第1页 / 共19页
第2页 / 共19页
第3页 / 共19页
第4页 / 共19页
第5页 / 共19页
第6页 / 共19页
第7页 / 共19页
第8页 / 共19页
规划，目标函数，最值求解.docx
MATLAB优化应用
§1 线性规划模型
一、线性规划课题：
二．线性规划问题求最优解函数：
三．举例
§2 非线性规划模型
一．非线性规划课题
二．无约束非线性规划问题：
二．有约束非线性规划问题：
§3 二次规划模型
§4 多目标规划模型
§5 最大最小化模型
AA=[-1 0
MATLAB 优化应用
§1 线性规划模型
一、线性规划课题：
实例 1：生产计划问题
假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有 A 类 3600 公斤，B 类 2000 公斤，C 类 3000 公
斤。每件甲产品需用材料 A 类 9 公斤，B 类 4 公斤，C 类 3 公斤。每件乙产品，需用材料 A 类 4 公斤，B
类 5 公斤，C 类 10 公斤。甲单位产品的利润 70 元，乙单位产品的利润 120 元。问如何安排生产，才能
使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：
设 x1、x2 分别为生产甲、乙产品的件数。f 为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
实例 2：投资问题
某公司有一批资金用于 4 个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金锪百分比)如下表：
工程项目
收益(%)
A
15
B
10
C
8
D
12
工程项目收益表
由于某种原因，决定用于项目 A 的投资不大于其他各项投资之和而用于项目 B 和 C 的投资要大于项目 D
的投资。试确定全文该公司收益最大的投资分配方案。
建立数学模型：
设 x1、 x2、x3、x4 分别代表用于项目 A、B、C、D 的投资百分数。
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4
s.t x1-x2- x3- x4≤0
x2+ x3- x4≥0
x1+x2+x3+ x4=1
xj≥0 j=1,2,3,4
实例 3：运输问题
有 A、B、C 三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。三个厂每天生产食品箱数上限如下表：
工厂
生产数
A
60
四个市场每天的需求量如下表：
B
40
市场
需求量
甲
20
乙
35
丙
33
从各厂运到各市场的运输费(元/每箱)由下表给出：
C
50
丁
34
市 场
发点
收点
工
厂
A
B
甲
2
1
乙
1
3
丙
3
2
丁
2
1
4
求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。
C
3
1
1
建立数学模型：
设 ai j 为由工厂 i 运到市场 j 的费用，xi j 是由工厂 i 运到市场 j 的箱数。bi 是工厂 i 的产量，dj 是市场 j 的
需求量。
b= ( 60 40 50 ) d= ( 20 35 33 34 )
s.t
xi j≥0
当我们用 MATLAB 软件作优化问题时，所有求 maxf 的问题化为求 min(-f )来作。约束 g i (x)≥0，
化为 -g i≤0 来作。
上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量 x 的线性函数。
形如： (1)
min f T X
s.t AX≤b
Aeq X =beq
lb≤X≤ub
其中 X 为 n 维未知向量，f T=[f1,f2,…fn]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵 A 为 m×n
矩阵，b 为其右端 m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。lb,ub 为
自变量取值上界与下界约束的 n 维常数向量。
二．线性规划问题求最优解函数：
调用格式：
x=linprog(f,A,b)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=linprog(…)
[x, fval, exitflag]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)
说明：x=linprog(f,A,b)返回值 x 为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则
？
令 A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中 lb ,ub 为变量 x 的下界和上
界，x0 为初值点，options 为指定优化参数进行最小化。
Options 的参数描述：
Display 显示水平。选择’off’不显示输出；选择’iter’显示每一步迭代过程的输出；
选择’final’显示最终结果。
MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数
Maxiter 最大允许迭代次数
TolX x 处的终止容限
[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解 x 处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0)的输出部分：
exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解 x 处；若
为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大
次数。
output 返回优化信息：output.iterations 表示迭代次数；output.algorithm 表
示所采用的算法；outprt.funcCount 表示函数评价次数。
lambda 返回 x 处的拉格朗日乘子。它有以下属性：
lambda.lower-lambda 的下界；
lambda.upper-lambda 的上界；
lambda.ineqlin-lambda 的线性不等式；
lambda.eqlin-lambda 的线性等式。
三．举例
例 1：求解线性规划问题：
max f=2x1+5x2
s.t
先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2
程序：
f=[-2 -5];
A=[1 0;0 1;1 2];
b=[4;3;8];
[x,fval]=linprog(f,A,b)
f=fval*(-1)
结果： x = 2
3
fval = -19.0000
maxf = 19
例 2：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5
s.t -2x1+x2-x3+x4-3x5≤6
2x1+x2-x3+4x4+x5≤7
0≤xj≤15 j=1,2,3,4,5
程序：
f=[5 -1 2 3 -8];
A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];
b=[6;7];
lb=[0 0 0 0 0];
ub=[15 15 15 15 15];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)
结果：x =
0.0000
0.0000
8.0000
0.0000
15.0000
minf = -104
例 3：求解线性规划问题：
minf=5x1+x2+2x3+3x4+x5
s.t -2x1+x2-x3+x4-3x5≤1
2x1+3x2-x3+2x4+x5≤-2
0≤xj≤1 j=1,2,3,4,5
程序：
f=[5 1 2 3 1];
A=[-2 1 -1 1 -3;2 3 -1 2 1];
b=[1;-2];
lb=[0 0 0 0 0];
ub=[1 1 1 1 1];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)
结果：
Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error
has grown 100000 times greater than its minimum value so far:
the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded).
(The dual residual
x1,x2≥0
将其转换为标准形式：
min f=-70x1-120x2
s.t 9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
程序： f=[-70 -120];
A=[9 4 ;4 5;3 10 ];
b=[3600;2000;3000];
lb=[0 0];
ub=[];
[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)
maxf=-fval
结果： x =
200.0000
240.0000
-4.2800e+004
fval =
exitflag =
1
maxf =
4.2800e+004
例 5：求解实例 2
建立数学模型：
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4
s.t x1-x2- x3- x4≤0
x2+ x3- x4≥0
x1+x2+x3+ x4=1
xj≥0 j=1,2,3,4
将其转换为标准形式：
min z=-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4
s.t x1-x2- x3- x4≤0
-x2- x3+ x4≤0
x1+x2+x3+ x4=1
xj≥0 j=1,2,3,4
程序： f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];
0 -1 -1 1];
A = [1 -1 -1 -1
b = [0; 0];
Aeq=[1 1 1 1];
beq=[1];
lb = zeros(4,1);
[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
f=-fval
结果：x =
0.5000
0.2500
0.0000
0.2500
-0.1300
1
fval =
exitflag =
f =
0.1300
即 4 个项目的投资百分数分别为 50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收
益可到达 13%。过程正常收敛。
例 6：求解实例 3
建立数学模型：
设 ai j 为由工厂 i 运到市场 j 的费用，xi j 是由工厂 i 运到市场 j 的箱数。bi 是工厂 i 的产量，dj 是市场 j 的
需求量。
b= ( 60 40 50 )T d= ( 20 35 33 34 )T
s.t
xi j≥0
程序： A=[2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1];
f=A(:);
B=[ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1];
D=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1];
b=[60;40;50];
d=[20;35;33;34];
lb=zeros(12,1);
[x,fval,exitflag]=linprog(f,B,b,D,d,lb)
结果： x =
0.0000
20.0000
0.0000
35.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
33.0000
0.0000
18.4682
15.5318
122.0000
fval =
exitflag =
1
即运输方案为：甲市场的货由 B 厂送 20 箱；乙市场的货由 A 厂送 35 箱；丙商场的货由 C 厂送 33
箱；丁市场的货由 B 厂送 18 箱，再由 C 厂送 16 箱。
最低总运费为：122 元。
§2 非线性规划模型
一．非线性规划课题
实例 1 表面积为 36 平方米的最大长方体体积。
建立数学模型：
设 x、y、z 分别为长方体的三个棱长，f 为长方体体积。
max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)
实例 2 投资决策问题
某公司准备用 5000 万元用于 A、B 两个项目的投资，设 x1、x2 分别表示配给项目 A、B 的投资。预计项
目 A、B 的年收益分别为 20%和 16%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增
加，已知总的风险损失为 2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险
损失为最小。
建立数学模型：
max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]
s.t x1+x2≤5000
x1≥0,x2≥0
目标函数中的λ≥0 是权重系数。
由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。
非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例 1 为无约束问题，实例 2 为有约束问题。
二．无约束非线性规划问题：
求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method).
1．fminunc 函数
调用格式： x=fminunc(fun,x0)
x=fminunc(fun,x0,options)
x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)
[x,fval]=fminunc(…)
[x,fval, exitflag]=fminunc(…)
[x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)
[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…)
[x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)
说明：fun 为需最小化的目标函数，x0 为给定的搜索的初始点。options 指定优化参数。
返回的 x 为最优解向量；fval 为 x 处的目标函数值；exitflag 描述函数的输出条件；output 返回优化信
息；grad 返回目标函数在 x 处的梯度。Hessian 返回在 x 处目标函数的 Hessian 矩阵信息。
例 1：求
程序：编辑 ff1.m 文件
function f=ff1(x)
f=8*x(1)-4*x(2) +x(1)^2+3*x(2)^2;
通过绘图确定一个初始点：
[x,y]=meshgrid(-10:.5:10);
z= 8*x-4*y +x.^2+3*y.^2;
surf(x,y,z)
选初始点：x0=(0,0)
x0=[0,0];
[x,fval,exitflag]=fminunc(@ff1,x0)
结果：x =
-4.0000
0.6667
fval =
-17.3333
exitflag =
1
例 2：
程序：编辑 ff2.m 文件：
function f=ff2(x)
f=4*x(1)^2+5*x(1)*x(2)+2*x(2)^2;
取初始点：x0=(1,1)
x0=[1,1];
[x,fval,exitflag]=fminunc(@ff2,x0)
结果： x =
fval =
exitflag =
1.0e-007 *
-0.1721
0.1896
2.7239e-016
1
例 3：将上例用提供的梯度 g 最小化函数进行优化计算。
修改 M 文件为：
function [f,g]=ff3(x)
f=4*x(1)^2+5*x(1)*x(2)+2*x(2)^2;
ifnargut>1
g(1)=8*x(1)+5*x(2);
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
