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矩阵论习题答案.doc
T=
T
A=P
J =
A～J=
A～J=
A～J=
P=
U=, U
UAU=
A=UU
B=UU
UAU=diag(
(3)(1). 任取x
A=
P= , P
P=P=
A(t)=,
A=
A=
A=
A=
A=
A=
A==QR
H=, H=
HAH=
1．设x=为对应于特征值
习 题 一
2 为 A
2
A22
O 的特征值, 故
1. 设为的任一特征值,则因
2
0
. 即
2
=0 或 2.
2. A～B, C～D 时, 分别存在可逆矩阵 P 和 Q, 使得 P 1 AP=B,
Q 1 CQ=D.令
则 T 是可逆矩阵,且
T 1
OA
CO
T=
1
P
O
1
QO
T=
OP
QO
OA
CO
OP
QO
=
OB
DO
3. 设 ix 是对应于特征值 i的特征向量, 则 A ix = i ix , 用 1A 左乘得
x
1
xA
.即
i
i
i
AE
故 1
4. (1) 可以.
i 是 A 的特征值, i=1,2,
, n.
)(1
)(1
(
4
21
003
04
1
P
=
,
1
xA
i
i
1
x
i
)2
,
P
1AP
1
1
.
2
(2) 不可以.
(3)
P
010
101
110
,
P
1AP
2
2
.
1
5. (1) A 的特征值是 0, 1, 2. 故 A =－(b－a) 2 =0. 从而 b=a.又
1
a
1
将=1, 2 代入上式求得 A=0.
AI
a
1
a
1
a
1
=
2
2
a
3
(
2
)2
(2) P =
.
1
01
0
01
1
01
2
(
()2
)1
6.
=
AI
=2 所对应的方程组 (2I－A)x=0 有解向量
, A 有特征值 2, 2, －1.
1
p 1=
1
4
0
,
p 2 =
1
0
4
=－1 所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量
p 3=
1
0
0
, 则 P 1 =
1
12
P 1 =
1
3
100
24
0
244
0
4
4
100
2
0
3
4
1
16
4
100
2
1
100
23
100
2
. 于是有
1
0
100
1
.
令 P=(p ,1 p ,2 p 3)=
100
2
A 100 =P
AI
7． (1)
111
004
140
100
2
1
241
=D 3(), I－A 有 2 阶子式
100
=
(2
)1
1
21
1
17
=－4
－4 不是 D 3()的因子, 所以 D 2 ()=D 1()=1, A 的初等因子为
－1,
2 . A 的
Jordan 标准形为
J =
001
1
00
000
设 A 的相似变换矩阵为 P=(p 1,p 2 ,p 3), 则由 AP=PJ 得
Ap
1
Ap
2
Ap
3
0
p
p
1
2
解出
(2) 因为
P=
1
1
1
),2
;
1
1
3
2
4
2
)(
D
1
D
2
D
)(
(
3
2
()1
设变换矩阵为 P=(
ppp
1
,
,
2
A～J=
), 则
3
，故
1)(
011
010
200
2
Ap
1
Ap
2
Ap
(
p
1
p
1
2 p
3
2
()1
3
),2
p
2
P=
03
13
02
,1
8
5
5
1)(1
D
.A 的不变因子
)(
AI
D
3
(3)
是
,11 d
d
2
,1
d
3
(
)2
)(2
D
)(1
1
1
2
A～J=
因为 A 可对角化，可分别求出特征值－1，2 所对应的三个线性无关
的特征向量：
当=－1 时，解方程组
求得两个线性无关的特征向量
)
xAI
,0
(
当=2 时，解方程组
2(
)
xAI
3p
2p
2
1
0
,
P=
1
0
1
2
1
0
2
1
1
p
1
1
0
,
1
,0
得
2
1
1
1
(4) 因
AI
1
1
21
1
6
3
4
～
2)1
, 故
1
(
11
10
1
A～J=
设变换矩阵为 P=
(
1, pp 是线性方程组
2
2
3
,
, 则
)
,
ppp
2
1
p
Ap
1
1
Ap
p
2
Ap
p
p
2
0
)
xAI
的解向量，此方程仴的一般解形为
s 3
t
s
t
p=
(
3
3
取
3
(
为求滿足方程
)
pAI
3
22
11
11
由此可得 s=t, 从而向量
1p
,
2p
3
0
1
1
1
0
的解向量 3p , 再取
3
s
0
0
p
2
6
3
3
,
xxxp
2
3
3
3
x
3
t
s
t
,
1
x
p 根据
2
s
3
s
t
t
s
11
00
00
T
)
的坐标应満足方程
,
p
(
～
3
s
x
1
2
3
取
)0,0,1(p
3
T
, 最后得
1
0
0
31
01
0
1
. A 的最小多项式为
P=
4
Am
)(
2
3
1
,
10
, 于是
26
61
34
.
=
37
24 2
3
48
0
95
0
61
, 设 f
7
(
A
17
32
1
0
0
0
0
I
1)2
.由此求出
1
0
0
2)1
(
, A 的最小多项
5
3
8. 设 f ()=
8
2
2
作带余除法得
()=(
3
5
2
f
9
14
),
5
4
4
2
)(Am
+
f (A)=
24 2
A
37
A
10
I
9. A 的最小多项式为
()=
2
2
29
12
19
2 . 于是 [f (A)] 1 =
+
f ()=
2
)5
)(
2(
Am
)(
Am
37
,则
6
3
4
2
[f (A)] 1 =
1
23
1
1
21
1
6
3
4
标准形
10. (1) I－A=
式为
( ;
2)1
2)
(
)(1
2 .
(3)
)1
;
11. 将方程组写成矩阵形式:
d
x
1
d
t
d
x
2
d
t
d
x
3
d
t
11
34
88
0
0
1
x
1
x
x
2
3
,
x
x
1
x
x
2
3
4
,
d
d
x
t
d
x
1
d
t
d
x
2
d
t
d
x
3
d
t
, A=
11
34
88
0
0
1
001
012
124
.
则
,
则有
J=PAP 1 =
11
0
1
00
0
0
1
,
.其中 P=
令 x=Py, 将原方程组改写成 :
d
y
1
d
t
d
y
2
d
t
d
y
3
d
t
Jy
d
d
y
t
y
1
y
1
y
2
y
3
解此方程组得: y 1=C 1e t +C 2 Te t , y 2 =C 2 e t , y 3=C 3e t . 于是
t
t
(1) A 是实对称矩阵.
x=Py=
e
c
1
t
e2
c
1
t
e
tc
2
e1
2
)
t(c
2
t
e2
e
e4
4
c
t(c
)
c
1
2
3
=
2)1
(
)(10
AI
t
t
.
,A 有特征值 10, 2, 2.
12.
当=10 时. 对应的齐次线性方程组 (10I－A)x=0 的系数矩阵
8
2
2
22
45
54
～
102
110
000
由此求出特征向量 p 1=(－1, －2, 2) T , 单位化后得 e 1=
(
当=1 时, 对应的齐次线性方程组 (I－A)x=0 的系数矩阵
) T .
1
3
2
3
2
3
,
,
1
2
2
2
4
4
2
4
4
～
21
00
00
2
0
0
由此求出特征向量 p 2 =(－2, 1, 0) T , p 3=(2, 0, 1) T . 单位化后得
e 2 =(
0,
,
2
5
2
,
53
1
5
4
53
,
e 3=(
) T ,
5
53
U=
) T . 令
2
5
1
5
0
1
3
2
3
2
3
2
53
4
53
5
53
, 则 U 1 AU=
10
1
.
1
(2) A 是 Hermit 矩阵. 同理可求出相似变换矩阵
5
U=
0
i
2
1
2
1
2
i
2
1
2
1
2
i
2
1
2
, U 1 AU=
0
.
2
2
13. 若 A 是 Hermit 正定矩阵,则由定理 1.24 可知存在 n 阶酉矩阵 U, 使
得
于是
令
2
2
U H AU=
1
1
1
A=U
= U
B=U
n
,
i﹥0, I=1, 2,
, n.
U H
n
n
2
1
2
U H U
1
n
U H
2
n
U H
则 A=B 2 .
反之,当 A=B 2 且 B 是 Hermit 正定矩阵时,则因 Hermit 正定矩阵
的乘积仍为 Hermit 正定矩阵,故 A 是 Hermit 正定的.
14. (1)(2). 因 A 是 Hermit 矩阵,则存在酉矩阵 U,使得
U H AU=diag(
令 x=Uy, 其中 y=e k . 则 x 0. 于是
1 )
,
n
,
,
2
x HAx=y H (U H AU)y= k ≧0 (k=1, 2,
, n).
1 )U H =Udiag(
,
n
,
,
2
1
2
,
,
,
n
)diag(
1
2
,
,
,
n
)
(2)(3).
A=Udiag(
U H
令
(3)(1). 任取 x 0, 有
P=diag(
1
2
,
,
,
n
)U H , 则 A=P H P .
6
x H Ax=x H P H Px=
2
2Px ≧0.
习 题 二
2
01i4
2
)2(
i)
2
,
,
1.
1x =
i1
2x =
1(
x =max
2. 当 x 0 时, 有 x ﹥0; 当 x﹦0 时, 显然有 x =0. 对任意 C,
有
=7+ 2 ,
i)4i(4
1
=4.
,
1i)(
i1
= 23 ,
i4
1
x =
n
k
1
k
k
2
k
k
n
k
1
2
x
.
为证明三角不等式成立,先证明 Minkowski 不等式:
设 1≦p﹤∞, 则对任意实数 x k ,y k (k=1, 2,
, n)有
(
≦
y
y
x
x
1
p
1
p
1
p
)
)
(
)
(
n
p
n
p
n
p
k
k
k
k
k
1
k
1
k
1
证 当 p=1 时，此不等式显然成立. 下设 p﹥1, 则有
n
k
1
n
k
1
x
k
y
k
p
≦
xx
k
k
y
k
p
1
xy
k
k
y
k
p
1
n
k
1
对上式右边的每一个加式分别使用 Hölder 不等式, 并由 (p－
1)q=p, 得
n
k
1
x
k
y
k
p
≦
(
1
p
(
p
)
x
k
n
k
1
=
[(
p
x
k
)
n
1
k
1
q
n
(
k
1
n
k
1
1
p
(
p
)1
q
x
k
y
k
1
q
)
(
n
k
1
1
p
(
p
)
y
k
n
k
1
(
p
)1
q
x
k
y
k
1
q
)
(
n
k
1
1
p
](
y
k
p
)
n
k
1
x
k
y
k
1
q
p
)
再用
p
x
k
y
k
)
除上式两边,即得 Minkowski 不等式.
现设任意 y=(
1 ) T C n , 则有
,
n
,
2
x
y
n
k
1
2
k
k
k
(
k
k
k
2)
n
≦
k
1
(
k
k
k
k
2)
,
=
n
k
1
≦
n
k
1
(
k
k
2
)
n
k
1
(
j
k
2
=
x
y
.
3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最
大函数的等价定义:
(
ba
ba
)
max(A, B)=
,
x
y
)
b
a
max(
x
y
≦max(
x
a
y
,
a
x
b
y
)
b
1
2
7
=
1
2
≦
a
a
(
x
x
x
1
2
(
1
2
(
x
x
)+max(
=max(
(2) 只证三角不等式.
k 1
x
=( k 1
4.
A
x ≦k 1
bx )+( k 1
53
i4
+k 2
ay
ax +k 2
i1
=
a x
x ,
by
a
b
1m
y
y
b
a
b
x
a
y
a
x
y
a
b
y
b
y
)
)
b
x
b
a
y
a
y
b
y
a
y
)
b
x
b
y
a
y
x
b
b
x
y ,
a
)
b
a
y
b
x
1)
2
(
ax +k 1
ay +k 2
bx +k 2
by
ay +k 2
132
by ) .
18
2
;
;
2
2
2
2
F
3
5
i4
i1
1
A
1A 列和范数(最大列模和)=
;
2
5. 非负性: A≠O 时 S 1 AS≠O, 于是
3
7
2
2
2
A
15
m
66
A =行和范数(最大行模和)=9 ;
＞0. A=O 时, 显然
1AS
A
S
;
m
A =0;
齐次性: 设C, 则
三角不等式:
BA
1
S
A
1
(
)
SA
)
SBAS
≦
(
S
1
1
m
S
ASS
AS
S
m
1
1
m
S
BS
BS
AS
m
1AS
S
1
S
A
S
m
BS
B
AS
1
= A ;
m
;
AB
相容性:
6. 因为 I n ≠O, 所以 nI ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:
)
SAB
BS
≦
S
S
(
m
m
m
m
1
1
1
= A B .
I
n
7. 设 A=(A ij )C nn , x=
II
nn
(
,
1
2
≦ nI
,
n
,
nI
T
)
,即 nI ≧1.
C n , 且 A=
max
,
ji
a
ij
, 则
Ax
1
i
k
a
k
ik
≦
ika =
[
k
k
i
k
k
i
a ]
ik
≦nA
k
k =
mA
1x ;
Ax
2
2
a
ik
k
i
k
≦
[
ika
=
[
k
2]
a
2
k
2
]
i
k
i
k
= n A 2x ≦nA=
mA
2x .
8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立.
A=(a ij ), B=(b ij )C nm ,
a
ij
C=(c st )C ln 且 A=
MBA
=max{m,n}
+B)
max
,
ji
max
,
ji
a
ij
, B=
b
ij
a
max
,
ji
, C=
≦max{m,n}
ij
c
max
st
,
ts
(max
,
ji
. 则
a ≦max{m,n}(A
b
ij
)
ij
=max{m ,n }A+max{m ,n }B=
A
M
B
M
;
8
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