1991年考研数学三真题及答案.doc-资料库

1991 年考研数学三真题及答案一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 z e sin ,xy 则 dz  _______. (2) 设曲线  f x 则 a  (3) 设  f x  xe  与  ax g x 3 x   _______,b    x ,则  nf  x 在点 x   2  bx  都通过点 c  1 0, 且在点 1 0, , 有公共切线, _______, c  _______. _______处取极小值 _______. (4) 设 A 和 B 为可逆矩阵,     (5) 设随机变量 X 的分布函数为 X 0 B A 0    为分块矩阵,则 1X   _______. ( ) F x  } { P X x          0, 0.4, 0.8, 1, 1, x   1 1, x    3, 1 x   3. x  则 X 的概率分布为 _______. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是 ( ) (A) (C) x  lim 1    0 x 1   x   1 x  lim 1   x  1   x    e (B) (D) x  lim 1    0 x 1   x   e  x  lim 1   x  1   x   e (2) 设 0  na  1 n ( n 1,2,   则下列级数中肯定收敛的是 ) ( ) (A) (C)   n 1    n 1  a n a n (B) (D)   ( 1)n n 1    ( 1)n n 1  a n a 2 n (3) 设 A 为 n 阶可逆矩阵,是 A 的一个特征根,则 A 的伴随矩阵 *A 的特征根之一是( ) 1 (A) nA nA (4) 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 1 A A (C) (D) (B) ( )

(A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相容 (C)  P AB     P A P B   (D)  P A B     P A  (5) 对于任意两个随机变量 X 和Y ,若 ( E XY )  ( ) E X E Y ( )  ,则 ( ) (A) D XY ( )  ( ) D X D Y ( )  (B) D X Y  ( )  ( ) D X D Y  ( ) (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分 5 分) 求极限 x e  e 2 x lim 0 x       e nx  n 1 x    四、(本题满分 5 分) ,其中 n 是给定的自然数. 计算二重积分 I   D ydxdy ,其中 D 是由 x 轴, y 轴与曲线 x a  y b  所围成的区 1 域, a 0, b 0  . 五、(本题满分 5 分) dy dx 求微分方程 xy  2 x 2  满足条件 y y   的特解. x e 2 e 六、(本题满分 6 分) 假设曲线 1L ： y 1   2 x  0   、 x 轴和 y 轴所围区域被曲线 2L ： 1 x  y 2 ax 分为面积相等的两部分,其中 a 是大于零的常数,试确定 a 的值. 七、(本题满分 8 分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 1p 和 2p ；销售量分别为 1q 和 2q ；需求函数分别为 1 q  24 0 2 . p 1  q 和 2  10 0 05  . p 2 ,总成本函数为 C  35 40   q 1   q . 2 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分 6 分) 试证明函数 ( ) f x (1   1 x 九、(本题满分 7 分) 设有三维列向量 ) x 在区间 (0, ) 内单调增加.

 1  1      1     1   ,  2    1    问取何值时, 1    3 1      ,      1  1 1        0 ,   2        ,      (1) 可由 1 ,   线性表示,且表达式唯一? , 2 3 (2) 可由 1 ,   线性表示,且表达式不唯一? , 2 3 (3) 不能由 1 ,   线性表示? , 2 3 十、(本题满分 6 分) 考虑二次型 f  2 x 1  4 x 2 2  4 2 x 3  2 x x  1 2  2 x x 1 3  4 x x 2 3 .问取何值时, f 为正定二次型. 十一、(本题满分 6 分) 试证明 n 维列向量组 1    线性无关的充分必要条件是 2 n , , , 1   2   2 1 D    2 1 T 1 T 2  T n T 1 T 2  T n     n  n T 1 T 2  T n  n  0 , 其中 T i 表示列向量 i的转置, i 1,2, n   . , 十二、(本题满分 5 分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求 X 的概率分布. 十三、(本题满分 6 分) 假设随机变量 X 和Y 在圆域 2 x  2 y 2  上服从联合均匀分布. r (1) 求 X 和Y 的相关系数;(2) 问 X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分 5 分) 设总体 X 的概率密度为 ( ; p x  ax    )  a 1  e 0, a  x  , x x   0, 0, 其中 0 是未知参数, a  是已知常数.试根据来自总体 X 的简单随机样本 0 X X 1 , 2 , X ,求的最大似然估计量 ˆ. , n

答案一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】 e xy sin cos xy ydx   xdy  (2)【答案】 (3)【答案】 1 a   ,  n x   1 b   , 1  ；   1c  1ne     0  A 1 1  B 0    (4)【答案】 (5)【答案】 x { } P X x 1 0.4 1 3 0.4 0.2 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】(A) (2)【答案】(D) (3)【答案】(B). (4)【答案】(D) (5)【答案】(B) 三、(本题满分 5 分) 方法一：这是 1 型未定式极限. x e  e 2 x lim 0 x       e nx  n 1 x     lim 0 x  e ln     x e  e 2 x nx e    n 1 x     lim 0 x  1 x     x e  e 2 x nx e    n      e lim e  0 x  x ln( e  e 2 x nx e ) ln  n    x , 其中指数上的极限是 x ln( e  lim 0 x  0 0 2 e 型未定式,由洛必达法则,有 nx  e )  ln n x   x  lim 0 x  x e e 2 x 2 x 2 e  x e        nx ne nx e  1 2    n  n  1)  ( n n  2 n n 1  2 . 所以 x e  e 2 x lim 0 x       e nx  n 1 x    n 1  2 .  e

方法二：由于 x e  e 2 x      e nx  n 1 x        1  x e  e 2 x   e nx  n 1 x ,   1   x e  e 2 x 记 y    e nx  n  1 ,则当 x  时 0 y  ,从而 0 x e  e 2 x lim 0 x       e nx  n 1 x     lim(1 x  0  ) y 1 x   lim (1  x    0 ) y 1 y     y x . 而 lim(1 y  0  1 ) y y  ,所以 e lim (1 x  0      y ) y x 1 y     lim e  0 x  y x . 又因 lim 0 x  y x  lim 0 x  x ( e 1)   ( e 2 x   ( e nx  1) 1)   nx     所以 lim 0 x  1 n    lim 0 x  x e 1  x  lim 0 x  2 e 1 x  x    lim 0 x  1 e nx  x    洛 1 n (1 2     ) n  n 1  2 . x e  e 2 x   e nx  n 1 x    n 1  2 .  e 四、(本题满分 5 分) 积分区域 D 如图阴影部分所示. 由 x a  y b  ,得 1 y  b  1    2 x a     . ydxdy  a  0 dx  1  b x a 2   0 ydy  dx    1 2 2 y     1  b x a 2 0  2 b 2 a  0 a  0  1    4 x a     dx . ,有 x  a (1  t 2 ) , dx   2 (1 a  ) t dt ,故因此 I  令 1   t  D x a I  2 b 2  2 ab 五、(本题满分 5 分) a  0 1  0 1      4 x a     dx  2 b 2 0 4 t 1  2 ( a t  1) dt 4 ( t  5 t dt )  2 ab    5 t 5  6 t 6 1 0     2 ab 30 .

将原方程化为 dy dx 2 x  2 y  xy  2    1 y    x  y x ,由此可见原方程是齐次微分方程. 令 y ux ,有   u x du dx , 将其代入上式,得 dy dx   u x du dx  2 1 u  u , dy dx 1 u  ,即 dx x  代入上式,得通解 2 y udu  .积分得  22 (ln x 21 u 2  x C ) 化简得将 u dux dx y x y 由条件   x e 2 e ,即 2 e 4  2 2 (ln e e C  求得 )  ln x C  . . 1C  . 所以 2 y  22 (ln x x 1)  所求微分方程的特解. 六、(本题满分 6 分) 先求出曲线 1L 和 2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积 1S 和 2S ,如图：由 2     0 1 x y    2 a y ax    1  x    0  得 ,   x    y   1 1  a  a a . 1 所以 S  S 1  S 2  1  0 ydx  1  0 (1  2 x dx )     x  1 1  a S 1   0 x 1 3  1   3 1 0     2 3 ,  2 x  2  ax dx     0 1 1  a  1    a x 2  1  dx       x  a 1  3 3 x    0 1 1  a  2 3 1  a . 又因为 S 12 S ,所以 2 3 2   2  3 1 a ,即 1 七、(本题满分 8 分) 方法 1：总收入函数为 a  ,解得 3 . a 2 R p q 1 1   p q 2 2  24 p 1  2 0 2 . p 1  10 p 2  0 05 . p 2 2 , 总利润函数为

L R C     p q 1 1  p q 2 2     35 40   q 1  q 2     32 p 1  2 0 2 . p 1  12 p 2  0 05 . p 2 2  1395 . 由极值的必要条件,得方程组 L   p 1   L  p 2  32 0 4 . p 1   0 ,  12 0 1 . p  2  0 , p 即 1  80 , p 2  120 . p 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 1  80 , p 2  120 时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 L p 1  80 ,p 2 120   （ 32 p 1  2 0 2 . p 1  12 p  0 05 . p 2  2 2 1395 ） p 1  80 ,p 2 120   605 方法 2：两个市场的价格函数分别为 p 1  120 5  q , p 1 2  200 20  q , 2 总收入函数为总利润函数为 R p q 1 1   p q 2 2   120 5   q q 1 1   200 20   q q 2 , 2 L R C     120 5   q q 1  1  200 20   q q 2  2 35 40     q 1  q 2     80 q 1  2 5 q 1  160 q 2  20 q 2 2  35 . 由极值的必要条件,得方程组 L   q 1   L  q 2  80 10  q 1  0 ,  160 40  q 2  0 ,   q 1 8 ,q 2  4 . q 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 1 28 ,q p  ,即 1 4  80 , p  2 120 时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 L  q 1 28 ,q   4 605 . 八、(本题满分 6 分) 因为 (0, x   ,所以 ) ( ) f x (1   1 x x )  . 0 ( ) f x (1   x ln(1  1 x ) x )  e 1 x ,两边对 x 求导,得

 ( ) f x  x ln(1  1 x ) e        x ln(1   e 1 x )    ln(1     1 ) x  x (   1  1 2 x 1 x )      (1   x 1 ) x  ln(1    1 ) x  1   x  1 . 令 ( ) g x  ln(1 ,为证函数 ( ) f x 为增函数,只需 ( ) 0 f x  在 (0, ) 上成 )   1 1 x  )   . 1 x (0, 立,,即 ( ) 0, g x  x 方法一：利用单调性. 由于  ( ) g x  ln(1     1 x )  1   x  1    1 1 2 x 1  x  1  x  2 ) (1   1  x (1 , 2 x ) 且 (0, x   ,故 )  ( ) g x    0 ,所以函数 ( )g x 在 (0, ) 上单调减少. 又 lim ( ) g x x   lim[ln(1 x   1 x 1  ) 2 ) x x (1 1 1 x   ( ) (1 f x    x   .从而 (0, )  g x ] 0 ,于是有 ( ) 0,  1 x ( ) 0 g x  , ) x ) x   , (0, 于是函数 ( ) f x 在 (0, ) 单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 ln(1  1 x )  ln( x 1 )  x  ln(1  ) x  ln ( x u x  1)   ( ) u x , 所以在区间 ( , x x  存在一点,使得 1) ( u x 1)   ( ) u x  u  ( )(  x 1   x )  u  ( )   1  ,     ,所以 x x 1 1 1 x   1 1 x  ,所以 1 1 x   ln(1  1 x )   ( ) f x (1   1 x x ) [ln(1  1 x )  1 1 x 1   1 x . ] 0  .函数 ( ) f x 在 (0, ) 单调即 ln(1  1 1 ) x   .又因为 0 故对一切 (0, x   ,有 ) 增加. 九、(本题满分 7 分) x ,      将分量代入得到方程组   设 1 1 x 2 x 3 3 2

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