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2021年广东暨南大学数学分析考研真题.doc

发布时间：2022-09-15 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.18M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2021 年广东暨南大学数学分析考研真题 招生专业与代码：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、 统计学 考试科目名称及代码：709 数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 一、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1. 极限 lim 0 x  2020 x   2 = x 2021 x . 2. 已知  ( ) f x dx  2 sin x C  ，其中C 为任意常数，则 xf x dx  ( ) =  . 3. 当常数满足 时瑕积分 1 1  x 0 sin dx 1 x 条件收敛. 4. 参数曲线 x     y  cos sin t t   t t sin cos t t 上任一点的法线到原点的距离为 . 5. 二重积分 1  0 dy  y x siny x dx = . 6. 设 S 为球面 2 x  2 y  2 z  ，则第一型曲面积分   3 S 2 x   2 y dS = . 二、计算题（共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 1. 求极限 lim n     2 n n  2 1 n  2 2  2 n    n  2 n    . 2 n 2. 求积分   0 1 )(1 (1  2 x  2 2 a x ) dx ，其中| | 1 a  .
    3. 已知函数 ( ) f x 为非负连续函数，且满足 ( ) f x f ( x   ) 1  ，求积分 2   2 1 cos  x dx ( ) f x . 4. 设 L 为单位球面 2 x  2 y  2 z  与圆柱面 2 x 1  2 y  在区域 x ( , , ) x y z  3 , R y z |  0  的那部分曲线段，且 L 的正向选择如下：当在 L 上运行经过点{0,0,1} 时， L 的切方向恰好 指向 y 轴正半轴. 求第二型曲线积分 xdx  ydy  zdz .  L 5. 设 S 是三角形 ( , , ) x y z  3 , R x y z , |  0, x    ，法向量与{1,1,1} 同方向. 求第 1 y z  二型曲面积分  S 2 y dydz  xydzdx  xzdxdy . 三、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1. 求函数 ( ) f x  1 1 sin  x 的麦克劳林公式中 3x 和 4x 项前的系数. 2. 求幂级数 n   2 ( n  n n x 1)! 的和函数. 3. 已 知 方 程 x  2 y  3 z  cos y  在 (0,0,1) 附 近 唯 一确 定 了 隐 函 数 0 z  ( , f x y ) ， 求 f x y 在 (0,0) 点处的带佩亚诺余项的直到二阶的泰勒公式. ( , ) 四、讨论分析题（共 1 小题，每小题 10 分，共 10 分） 1. 判别级数   ( 1)n n 1  n arctan n n n 的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛. 五、证明题（共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分） 1. 设 f 为[0, ) 上的可导函数，且对任何 0 x  有 ( ) f x e ( f x )  arctan x ，证明：对任何
    x  ，函数 ( ) f x 有一个上界是 0  2 . 2. 设数列 { }na 满足 1 n a   2( a a n 1)  n 2  ， 1,2, n   , 且 1 a  . 证明：数列 { }na 收敛且 0 lim n  a n  2 . 3. 设函数 ( ) f x 在[0, ] 上连续，且   0 ( ) f x dx  0 内至少存在两个不同的点，，使得 ( ) f ( )  f ， ( )cos f x xdx  0 . 证明：在 (0, )  0  0  . 4. 把函数 ( ) f x ,     4   ,  4     x 0 展开成傅里叶级数并由此证明： 0   x  3 6     1 1 5 1 1 1 1 7 11 13 17     .
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