2015年吉林高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2015 年吉林高考文科数学真题及答案第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A= x 1  x  ,2 B   x 0  x  则,3 BA  A.(-1，3) (2)若 a 实数，且 A.-4 B. -3 B.(-1，0 ) 2  1   ai i C. 3 3 C.(0，2) D.(2，3) i 则, a  D. 4 (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013(年) A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量 a  ),1,0(  b  ),2,1( 则（2 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 ba  ） a  (5)设 S n 是等差数列   a n 的前 n 项和，若 a 1  a 3  a 5  ,3 则 S 5  A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 1 8 B. (7)已知三点 C. 1 6 1 7 ),01( A ，，，， 1 5 )32( )30( C B D. ,则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 A. 5 3 B. 21 3 C. 52 3 D. 4 3 - 1 -

(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为开始输入 a,b a>b 是是否 a=a-b b=b-a a  b 否输出 a 结束 B. 2 A. 0 (9)已知等比数列  an 满足 a 1  A. 2 B. 1 C. 1 2 （10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，  C. 4 D.14 1 4 , aa 3 5  (4 a 4 1 8 AOB D.  ),1 则 a 2  C  ,90 C 为该球面上动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 A. 36π C. 144π (11)如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记 D.256π B. 64π  BOP  x , 将动点 BAP 到 , 两点距离之和表示为函数 ( xf ), 则 )( xf 的图像大致为 Y 2 D A P C x O B Y 2 Y 2 Y 2 O π 4 A π 2 3π 4 π O X π 4 B π 2 3π 4 π X O π 4 3π 4 π π 2 C X O π 2 3π 4 π 4 D π X - 2 -

（12）设函数 )( xf  A. 1( 3 )1, B. ( 1 1 x  )  x )   ,1( 1ln(  1, 3 )  , 2 则使得 )( xf  1( 1, 3 3 ) f 2( x  )1 x 成立的的范围是 1,  3 1( 3   ) ( , ) D. C. 第二卷二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分（13）已知函数 )( xf  3 ax  2 的图像过点（ 4,1- x ），则 a  。（14）若 x,y 满足约束条件 ,0 5 y x  ,01 2 x y  2 ,01 x y        则 z  2 x  y 的最大值为。（15）已知双曲线过点，且渐近线方程为），（ 3,4 y 1 2 x ，则该双曲线的标准方程为。（ 16 ）已知曲线 y ln x x 在点（ 1,1 ）处的切线与曲线 y  2 ax  ( a  )2 x  1 相切，则 a  。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分） BC  ABC 中，是上的点， AD 平分  BAC , BD  2 DC . D B  C  ; （Ⅰ）求 sin sin （Ⅱ）若  BAC  ,60  求 . B 18. （本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B地区用户满意度评分的频率分布表. - 3 -

A地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 满意度评分 B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 [50,60) [60,70 ) [70,80 ) [80,90 ) [90,10 0] 频数 2 8 14 10 6 （I）在答题卡上作出 B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可） B地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 50 60 70 80 90 100 满意度评分（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70 分 70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 19. （本小题满分 12 分）如图,长方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 中 AB=16,BC=10, AA  ,点 E,F 8 1 分别在 1 1 ,A B D C 上, 1 A E D F 1 1 1  过点 E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一 4. - 4 -

个正方形. F D 1 E D C 1 C B 1 B A 1 A （I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C : 2 2 x a  2 2 y b  1  a   的离心率为 2 b 2 0  ,点 2, 2 在 C上.  （I）求 C的方程；（II）直线 l不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l与 C有两个交点 A,B,线段 AB中点为 M,证明：直线 OM的斜率与直线 l的斜率乘积为定值. 21. （本小题满分 12 分）已知   f x  ln x a   1  x  . （I）讨论   f x 的单调性；（II）当   f x 有最大值,且最大值大于 2 2a  时,求 a的取值范围. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 - 5 -

22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 O是等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ABC的底边 BC交于 M,N两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC分别相切于 E,F两点. （I）证明 EF ∥ BC . （II）若 AG等于⊙O 的半径,且 AE MN  2 3 , 求四边形 EDCF的面积. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 A G E F O B M D N C C 在直角坐标系 xOy 中,曲线 1 : x    y t t , cos  sin ,  （t为参数,且 0 t  ）,其中 0    ,在以 C O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 2 :   （I）求 2C 与 3C 交点的直角坐标； 2sin ,    C 3 : 2 3 cos .  （II）若 1C 与 2C 相交于点 A, 1C 与 3C 相交于点 B,求 AB 最大值. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设 , a b c d 均为正数,且 a b c d    .证明： , , （I）若 ab cd ,则 a  b  c  d ；（II） a  b  c  d 是 a b    的充要条件. c d 2015 普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学答案一、选择题 1、选 A 2、解：因为 2  ai  3(  i 1)(  i )  ,42 i 所以 a  .4 故选 D - 6 -

3、选 D 4、选 B 5、解：在等差数列中，因为 a 1  a 3  a 5  ,3 所以 a 3  ,1 S 5  ( a 1  5)  5 a 2  5 a 3  ,5 故选 . A 6、解：如图所示，选 D. 7、解：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D，则 D（1， 32 3 ）所以， OD 41  3  7 3  21 3 . 故选 B. 8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2, 4-2=2,所以 a=b=2，故选 B. 9、解：因为  an 满足 a 1  2 a 4  (4 a 4  ),1 解得 a 4  1 4 ,2 , aa 3 5  (4 a 4  ),1 所以，又 a 4  qa 1 3 ，所以 q  ,2 所以 a 2  qa 1  2 1 4 1 2 . 故选 C. 10、解：因为 A,B 都在球面上，又  三棱锥的体积的最大值为 1 3  1 2 2 R  S= 2 Rπ 4 144 π，故选 C. 11、解：如图，当点 P 在 BC 上时， AOB 1 6 R  BOP   PB PA   4 x 当 , PBx tan   x , tan PAx tan 4    2 4 , x  2 tan x , 时取得最大值 1 ， 5  ,90 C 为该球面上动点，所以 3 R  36 ，所以 R=6，所以球的表面积为 D A P C x O B 以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 1 5 . 又函数 )(xf 不是一次函数，故选 B. 12、解：因为函数 )( xf  1ln(   )( xf  f 2( x )1  x 2 x , ) x  1 1 x  2 ,1 2( x  2 是偶函数， x  2 ,)1 解得  ,0[  ) 时函数是增函数  x .1 故选 A. x 1 3 二、填空题 13、答：a=-2 14、解：当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8. - 7 -

15、解：设双曲线的方程为 2 x  4 2 y  ( kk  ),0 ，点（ 3,4 ）代入方程，解得 k  .4  双曲线的标准方程为 2 x 4  2 y  1 切线的斜率为 2 ，切线方程为 y  2 x  .1 2 ( ax  a 解得 a  )2 x  8 a 或   2 1 ax ax 联立得 0 .0 a 时曲线为   ,0  2 y x  2  1 与切线平行，不符。 ,11'  x  ,0 1 y 与 8 a  16、解： y 由将 x 2 2 a  y   a 所以   .8 四、解答题 17、解：（Ⅰ）由正弦定理得再由三角形内角平分线定理得（Ⅱ）   BAC  ,60  B AC AB sin B   sin C  AC DC  AB BD 120 C  , 1 2  ， sin sin B  C   1 2 . B  C   sin C . 1 2 sin2  B , sin( 120  B ) sin2 B , 展开得 1 由（）得 tan  B sin sin 3 3 ,  B .30  18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示 B地区用户满意度评分的频率分布直方图频率组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 50 60 70 80 90 100 满意度评分比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知： A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分 B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分 A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。（2）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6， B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。 19、解：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得 AM=DN=10, 然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面α。 - 8 - F D 1 E D C 1 C B 1 B A 1 A

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