1 1 2x x 2 1 1 1 2 x 2 1 1 x 16. 多项式 f (x)  【答案】 5 中 x3 项的系数为 .

【解析】 x3 项为11+2+2 4x3  11 x3  5x3 ，因此 x3 项系数为5 三、解答题：17～22 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 .（本题满分 10 分） x et2dt  0 ex 1 求极限lim( x0 1  1 ) . sin x 【解析】  1 x et 2dt 0 ex 1 lim  x0     1   lim sin x   x0 sin x  x t 2  ex 1 sin x0 e dt ex 1sin x sin x  x t2  e x 1 x sin x0 e dt x2 x  1 x3+ox31 x  1 x2+o x2   lim x0  lim x0 6  lim sin x  e 1 lim x et2dt x0 x0 x2  lim 0 2 x0 x x t2 sin x0 e dt x2   11  1 . 2 2 2 x 18 .（本题满分 12 分）已知 f (x)  x x 1 x ，求 f (x) 的凹凸区间及渐近线. , x  0, x  1  x2 1 x  x2 f (x)   x  0  0 , 1 x x2 f '(0)=lim 1 x x 2 x0  f '(0)= lim 1 x x x0   0  x  0  0 所以

1  f '(x)   0,  1  1 (1 x)2 1 , (1 x)2 1 1 1 x2 , x  0, x  1 x  0 x  0 0 2  f ''(0)=lim x0  f ''(0)=lim x0  所以 1 x 1 1 x2 x  0  2 2 2   1 x3  f ''(x)     1 x3 x  1时， f ''  0 x  0, x  1 x  0 1  x  0 时， f ''  0 x  0 时， f ''  0 因此，凹区间, 1, 0,  ，凸区间1, 0 x2 lim x 1  x  , lim x x2 1 x   ，因此没有水平渐近线； x  1,x 1  0 ，且 lim x2  , lim x2   ，因此存在铅直渐近线 x  1 ； x11 x x11 x x2 1 x  1,lim x x 1 x x2 lim x    1 x ，因此存在斜渐近线 y  x 1；

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