2007年全国卷I高考理科数学真题及答案.doc-资料库

第1页 / 共9页

第2页 / 共9页

第3页 / 共9页

第4页 / 共9页

第5页 / 共9页

第6页 / 共9页

第7页 / 共9页

第8页 / 共9页

2007 年全国卷 I 高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P A B 如果事件 A B，相互独立，那么 ( P A B  ( ( P A P B ) ( P A ( P B     ) ) ) ) )  球的表面积公式 2  4π R S 其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V  3 4 π R 3 其中 R 表示球的半径 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) P k n n  ，，，…， 0 1 2 C p (1 n k    p k k n ) ( ) k 一、选择题（1）是第四象限角， tan   ，则sin （ 5 12 B． A． 1 5 1 5 （2）设 a 是实数，且   D． 5 13 是实数，则 a  （ C． 5 13 1 i  2 a 1 i   A． 1 2 B．1 C． D． 2 3 2 ））（3）已知向量 ( 5 6)   ， a ， (6 5)  ，b ，则 a 与 b （） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4 0)  ，， (4 0)，，则双曲线方程为（） A． 2 x 4 2 y 12  1 B． 2 x 12 2 y 4  1 C． 2 x 10 2 y 6  1 D． 2 x 6 2 y 10  1 （5）设 a b  R，，集合 1 a b a ，，   0 b  ，，，则b a  （   a     b ）

A．1 B． 1 C． 2 D． 2 （6）下面给出的四个点中，到直线 x y   的距离为 1 0 2 2 ，且位于的平面区域内的点是（） A．(11)， B．( 11) ， C．( 1 1)  ， D．(1 1)，（7）如图，正四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 AA 中， 1  2 AB ，则异面直线） A． 1A B 与 1AD 所成角的余弦值为（ 3 5 log a （8）设 1a  ，函数 ( ) f x 1 5 2 5 B． C．  D． 4 5 2a a，上的最大值与最小值之差为 A x 在区间 1 0 x         1 0 x  y y ，表示 1D 1A D 1C 1B C B 1 2 ，则 a  （） A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 4 （9） ( ) f x ， ( )g x 是定义在 R 上的函数， ( ) h x  ( ) f x  ( ) g x ，则“ ( ) f x ， ( )g x 均为偶函数”是“ ( )h x 为偶函数”的（） A．充要条件 C．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 D．既不充分也不必要的条件 1 n   x  B． 4 （10） 2 x    A．3 （11）抛物线 2 y 的展开式中，常数项为15 ，则 n  （） C．5 D．6 x 的焦点为 F ，准线为l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 4 上方的部分相交于点 A ， AK l⊥ ，垂足为 K ，则 AKF△ 的面积是（） A． 4 B．3 3 C． 4 3 D．8 （12）函数 ( ) f x  2 cos x  2cos 2 A．    2   ， 3 3    B．      ， 6 2    x 2 的一个单调增区间是（）  C． 0 ，  3     第Ⅱ卷 D．      ， 6 6    注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共 10 题，共 90 分．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在横线上．（13）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）（ 14 ）函数 y  ( ) f x 的图像与函数 y  log 3 ( x x  的图像关于直线 y 0) x 对称，则 ( ) f x  ．．（15）等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 1S ， 22S ， 33S 成等差数列，则 na 的公比为（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分 10 分）设锐角三角形 ABC 的内角 A B C，，的对边分别为 a b c，，， 2 sin （Ⅰ）求 B 的大小； sin （Ⅱ）求 cos C （18）（本小题满分 12 分）的取值范围． A A ．．  a  b 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为  P 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元．表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件 A ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ( )P A ；（Ⅱ）求的分布列及期望 E．（19）（本小题满分 12 分）四棱锥 S ABCD  中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC  底面 ABCD ．已知 ∠ ABC  45  ， AB  ， 2 BC  2 2 ， SA SB  ． 3 S （Ⅰ）证明 SA BC （Ⅱ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小．； D C A B （20）（本小题满分 12 分）设函数 ( ) f x  x e x   ． e

（Ⅰ）证明： ( ) f x 的导数 ( ) f x ≥ ； 2 （Ⅱ）若对所有 x ≥ 都有 ( ) f x 0 ax≥ ，求 a 的取值范围．（21）（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 x 3 2 y 2 1  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ．过 1F 的直线交椭圆于 B D，两点，过 2F 的直线交椭圆于 A C，两点，且 AC BD （Ⅰ）设 P 点的坐标为 0 x ( y，，证明： ) 0 ，垂足为 P ． 2 y 0 2  ； 2 x 0 3 1 （Ⅱ）求四边形 ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分 12 分）已知数列 na 中 1 a  ， 1 n ( 2 1)(   2  a a （Ⅰ）求 na 的通项公式；  ， 1 2 3 n  ，，，…． 2) n （Ⅱ）若数列 nb 中 1 b b  ， 1 n 2   3 b n 2 b n   4 3 ， 1 2 3 n  ，，，…，证明： 2  ≤ b n a  4 n 3 ， 1 2 3 n  ，，，…．一、选择题：（1）D （7）D 二、填空题：（2）B （8）D 参考答案（3）A （9）B （4）A （10）D （5）C （11）C （6）C （12）A （13）36 （14）3 ( x x R ) （15） 1 3 （16） 2 3 三、解答题：（17）解： B  ， 1 2 （Ⅰ）由 2 sin  a b A ，根据正弦定理得sin A  2sin sin B A ，所以 sin 由 ABC△ 为锐角三角形得 B  ． π 6 （Ⅱ） cos A  sin C  cos A  sin         A     cos A  sin   6  A   

 cos A  1 2 cos A  3 2 sin A 为锐角三角形知，     ． B   2 6  3  3    ．  3 sin  A   由 ABC△   2 2 2   3 3    sin 所以 1 2 A B A    ，  2    ，  6    3  A  3 2 ．由此有 3 2  3 sin A      3     3 2  3 ，所以， cos A  sin C 的取值范围为     3 3 ，． 2 2     （18）解：（Ⅰ）由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”．知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” ( P A   (1 0.4) ) 2  0.216 ， ( P A ) 1   ( P A ) 1 0.216 0.784    ．（Ⅱ）的可能取值为 200 元， 250 元， 300 元． P (   200)  P (   1) 0.4  ， P (   250)  P (   2)  P (   3) 0.2 0.2 0.4    ， 300) 1   (   P 的分布列为 P (   200)  P (   250) 1 0.4 0.4 0.2     200 0.4 200 0.4 250 0.4 300 0.2  P      E 250 0.4 ． 300 0.2 240 （元）．  （19）解法一：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，得 SO ⊥ 底面

ABCD ．因为 SA SB ，所以 AO BO ，又 ∠ ABC  45  ，故 AOB△ 为等腰直角三角形， AO BO⊥ ，由三垂线定理，得 SA （Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA BC⊥ ． BC⊥ ，依题设 AD BC∥ ，故 SA AD⊥ ，由 AD BC  2 2 ， SA  ， 3 AO  ，得 2 SO  ， 1 SD  11 ． SAB△ 的面积 S 1  1 2 AB SA  2  连结 DB ，得 DAB△ S 的面积 2  设 D 到平面 SAB 的距离为 h ，由于 D SAB 1 3  ， SO S h S  1 1 3  2  AB 2     2 ． D C A 1   2  1 2 V AB AD  sin135  2 V  S ABD ，得 S O B 解得 h  ． 2 设 SD 与平面 SAB 所成角为，则 sin  h SD  2 11  22 11 ．所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 11 ．解法二：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，得 SO ⊥ 平面 ABCD ．因为 SA SB ，所以 AO BO ．又 ∠ ABC  45  ， AOB△ 为等腰直角三角形， AO OB⊥ ．如图，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系O xyz ， B ，，， (0 C ，，， (0 0 1) S ，，， 2 0)  SA  ( 2 0 ，，，  1) ( 2 0 0) A ，，， (0 2 0)  CB  (0 2 2 0) ，，，   SA CB   0 ，所以 SA BC⊥ ． z S G （Ⅱ）取 AB 中点 E ， E     2 2 ，，， 2 0 2     D O E B y C x A

连结 SE ，取 SE 中点G ，连结OG ， OG      2 4 ，，， 2 1 2 4     SE      2 2 ，，， AB   ，，． 2 2 0) ( 2 4 ，，． 2 1 4 2     G      2 1   2  SE OG   0 ， AB OG   0 ，OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE ， AB 垂直．所以OG  平面 SAB ，OG 与 DS 的夹角记为，SD 与平面 SAB 所成的角记为，则 与互余． D ，，， ( 2 2 2 0) DS   ，，． 2 2 2 1) ( cos  OG DS OG DS    22 11 ， sin  22 11 ，所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin 22 11 ．（20）解：（Ⅰ） ( )  f x 的导数 ( ) f x  x e x   ． e x 2 e e  x  2 ，故 ( ) f x ≥ ． 2 x -x e  ≥ 由于 e （当且仅当 0 （Ⅱ）令 ( ) g x  x  时，等号成立）． ( ) f x  ，则 ax  ( ) g x  ( ) f x   a x e  e  x  ， a （ⅰ）若 a ≤ ，当 0  x  时， ( ) g x 2  x e  e  x    ≥ ， a a 2 0 y A D P 2F 1F O B x C 故 ( )g x 在 (0 )， ∞ 上为增函数，所以， x ≥ 时， ( ) g x 0 g≥ (0) ，即 ( ) f x ax≥ ．（ⅱ）若 2 a  ，方程 ( ) 0 g x  的正根为 a  x 1  ln 2  4 ， a 2 此时，若 x  ，，则 ( ) 0 g x  ，故 ( )g x 在该区间为减函数． (0 ) x 1 所以， x  ，时， ( ) g x (0 ) x 1 g (0) 0  ，即 ( ) f x ax ，与题设 ( ) f x ax≥ 相矛盾．综上，满足条件的 a 的取值范围是 ∞，． 2

（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距 c  3 2 1   ，由 AC BD⊥ 知点 P 在以线段 1 2F F 为直径的圆上，故 2 x 0 y 2 0  ， 1 所以， 2 x  2 3 2 y 0 2 ≤ 2 x 0 2  2 y 0 2 1 1   2 ．（Ⅱ）（ⅰ）当 BD 的斜率 k 存在且 0 k  时， BD 的方程为 y  ( k x 1)  ，代入椭圆方程 2 x 3 2 y 2  ，并化简得 2 (3 k 1  2 2) x  6 2 k x  3 k 2   ． 6 0 ( B x 设 1 y，， ) 1 ( D x y，，则 2 ) 2 x 1  x 2   2 6 k 2 3 k  2 ， x x 1 2  2 2 3 k 3 k   6 2 BD  1  k 2  x 1  x 2  (1  k 2 )  x  (  2  x 2 2 )  4 x x 1 2    因为 AC 与 BC 相交于点 P ，且 AC 的斜率为  ， 1 k 1) 2 4 3( k 2 3 k   2 ；     AC 4 3 所以， 1 2 k 1 2 k 四边形 ABCD 的面积 3   1    2  1) 4 3( k 2 2 k 2   3 ． S  1 2  BD AC  (3 k 24( 2  2 1) k  2 2)(2 k 2 ≥  3) 2 2 1)  (2 k 2 ( k  2)   2  3)    2 (3 k     2 96 25 ． k  或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 S  ． 4 96 25 ． 1 当 2 k  时，上式取等号．（ⅱ）当 BD 的斜率 0 综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为（22）解：（Ⅰ）由题设： a   1 n ( 2 1)(  a n  2)  ( 2 1)(  na  2)  ( 2 1)(2   2)

资料库

2007年全国卷I高考理科数学真题及答案.doc

相关推荐

高考

热门标签

最新资料