使用matlab进行频谱分析时若干问题解释.pdf-资料库

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jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档使用 matlab 进行频谱分析时若干问题解释作者：jbb0523（彬彬有礼）本文共说明了以下问题：一、在 matlab 中如何表示频率为 f1，以采样率 f 抽样后所得到的数字信号？如此表示的依据是什么？二、使用 matlab 画出的频谱(一般是幅度谱或称振幅谱)的横坐标轴的意义是什么？如何根据横坐标轴的值得到其所对应的实际频率？三、实数序列的频谱除第零个点和第 N/2 个(当 N 为偶数时)点外（从 0~N-1），其它具有共轭对称性质；复数序列呢？四、频率分辨率指的是什么？高分辨谱和高密度谱有何区别？有何作用？约定：对于信号 cos(wt)，它是以周期为 2*pi/w 为周期的信号，角频率 w=2*pi*f，我们经常这样称呼这个信号：它的角频率为 w，频率为 f Hz，周期 T=1/f 秒； 1）在 matlab 中对信号 s1(t)=cos(w1t)=cos(2*pi*f1*t)进行采样，其中 f1=1000Hz，根据奈奎斯特采样定理，采样频率 f>=2*f1，在此我们取 f=3000Hz。在 matlab 中仿真也好，实际中处理的信号也罢，一般都是数字信号。而采样就是将信号数字化的一个过程，设将信号 s1(t) 数字化得到信号 s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n) ，其中 n=[0…N-1]，N 为采样点数。我们来解释一下 s1(n)，为什么说 s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)表示以采样率 f 对频率为 f1 的信号进行采样的结果呢？采样，顾名思义，就是对信号隔一段时间取一个值，而隔的这段时间就是采样间隔，取其倒数就是采样率了，那们我们看 s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，将前面的参数代入，当 n=0 时 ,s1(0)=cos(0)，当 n=1 时 ,s1(1)=cos(2*pi*1000/3000*1)，当 n=2 时 , s1(2)=cos(2*pi*1000/3000*2)，当 n=3 时,s1(3)=cos(2*pi*1000/3000*3)，这是不是想当于对信号 s1(t)的一个周期内采了三个样点呢？对一个频率为 1000Hz 的信号每周期采三个样点不就是相当于以 3 倍于频率的采样率进行采样呢？注意，当 n=3 时相当于下一个周期的起始了。我们取采样点数 N=64，即对 64/3=21.3 个周期，共计 64/3/f1=21.3ms 时长。我们在 matlab 中输入以下命令： >> n=0:63; >> f1=1000;f=3000; >> s1=cos(2*pi*f1/f*n); >> plot(abs(fft(s1)));

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档图 1 我们对图 1 进行一下解释，以说明图中的横坐标轴的所代表的意义。对于信号 s1(t)=cos(w1*t)，我们知道它的傅里叶变换是 S1(w)=pi*[δ (w-w1)+δ (w+w1)]。如果在-2*pi*3000/2~2*pi*3000/2 范围内观察信号 s1(t)的频谱，则应该在+2*pi*1000 和 -2*pi*1000 两个频点上有两根谱线，而对采样后的数字信号，频率坐标轴范围 -2*pi*3000/2~2*pi*3000/2 将被归一化到-2*pi*(3000/2)/3000~2*pi*(3000/2)/3000 即-pi~pi 范围内，因此将在+2*pi*1000/3000 和-2*pi*1000/3000 即+2*pi/3 和-2*pi/3 的两个频点上有两根谱线。注意，此时坐标轴上的 2*pi 代表着 3000Hz 的频率范围。另外还有一点应该明白的是，时域采样意味着频域的周期延拓，即-pi~pi 上的谱线与 -pi+M*2pi~+pi+M*2pi 范围内的谱线是一模一样的，其中 M 为任意的整数。更通俗的说，a~b 之间的频谱与 a+M*2pi~b+M*2pi 之间的频谱是一模一样的。因此-pi~0 之间的频谱与 pi*2pi 之间的频谱是一样的。在 matlab 中，如果仅简单的执行 plot 绘图命令，坐标横轴将是 1~N，那么这 1~N 代表着什么呢？是的，应该代表 0*2pi，应用到上面的例子即是 0~3000Hz 的频率范围。其中 1~N/2 代表 0~pi，而 N/2~N 代表-pi~0。从理论上讲 s1(t)=cos(2*pi*f1*t)应该在 1000Hz 和-1000Hz 两个频点上有两根线，即应该在 x1（其中 x1*(3000/2) /(64/2)=1000，解得 x1=21.3）上和 64-x1 上有两根谱线。观察图 1 可知，两个峰值大约对应横轴坐标为 21 和 43=64-21 两个点。若令 s2(t)=sin(w1*t)，则傅里叶变换是 S1(w)=-j*pi*[δ (w-w1)-δ (w+w1)]，在 matlab 中执行以下命令： >> n=0:63; >> f1=1000;f=3000; >> s2=sin(2*pi*f1/f*n);

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档 >> plot(abs(fft(s2))); 则可得其频谱，如图 2 所示：图 2 由图可得两个峰值的位置基本与图 1 相同，这由其傅里叶表达式也可以得出此结论。以上分别说明了余弦和正弦的频谱，而且余弦和正弦均是实数序列，实数序列的离散傅里叶变换(DFT)具有共轭对称性质（此性质可百度或查阅数字信号处理相关书籍或自行推导，很简单的），这从图中也可以看出。（画图时取其模值，共轭取模与原先数取模将变成相等） 2）复数的频谱若令 s3(t)=cos(w1*t)+j*sin(w1*t)，则计算其傅里叶变换可得 S2(w)=pi*[δ (w-w1)+δ (w+w1)]+j*{-j*pi*[δ (w-w1)-δ (w+w1)]}=2*pi*δ (w-w1)，因此频谱中将只有一根谱线。在 matlab 中输入以下命令： >> n=0:63; >> f1=1000;f=3000; >> s3=cos(2*pi*f1/f*n)+1j*sin(2*pi*f1/f*n); >> plot(abs(fft(s3)));

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档图 3 从图 3 可以看出，对于一个复数序列求频谱，它的幅度谱将不再是对称的两根谱线。其实经过类似于实数序列的推导可以得出，复数序列的频谱将不再具有类似于实数序列的共轭对称性质。当 w1 为负值时会如何呢？输入以下命令计算 s4(t)=cos(w1*t)+j*sin(w1*t)的频谱： >> n=0:63; >> f1=-1000;f=3000; >> s4=cos(2*pi*f1/f*n)+1j*sin(2*pi*f1/f*n); >> plot(abs(fft(s4)));

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档图 4 对比图 3 和图 4 可知，当频率为正值时，峰值将在 1~32 范围内；而当频率为负值时，峰值将在 33~64 之间。此性质可通俗的描述如下：对于信号 s(t)=cos(2*pi*f*t)+j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为 fs，采样点数为 N，得到数字信号 s(n),n=[0,…,N-1]，则对 s(n)做 DFT 变换进行谱分析后得到 S(k),k=[0,…,N-1]。观察 S(k)的幅度谱，若 k=0~N/2-1 之间有峰值，则 s(t)的频率 f 在 0~fs/2 之间；若 k=N/2~N-1 之间有峰值，则 s(t)的频率 f 在-fs/2~0 之间；并且有且只有一个峰值。计算公式如下：设幅度谱峰值当 k=k1 时出现，则 s(t)的频率为：同理，可推出如下性质：对于信号 s(t)=cos(2*pi*f*t)-j*sin(2*pi*f*t)，对其进行符合奈奎斯特采样定理的采样，设采样率为 fs，采样点数为 N，得到数字信号 s(n),n=[0,…,N-1]，则对 s(n)做 DFT 变换进行谱分析后得到 S(k),k=[0,…,N-1]。观察 S(k)的幅度谱，若 k=0~N/2-1 之间有峰值，则 s(t)的频率 f 在-fs/2~0 之间；若 k=N/2~N-1 之间有峰值，则 s(t)的频率 f 在 0~fs/2 之间；并且有且只有一个峰值。计算公式如下：设幅度谱峰值当 k=k1 时出现，则 s(t)的频率为： NkNkNNfsNkkNfsf12),1(*210,1

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档 3）下面引入一个新的概念：频率分辨率频率分辩率是指频域取样中两相邻点间的频率间隔。更确切的说是如果某一信号含有两个频率成分 f1 和 f2，Of=|f2-f1|，频率分辨率的概念是如果频率分辨率大于 Of，对信号进行谱分析后将不能视别出其含有两个频率成分，这两个频率将混叠在一起。以下是摘自华科姚天任《数字信号处理（第二版）》第 92 页的一段：现在我们设定信号 s5(t)=cos(w1*t)+sin(w2*t)，其中 w1=2*pi*1000，w2=2*pi*1100 在 matlab 中输入以下命令计算其频谱： >> n=0:63; >> f1=1000;f2=1100;f=3000; >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); >> plot(abs(fft(s5))); NkNkNNfsNkkNfsf12),1(*210,1

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档图 5 从图 5 中可以看出能够分辨出 f1=1000Hz 和 f2=1100Hz 两个频率分量。我们利用上面的理论来计算一下此时的频率分辨率：采样频率 fs=3000Hz 采样点个数 N=64 最长记录长度 tp=N*(1/fs) 频率分辨率 F=1/tp=fs/N=3000/64=46.875Hz 因为 F> n=0:23; >> f1=1000;f2=1100;f=3000; >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); >> plot(abs(fft(s5)));

jbb0523（彬彬有礼）理论笔记系列文档图 6 第二种尝试：采样率 fs 升为 8000Hz，即满足奈奎斯特采样定理，大于信号 s5(t)的最高频率分量 1100Hz 的两倍，采样点个数 N 不变，仍为 64 个，在 matlab 中输入以下命令： >> n=0:63; >> f1=1000;f2=1100;f=8000; >> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n); >> plot(abs(fft(s5)));

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