2014年湖北高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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绝密★启用前 2014 年湖北高考文科数学真题及答案本试题卷共 5 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项： ★祝考试顺利★ 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集 {1,2,3,4,5,6,7} U  ，集合 {1,3,5,6} A  ，则 U A  ð A．{1,3,5,6} B．{2,3,7} C．{2,4,7} D． {2,5,7} 2．i 为虚数单位， 1 i  ( 1 i  2 )  A．1 3．命题“ x  R ， 2x x A． x  R ， 2x C． x  R ， 2x x B． 1 x ”的否定是 C．i D． i B． x  R ， 2x D． x  R ， 2x x x 4．若变量 x，y满足约束条件 y x       x y    0, y x  4, 2,  0, 则 2x y 的最大值是 A．2 B．4 C．7 D．8

5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 1p ，点数之和大于 5 的概率记为 2 p ，点数之和为偶数的概率记为 3p ，则 p A． 1  p 2  p 3 p C． 1  p 3  p 2 6．根据如下样本数据 p B． 2  p 1  p 3 p D． 3  p 1  p 2 x y 3 4.0 4 2.5 5 0.5 6 0.5 7 2.0 8 3.0 得到的回归方程为 ˆy  bx a  ，则 A． 0 a  ， 0 b  B． 0 a  ， 0 b  C． 0 a  ， 0 b  D． 0 a  ， 0 b  7．在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为学科网图① 图② 图③ 图④ 第 7 题图 A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 8．设 ,a b 是关于 t的方程 2 cos t t  sin  的两个不等实根，则过 0 ( , A a a 2 ) , ( , B b b 两点的直线与双曲线 ) 2 2 x cos 2   2 2 y sin   的公共点的个数为 1 A．0 B．1 C．2 D．3

9．已知 ( ) f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0 x  时， ( ) = f x 2 x 3 x . 则函数 ( ) g x  ( ) f x  x + 3 的零点的集合为 A. {1, 3} C. {2  7 ,1, 3} B. { 3, 1,1, 3}   D. { 2   7 , 1, 3} 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高 h，计算其体积 V的近似公式 V  21 L h 36 . 它实际上学科网是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3. 那么，近似公式 V  A． 22 7 B． 25 8 22 L h 75 C． 157 50 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为 D． 355 113 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件. 12．若向量  OA  (1, 3)  ，|  OA |  |  OB |   OA OB ，  0 ，  |AB  则| . 开始输入 n 13．在△ABC中，角 A ，B，C所对的边分别为 a，b，c. k  , 1 S  0 已知 π 6 A  ， a =1， b  ，则 B = 3 . 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 n 出 S 的值为 . k k  1 S   S 2k  k 是的值为 9，则输 ? k n 否输出 S 结束第 14 题图

15．如图所示，函数 y  ( ) f x 的图象由两条射线和三条线段组成．第 15 题图若 x  R ， ( ) > ( f x f x  ，则正实数 a 的取值范围为 1) ． 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F（单位时间内经过测量点的学科网车辆数，单位：辆/小时）与车流速度 v（假设车辆以相同速度 v行驶，单位：米/秒）、平均车长 l（单位：米）的值有关，其公式为 F  76000 v 20 18 l v   . 2 v （Ⅰ）如果不限定车型， 6.05 l  ，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型， 5 l  , 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时. 17．已知圆 : O x 2 2 y 1  和点 ( 2, 0) A  ，若定点 ( , 0) B b ( b   和常数 满足：对圆 O 上任意一点 M ，都 2) 有| MB | MA | | ，则（Ⅰ） b  （Ⅱ） ； . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分 12 分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f ( ) 10 t   3cos π 12 t  sin π 12 t ， [0, 24) t  . （Ⅰ）求实验室这一天上午 8 时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.

19．（本小题满分 12 分）已知等差数列{ }na 满足： 1 a  ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列. 2 （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；（Ⅱ）记 nS 为数列{ }na 的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 nS  60 n  ？若存在，求 n 的最小值； 800 若不存在，说明理由. 20．（本小题满分 13 分）如图，在正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 中， E ， F ，P，Q，M，N分别是棱 AB ， AD ， 1DD ， 1BB ， 1 1A B ， 1 1A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线 1BC ∥平面 EFPQ ；（Ⅱ）直线 1AC ⊥平面 PQMN . 第 20 题图 21．（本小题满分 14 分） π 为圆周率， e  2.718 28  为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数 ( ) f x  x ln x 的单调区间；（Ⅱ）求 3e ， e3 ， πe ， eπ ， π3 ， 3π 这 6 个数中的最大数与最小数. 22．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 (1, 0) F 的距离比它到 y 轴的距离多 1．记点 M的轨迹为 C. （Ⅰ）求轨迹 C 的方程；（Ⅱ）设斜率为 k 的直线 l 过定点 ( 2, 1) P  . 求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k的相应取值范围.

绝密★启用前一、选择题： 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题： 11．1800 12． 2 5 13． π 3 或 2π 3 14．1067 15． 1 , 6 (0 ) 三、解答题： 16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ） 1  ；（Ⅱ） 1 2 2 18．（Ⅰ） f (8) 10   3cos π ( 12 8   ) sin π ( 12  8 )  10  3cos 2π 3  sin 2π 3  10  3 (   1 2 )  3 2  10 . 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. （Ⅱ）因为 cos π 12 t  1 2 sin π 12 t ) = 10 2sin(  π 12 t  ， ) π 3 f   ( ) 10 2( t 3 2 t  ，所以 π 3 24 又 0  π 12 t  π 3  ， 7π 3 1 sin(   π 12 π 12 t  t  π 3 π 3 ) 1  . )   . 1 当 2 t  时， sin( π 12 t  π 3  ；当 14 ) 1 t  时， sin( 于是 ( ) t 在[0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8. f 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. 19．（Ⅰ）设数列{ }na 的公差为 d ，依题意， 2 ， 2 d ， 2 4d 成等比数列，故有学科网 (2  2 d )  2(2 4 ) d  ，化简得 2 d 4 d  ，解得 0 d  或 d  4 . 0 当 0 d  时，当 d  4 时， 2 na  ； 2 ( na   n 1) 4    4 n  ， 2 从而得数列{ }na 的通项公式为 . 显然 2 n na  时， 2 n nS 2 （Ⅱ）当 na  或 2 4 n  . 2 na 800  60 n  ，

此时不存在正整数 n，使得当 na 4 n  时， 2 S  n  nS [2 (4 n n  2 60 n  成立. 800  2)]  2 2 n . 400 0  ，  令 22 60 n n 解得 40 n  或    ，即 2 n 800 30 n n   （舍去）， 60 n 10  nS 此时存在正整数 n，使得  成立，n的最小值为 41. 800 综上，当 na  时，不存在满足题意的 n； 2 当 na 4 n  时，存在满足题意的 n，其最小值为 41. 2 20．证明：（Ⅰ）连接 AD1，由 ABCD A B C D 1 1 1  1 是正方体，知 AD1∥BC1，因为 F ， P 分别是 AD ， 1DD 的中点，所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP  平面 EFPQ ，且 1BC  平面 EFPQ ，故直线 1BC ∥平面 EFPQ ． 1A A 1D N P F M D 1C C 1B Q E B 第 20 题解答图（Ⅱ）如图，连接 AC ， BD ，则 AC BD . 由 1CC  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，可得 1CC BD . 又 AC CC C  1 ，所以 BD  平面 ACC . 1 而 1AC  平面 ACC ，所以 1 BD AC 1 . 因为 M，N分别是 1 1A B ， 1 1A D 的中点，所以 MN∥BD，从而 MN AC 1 . 同理可证 PN AC 1 . 又 PN MN N  ，所以直线 1AC ⊥平面 PQMN . 21.（Ⅰ）函数 ( ) f x 的定义域为 ( )0,+ ．因为 ( ) f x  x ln x ，所以  ( ) f x  x 1 ln  2 x ． f x 当 ( )  ，即 0 0 x  时，函数 ( ) f x 单调递增； e

当 ( ) 0 f x  ，即 e x  时，函数 ( ) f x 单调递减．故函数 ( ) f x 的单调递增区间为 (0, e) ，单调递减区间为 (e, )  ．（Ⅱ）因为 e 3 π   ，所以 eln3 eln π  ， πln e  πln3 ，即 e ln3  e ln π ， π ln e  π ln3 ．于是根据函数 ln  ， ex y  ， π x y  在定义域上单调递增，可得 y x e 3  e π 3  ， 3 e π  π e π  ． 3 故这 6 个数的最大数在 3π 与 π3 之中，最小数在 e3 与 3e 之中．由 e 3 π   及（Ⅰ）的结论，得 (π) f  f (3)  f (e) ，即 ln π π  ln3 3  ． ln e e 由 ln π π 由 ln3 3  ，得 3 ln π ln3 3  ，得 e ln3 ln e e  π ln3 ，所以 π 3 3 π ；  3 ln e ，所以 e 3 3 e ．综上，6 个数中的最大数是 π3 ，最小数是 e3 ． 22．（Ⅰ）设点 ( , M x y ，依题意得| ) MF | | x | 1  ，即 ( x 2  1)  2 y  | x | 1  ，化简整理得 2 y  2(| x | x  . ) 故点 M的轨迹 C的方程为 2 y     4 , x 0, x x   0, 0. （Ⅱ）在点 M的轨迹 C中，记 1 :C 4 依题意，可设直线 l 的方程为 1 x ， 2 :C ( k x y    y 2 0 ( x  0) .  y 2). 由方程组 y y     2), 可得 2 ky 1 ( k x   2 4 , x  y  把 1y  代入轨迹 C的方程，得 1 x  4 1)   4(2 k 0. 4   y （1）当 0 k  时，此时 1. 故此时直线 : 1 l y  与轨迹 C 恰好有一个公共点 1( 4 1)    16(2   k k 2 . , 1) . （2）当 0 k  时，方程①的判别式为设直线 l 与 x 轴的交点为 0( x ，则 , 0) 由 1   y ( k x  ，令 0 y  ，得 0 x 2) （ⅰ）若 0,    0, x   0 由②③解得 . 2   1k  k k   ，或 1 k  2 1 . ① . ② ③ 即当 k    ( , 1)  ( 1 2 ,   ) 时，直线 l 与 1C 没有公共点，与 2C 有一个公共点，学科网故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.

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